畢業(yè)論文-矩陣的特征值與特征向量的相關(guān)研究

本科畢業(yè)設計（論文）(2015屆)題目:矩陣的特征值與特征向量的相關(guān)研究學院:數(shù)理與信息工程學院專業(yè):數(shù)學與應用數(shù)學學生姓名:學號:指導教師:職稱:合作導師:職稱:完成時間:201年月日成績:浙江師范大學本科畢業(yè)設計(論文)正文目錄摘要……………………1英文摘要………………11引言………………12選題背景以與特征值與特征向量的定義與性質(zhì)………………22.1選題背景……………………22.2特征值與特征向量的定義…………………22.3特征值與特征向量的性質(zhì)………………23矩陣的特征值與特征向量的求解方法…………33.1求解數(shù)字方陣的特征值與特征向量………33.2已知矩陣A的特征值與特征向量,求與相關(guān)的矩陣的特征值………74矩陣的特征值與特征向量的反問題的求解……74.1矩陣的全部特征值與全部特征向量,反求解矩陣的方法…74.2已知實對稱矩陣的全部特征值和部分線性無關(guān)的特征向量,反求矩陣A的方法…………………95矩陣的特征值與特征向量的應用………………95.1矩陣的特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系上的應用……95.2經(jīng)濟發(fā)展和環(huán)境污染的增長模型…………146結(jié)論………………16參考文獻……………16矩陣的特征值與特征向量的相關(guān)研究摘要:矩陣的特征值與特征向量占據(jù)了高等數(shù)學中的一小塊,但是其重要性無可比擬,它可以應用在數(shù)學和生活上,尤其是對現(xiàn)在的科學技術(shù)領(lǐng)域,有著至關(guān)重要的作用.本篇論文主要闡述并歸納了矩陣的特征值與特征向量的概念,性質(zhì),解法以與應用,通過具體的例子,來體現(xiàn)了矩陣的特征值與特征向量的廣泛性和實用性,深刻研究了矩陣的特征值與特征向量和它相關(guān)的應用.正文總共分為四個大部分.第一部分:闡述了它的概念和性質(zhì);第二部分:對于它的求解方法,本篇論文敘述了幾種不同的方法,并且有相關(guān)例題的作法;第三部分:關(guān)于它的反問題,本篇論文也有相對應的幾種不同的求解方法;第四部分:關(guān)于它在數(shù)學領(lǐng)域和生活上的應用.矩陣;特征值;特征向量;反問題;應用關(guān)鍵詞:Correlationmatrixeigenvaluesandeigenvecto-rsMathematicalandInformationEngineeringMathematicsandAppliedMathematicsChenDong（11170126）Instructor:LvjiaFeng(AssociateProfessor)Abstract:Eigenvaluesandeigenvectorsoccupythehighermathematicsinasmall,butitsimportanceisunparalleled,itcanbeusedinmathematicsandlife,especiallyinthefieldofscienceandtechnologyrightnow,hasavitalrole.Thispaperdescribesandsummarizesthemaincharacteristicsandeigenvectormatrixconcept,nature,solutionandapplications,throughspecificexamples,toreflectthebreadthandpracticalitymatrixeigenvaluesandeigenvectors,profoundstudyofmatrixeigenvaluesandspecialEigenvectorsanditsrelatedapplications.Totalbodyisdividedintofourparts.Thefirstpart:itdescribestheconceptandnature