新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精講精練專題02 正余弦定理在解三角形中的高級(jí)應(yīng)用與最值問(wèn)題（原卷版）

專題02正余弦定理在解三角形中的高級(jí)應(yīng)用與最值問(wèn)題【命題規(guī)律】解三角形是每年高考?？純?nèi)容，在選擇、填空題中考查較多，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題的壓軸小題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)定比分線模型核心考點(diǎn)二：倍角定理核心考點(diǎn)三：角平分線模型核心考點(diǎn)四：隱圓問(wèn)題核心考點(diǎn)五：正切比值與和差問(wèn)題核心考點(diǎn)六：四邊形定值和最值核心考點(diǎn)七：邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系核心考點(diǎn)八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題核心考點(diǎn)九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范圍【真題回歸】1．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知SKIPIF1<0中，點(diǎn)D在邊BC上，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0________．2．（2022·全國(guó)·高考真題）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的面積；（2）若SKIPIF1<0，求b．3．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求C；（2）證明：SKIPIF1<04．（2022·全國(guó)·高考真題）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求B；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【方法技巧與總結(jié)】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素．2、與三角形面積或周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．要適當(dāng)選用公式，對(duì)于面積公式SKIPIF1<0，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪個(gè)公式．3、對(duì)于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問(wèn)題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍，確定所求式的范圍．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運(yùn)用面積公式，三角形內(nèi)角和、基本不等式、二次函數(shù)等知識(shí)．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長(zhǎng)或面積最值問(wèn)題的殺手锏，要牢牢掌握并靈活運(yùn)用．利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，并結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，再利用單調(diào)性求解．7、“坐標(biāo)法”是求解與解三角形相關(guān)最值問(wèn)題的一條重要途徑．充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，選取合理的參數(shù)，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確表示出所求的目標(biāo)，再結(jié)合三角形、不等式、函數(shù)等知識(shí)求其最值．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)定比分線模型【規(guī)律方法】如圖，若SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則延長(zhǎng)SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．【典型例題】例1．（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)高三期中）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2021·全國(guó)·高考真題）記SKIPIF1<0是內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.例3．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）設(shè)a，b，c分別為SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為SKIPIF1<0的重心，連接EG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)度．例4．（2022·廣西柳州·高三階段練習(xí)（文））已知SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0單位后，得到SKIPIF1<0的圖象，且SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0所對(duì)的邊依次為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，試求SKIPIF1<0的長(zhǎng)度．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，D為SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，且SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0，求：（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0的最大值．例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行求解.問(wèn)題：在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，c=8，點(diǎn)M，N是BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0，___________，求AM的長(zhǎng)和SKIPIF1<0外接圓半徑.例8．（2022·湖北·高三期中）SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角B；(2)若SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)D滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．核心考點(diǎn)二：倍角定理【規(guī)律方法】SKIPIF1<0，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：SKIPIF1<0推論2：SKIPIF1<0【典型例題】例9．（2022·廣西·靈山縣新洲中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在銳角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明:SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.例10．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)）已知a，b，c分別為SKIPIF1<0三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的面積,SKIPIF1<0．(1)證明：A＝2C；(2)若a＝2，且SKIPIF1<0為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．例11．（2022·福建龍巖·高三期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是鈍角，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的取值范圍．例12．（2022·江蘇·寶應(yīng)中學(xué)高三階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的最小值.例13．（2022·江蘇連云港·高三期中）在SKIPIF1<0中，AB＝4，AC＝3．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(2)若A＝2B，求BC的長(zhǎng)．例14．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）在銳角SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0.(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.核心考點(diǎn)三：角平分線模型【規(guī)律方法】角平分線張角定理：如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0平分線，SKIPIF1<0（參考一輪復(fù)習(xí)）斯庫(kù)頓定理：如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，則SKIPIF1<0，可記憶：中方=上積一下積．【典型例題】例15．（2022·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)度；(2)若SKIPIF1<0為角平分線，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.例16．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）在銳角SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0(1)求角C的大??；(2)若SKIPIF1<0，角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，求SKIPIF1<0面積的取值范圍.例17．（2022·江蘇泰州·高三期中）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，．(1)求角C的大??；(2)若∠ACB的角平分線CD交線段AB于點(diǎn)D，且SKIPIF1<0，求△ABC的面積．例18．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高三階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D，若SKIPIF1<0恰好為函數(shù)SKIPIF1<0的最大值，且此時(shí)SKIPIF1<0，求3a＋4b的最小值．例19．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若點(diǎn)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的余弦值；(2)若SKIPIF1<0的角平分線與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng).例20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，且______．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)若角SKIPIF1<0的內(nèi)角平分線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．例21．（2022·貴州貴陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的邊分別是SKIPIF1<0，內(nèi)角SKIPIF1<0的角平分線交邊SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點(diǎn)，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最小值是（

）A．16 B．SKIPIF1<0 C．64 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)四：隱圓問(wèn)題【規(guī)律方法】若三角形中出現(xiàn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為定值，則點(diǎn)C位于阿波羅尼斯圓上．【典型例題】例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離比值為定值SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262—190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0的面積最大時(shí)，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)_____.例25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為定值SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0面積的最大值為_(kāi)_________．例26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0的面積最大時(shí)，AC邊上的高為_(kāi)______________.核心考點(diǎn)五：正切比值與和差問(wèn)題【規(guī)律方法】定理1：SKIPIF1<0定理2：SKIPIF1<0定理3：（正切恒等式）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．【典型例題】例27．（2022·江蘇南通·高三期中）在SKIPIF1<0中，點(diǎn)D在邊BC上，且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在銳角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為角SKIPIF1<0所對(duì)的邊，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的最大值．例29．（2022·江西·蘆溪中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求邊SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．例30．（2022·江西贛州·高三期中（理））在SKIPIF1<0中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足SKIPIF1<0．(1)求角B的大?。?2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．例31．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的最小值．例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三角形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(2)判斷SKIPIF1<0的形狀.例33．（2022·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0最小值.例34．（2022·江蘇南京·高三開(kāi)學(xué)考試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求A，B；(2)若△ABC為銳角三角形，求SKIPIF1<0的取值范圍.例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知銳角SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例36．（2022·山西呂梁·高三階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．例37．（2022·河南安陽(yáng)·高三階段練習(xí)（文））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．核心考點(diǎn)六：四邊形定值和最值【規(guī)律方法】正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內(nèi)接的四邊形，尤其是擁有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．勒密定理：在四邊形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立．【典型例題】例38．（2022·甘肅·蘭州西北中學(xué)高三期中（理））在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為_(kāi)_____.例39．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期中）如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)判斷SKIPIF1<0的形狀并證明；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的對(duì)角線SKIPIF1<0的最大值．例40．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)求四邊形SKIPIF1<0周長(zhǎng)的最大值．例41．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最小正周期T和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD=2，銳角A滿足SKIPIF1<0，求四邊形ABCD面積S的取值范圍.例42．（2022·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面凹四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求凹四邊形SKIPIF1<0的面積；(2)若SKIPIF1<0，求凹四邊形SKIPIF1<0的面積的最小值.例43．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求對(duì)角線SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，求平面四邊形SKIPIF1<0的面積的最大值及此時(shí)SKIPIF1<0的值.例44．（2022·上?！とA師大二附中高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)已知凸四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.核心考點(diǎn)七：邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系【規(guī)律方法】利用坐標(biāo)法求出軌跡方程【典型例題】例45．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】:方法1:如圖，在SKIPIF1<0中，以線段SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0的中垂線為SKIPIF1<0軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0面積最大時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0面積取得最大值為SKIPIF1<0.方法2:如圖，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào))，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0代人SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0面積取得最大值為SKIPIF1<0.方法3:由三角形面積公式，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào))，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，取得最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0(也可以用基本不等式求SKIPIF1<0的最大值，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0).方法4:在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0極大值SKIPIF1<0SKIPIF1<0即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.例46．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】:以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0邊的垂直平分線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0②，其中①式可以看作以(0，0)為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓的軌跡方程，②式可以看作以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓的軌跡方程，由題意知兩圓有公共點(diǎn)，即點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0④，由③SKIPIF1<0，④得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.核心考點(diǎn)八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題【規(guī)律方法】與三角形面積或周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．要適當(dāng)選用公式，對(duì)于面積公式SKIPIF1<0，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪個(gè)公式．【典型例題】例47．（2022·重慶一中高三期中）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足SKIPIF1<0.(1)證明：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng).例48．（2022·山東聊城·高三期中）已知SKIPIF1<0中，A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng)．例49．（2022·山西·高三階段練習(xí)）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．問(wèn)題：在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足___________．(1)求角A的大??；(2)若D為線段SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．例50．（2022·云南云南·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0.(1)求角C；(2)若SKIPIF1<0，D為邊BC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求AD的長(zhǎng)度.例51．（2022·全國(guó)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若AB＝2，AC＝1，SKIPIF1<0，求△ABD的面積．核心考點(diǎn)九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍【規(guī)律方法】對(duì)于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問(wèn)題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍，確定所求式的范圍．【典型例題】例52．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0.(1)求B；(2)若SKIPIF1<0為銳角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周長(zhǎng)的取值范圍.例53．（2022·寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高三期中（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0．將函數(shù)SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖像．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)；(2)若銳角SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．例54．（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得實(shí)數(shù)m的值唯一確定，并求出使函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上最小值為SKIPIF1<0時(shí)，a的取值范圍；條件①：SKIPIF1<0的最大值為1；條件②：SKIPIF1<0的一個(gè)對(duì)稱中心為SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0的一條對(duì)稱軸為SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，在銳角SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，且能蓋住SKIPIF1<0的最小圓的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．例55．（2022·河南·汝陽(yáng)縣一高高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角C的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，且SKIPIF1<0，求△ABC面積的取值范圍．例56．（2022·湖南·安仁縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0(1)求角C的大小.(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.例57．（2022·山東·日照市教育科學(xué)研究中心高三期中）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．例58．（2022·河南·駐馬店市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．例59．（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，并解答問(wèn)題.在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，SKIPIF1<0的面積為S，且滿足___________(1)求A的大小；(2)設(shè)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，點(diǎn)D在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【新題速遞】一、單選題1．（2022·河南駐馬店·高三期中（文））在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．-1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，若角A的內(nèi)角平分線SKIPIF1<0的長(zhǎng)為3，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．21 B．24 C．27 D．363．（2022·山西·高三階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．點(diǎn)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·山東菏澤·高三期中）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓面積與SKIPIF1<0面積之比的最小值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·湖北·高三期中）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為直角三角形6．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．6 C．SKIPIF1<0 D．47．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC是銳角三角形，且滿足SKIPIF1<0，若△ABC的面積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值為（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3二、多選題9．（2022·江蘇南通·高三期中）在圓O的內(nèi)接四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022·江蘇淮安·高三期中）在SKIPIF1<0中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列四個(gè)選項(xiàng)中哪些值可以作為三角形的面積（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<