;PartII:Foritssolutionmethod,thispaperdescribesseveraldifferentmethods,andrelevantexamplesofpractice;PartIII:Antiquestionaboutit,thispapersarealsoseveraldifferentcorrespondingmethodforsolving;partIV:onitsapplicationinthefieldofmathematicsandlife.KeyWords:Matrix;eigenvalues;featurevector;inverseproblem;Application1引言在已經(jīng)有相關(guān)深刻探討的前提下,本篇論文給出了它的的概念以與它的性質(zhì),掌握它的性質(zhì)是研究其求解方法的前提,所以要先熟悉它的性質(zhì),再對它的求解方法作詳細的步驟和說明.本篇論文重點介紹了它的求解方法和特它的反問題以與相關(guān)應用,展現(xiàn)了它在矩陣運算中的重大作用,在例題的求解過程中充分運用某些性質(zhì),使得問題變得簡單,運算方面上也更簡潔,是簡化一些有關(guān)矩陣的比較繁瑣問題的一種快捷并且有效的途徑.本篇論文通過一些具體的例題詳細說明它的求解方法以與其反問題的求解方法,并且在數(shù)學領(lǐng)域以與生活方面的應用也有其相關(guān)的例題來說明矩陣的特征值與特征向量的廣泛性以與實用性.2特征值與特征向量的選題背景以與其定義與性質(zhì)2.1選題背景隨著科技的迅猛發(fā)展,現(xiàn)在的社會發(fā)展的速度日益增加,高等代數(shù)作為一門大學數(shù)學的基礎學科已經(jīng)向所有的領(lǐng)域滲透,它在所有領(lǐng)域內(nèi)表現(xiàn)出來的作用已經(jīng)越來越明顯..物理、化學、經(jīng)濟等的許多問題在數(shù)學上都可以看作是求它的問題.但是通過特征方程求解它是有一點難度的,而且在現(xiàn)在的高等數(shù)學的教材中用特征方程求它總是要求解帶含有參數(shù)的行列式,而且只有先求解出它才能用方程組求解之后的問題.本篇論文將對它的求解方法、反問題以與相關(guān)的應用進行系統(tǒng)性的歸納,并且有相關(guān)的例題給予幫助理解.2.2特征值與特征向量的定義它在《高等代數(shù)》和《線性代數(shù)》課程中占據(jù)了一席之地,在大多數(shù)的《高等代數(shù)》教材中,把它拉進來就是為了解析線性空間中線性變換的,它的定義如下:定義1設是數(shù)域上的線性空間的一個線性變換,如果對于數(shù)域中的數(shù),存在一個不是零的向量,使得那么是矩陣的一個特征值,向量稱作矩陣關(guān)于特征值的特征向量.在大多數(shù)的《線性代數(shù)》的教材中,它的探討作為矩陣探討的一個至關(guān)重要的組成部分,它的定義如下所述:定義2設是階的方陣,如果存在數(shù)字和維不是零的向量,使得那么就稱是的特征值,x是的對應特征值的特征向量．2.3特征值與特征向量的性質(zhì)（1）如果是的重的特征值,所對應的特征值就會有個線性無關(guān)的特征向量．（2）如果都是矩陣的屬于特征值的特征向量,那么當不全都是零時,依然是的屬于特征值的特征向量．（3）如果是矩陣A的互相不一樣的特征值,而且它所對應的特征向量分別是,那么線性無關(guān)．(4)如果的特征值是,那么,.（5）實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù),屬于不同的特征值的特征向量正交．（6）如果是實對稱矩陣的重的特征值,那么所對應特征值剛好有個線性無關(guān)的特征向量．（7）假設λ是矩陣A的特征值,是多項式的函數(shù),那么是矩陣多項式的特征值．3.矩陣的特征值與特征向量的求解方法3.1求解數(shù)字方陣的特征值與特征向量（1）求解特征多項式.（2）特征方程,它的全部根就是A的全部的特征值．（3）對于任何一個特征值,求解出齊次的方程組的一個基礎解系就是A的屬于的線性無關(guān)的特征向量.那么A的屬于的全部的特征向量是,其中是不全都是零的數(shù).求解特征多項式是解決問題的難度所在,方法一:觀察特征矩陣的每一行之和,如果相等而且都是a,那么將第2列與以后各列都加到第1列,提取公因子,再作化簡,而且a就是其中的一個特征值,是A的屬于特征值a的特征向量．方法二:將特征矩陣的的兩個不是零的常數(shù)（不含參數(shù)）之一化為零,如果有公因子,提取出來再作化簡.從上述可以知道,求解它是相當繁瑣的．這里將闡述一個有效的方法,只是需要對原來的矩陣作行列互逆變換就可以同時求解出它,所以給出如下定義:定義:稱矩陣的下列三種變換為行列的互逆變換:（1）互相更換矩陣的i,j兩列,同時互相更換矩陣的i,j兩行;（2）矩陣的第i行乘以不是零的數(shù)字k,同時矩陣的第i列乘以;（3）矩陣的第i行乘以k倍加到矩陣的第j行,同時第j列乘以?k倍加到矩陣的第i列.定理:A為n階的可以對角化的矩陣,而且,其中,那么是A的全部特征值,是A的屬于的特征向量.證明:因為即從而AP=PD因為所以則所以為了運算的簡潔,約定:表示為矩陣的第i行乘以k倍加到第j行.表示為矩陣的第i列乘以-k倍加到第j列.因為用定理求解題目時,總是會遇到一些類似或者（）形式的矩陣的化對角陣的問題,所以給出對應的求解方法:或其中,,所以,是B的分別屬于特征值和的特征向量.,是C的分別屬于特征值和的特征向量.下面將有3道例題來說明其求解方法,第一道例題不使用剛才描述的方法,則后面兩道例題運用,以此來說明這個方法的可操作性以與簡便性.例1:求解矩陣的特征值與特征向量.解:所以,矩陣的特征值是當時于是,可以知道屬于特征值的特征向量是.例2:求解的特征值與特征向量.解所以特征值分別是特征向量分別是下面給出上述定理的推廣定理:定理:A是任意n階的矩陣,如果,其中是約當矩陣,是約當標準形,;所以是A的特征值,是A的特征值的特征向量.例3:求解的特征值與特征向量.解所以特征值是的特征向量,的特征向量.3.2已知矩陣A的特征值與特征向量,求與A相關(guān)的矩陣的特征值此種題目可以運用性質(zhì)7來求解計算,用定義就可以求解算得.4矩陣的特征值與特征向量的反問題的求解4.1矩陣的全部特征值與全部特征向量,反過來求解矩陣A的方法方法一:用對角化法求解可逆矩陣P,使得,那么.方法二:用對角化法求解正交的矩陣使得,所以.方法三:特定元素法設n階矩陣的全部特征值是,相應的n個線性無關(guān)的特征向量是,所以有從這里可以得到以A的第1行,第2行,...,第n行的元素當作未知數(shù)的n個非齊次的線性方程組,求解每個方程組求出A中的元素,那么就能得到.例4:設三階方陣A的特征值是對應的特征向量分別是,求解A.解:因為是矩陣A對應于特征值的特征向量,所以有,令,那么所以有,其中,就從上述式子可以得到就是問題所要求得的答案.例5:設三階的實對稱矩陣A的特征值是6、3、3,與特征值6對應的特征向量是,求解A.解:設對應于3的特征向量是.因為實對稱矩陣的不同特征值下的特征向量正交,也就是X的分量滿足,又因為特征值3的重數(shù)是2,所以對應于3剛好有2個線性無關(guān)的特征向量,明顯的基礎解系就是對應于3的2個線性無關(guān)的特征向量.從得到它的一個基礎解系是,,令所以可以得到所以,,就是問題所要求得的答案.4.2已經(jīng)知道實對稱矩陣的全部特征值和部分線性無關(guān)的特征向量,反過來求解矩陣A的方法從實對稱矩陣屬于不同的矩陣的特征值的特征向量正交求解出其余的特征向量,可以運用上述各種的方法求解.5矩陣的特征值與特征向量的應用5.1矩陣的特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系上的應用求解常系數(shù)齊次遞推關(guān)系的方法多種多樣,這里將說明一下如何利用它來求解線性齊次遞推關(guān)系的一種方法.設k階線性循環(huán)數(shù)列滿足遞推關(guān)系:其中是常數(shù),并且.方程組可以表示為矩陣形式:（1）那么（1）可以寫作:（2）由（2）式子遞推可以得到.其中所以求解通項就可以歸結(jié)為求解,也就是求解.如果A可以對角化,那么存在可逆矩陣P,使得,所以,因為從第一列開始每一列乘以加到后一列上,就得到如下的矩陣:如果是A的特征值,明顯有,所以線性齊次方程組的基礎解系中僅含有一個解向量,因此當A有k個特征值時,這k個特征值對應的特征向量分別是,由這k個特征向量為列構(gòu)成的方陣記作P,那么P是可逆的,并且.其中例6設數(shù)列滿足遞推關(guān)系:,并且,求解通項.解:是三階循環(huán)數(shù)列,將方程組用矩陣表示:令那么由上式可以遞推得到:（1）其中因為,即得到A的特征值:再從特征方程解得對應A的特征值的特征向量分別是:所以代入（1）式子可以得到:例7數(shù)列,,求解這個數(shù)列的通項.解:通過分析這個數(shù)列滿足條件（1）根據(jù)即（2）其中從（2）式子遞推可以得到:（3)因為得到A的特征值是（4）對應于的特征向量分別是取,所以那么所以有于是（5）把（4）式子代入到（5）式子得到就是題目所要求解的通項.例8計算解:按照矩陣的第一行展開（1）把（1）變成因為即（2）其中從（2）這個式子遞推可以得到（3）因為得到A的特征值是（4）對應于的特征向量分別是取,那么那么所以就有于是5.2經(jīng)濟發(fā)展和環(huán)境污染的增長模型為了研究某地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系,可以建立如下數(shù)學模型:設分別是這個地區(qū)目前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平,分別是這個地區(qū)若干年后的水平,而且有下述的關(guān)系:令所以上面描述的關(guān)系的矩陣形式是.那么經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模式是令所以上面描述關(guān)系的矩陣形式是所以從上述這個形式可以得到:下面我們將進行更深一步的討論:從矩陣A的多項式得到A的特征值是對于,可以求解方程得到特征向量對于,可以求解方程得到特征向量明顯,線性無關(guān)下面分作三種情況分解析:假設1:從（*）以與它的性質(zhì)可以知道即或者上面描述的式子表示:在當前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平的條件下下,i年后,當經(jīng)濟發(fā)展水平達到相當高的程度時,環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢.假設2:因為,所以不討論這種情況假設3:因為不是特征值,所以不能類似分析,但是可以由唯一線性表達出來由（*）以與特征值與特征向量的性質(zhì)可以得到:也就是從上面描述的式子可以預測到這個地區(qū)i年后的水平.因為沒有實際的意義所以在假設2中沒有作相關(guān)的討論,但是在假設3中的討論中起到了至關(guān)重要的作用.6結(jié)論通過它的概念以與相關(guān)的性質(zhì)學習,理解了它的各種求解方法,更是有相關(guān)例題求解鞏固知識.而后,又學習了它的反問題,也理解了相應的求解方法.它不僅能應用在數(shù)學上,幫助其更簡單的運算,而且也能應用在生活上,有效處理生活的各類問題.學習并且研究數(shù)學,從知識聯(lián)系到生活,通過數(shù)學的思維或方法來處理某些生活上的問題.離開數(shù)學,科技無法進步,生活恐難維持,所以我們必須熱愛數(shù)學,深入探討數(shù)學,從而促進科技發(fā)展,共創(chuàng)美好的明天.參考文獻[1]施勁松,劉劍平.矩陣特征值、特征向量的確定[J].大學數(shù)學.2003.12,19（6）:123-126.[2]李迪.中國數(shù)學史簡編[M].沈陽:遼寧人民出版社.1984,9:124-125.[3]劉國琪..利用矩陣的初等行變換達到矩陣的特征值與特征向量的同步求解[J].江西電力職工大學學報.1995.3,8（1）:30-34.[4]陳澤安.求矩陣特征值與特征向量的新方法[J].長沙通信職業(yè)技術(shù)學院學報.2003.3,2（1）:66-69.[5]趙文玲,王秀芬.特征值與特征向量在線性遞推關(guān)系中