新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章 第05講 數(shù)列章節(jié)總結(jié) 精講（教師版）

第05講數(shù)列章節(jié)總結(jié)(精講）一、數(shù)列求通項題型一：數(shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0法題型二：數(shù)列前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0法題型三：累加法；累乘法題型四：構(gòu)造法題型五：倒數(shù)法題型六：隔項等差(等比）數(shù)列二、數(shù)列求和題型一：倒序相加法題型二：分組求和法題型三：裂項相消法題型四：錯位相減法題型五：奇偶項討論求和題型六：插入新數(shù)列混合求和一、數(shù)列求通項題型一：數(shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0法例題1．設(shè)正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以7為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0.例題2．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為公差為3的等差數(shù)列，通項公式為SKIPIF1<0，例題3．已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．故SKIPIF1<0．例題4．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0⑴SKIPIF1<0

①SKIPIF1<0

②①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0例題5．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（2）證明見解析由已知得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，①得SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，②①-②得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也適合此式，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．例題6．各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0①，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，由①-②得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是公差為1，首項為1的等差數(shù)列.∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0例題7．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（1）SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，②①-②得，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，適合上式，所以SKIPIF1<0.例題8．已知正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0；解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以1為首項，1為公差的等差數(shù)數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0.例題9．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析證明：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由已知易得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列；例題10．已知首項為1的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0依題意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又當(dāng)n＝1時，SKIPIF1<0也滿足上式，所以SKIPIF1<0．題型二：數(shù)列前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0法例題1．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；【答案SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時也符合，所以SKIPIF1<0．例題2．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式：【答案】(1)SKIPIF1<0；由題意，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由于：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例題3．設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公差的等差數(shù)列.(2)由（1）可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0例題4．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，也符合SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.例題5．設(shè)首項為2的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由累乘法得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式，∴SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0例題6．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0.(1)解：因為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相除得SKIPIF1<0，因為數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)解：由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.題型三：累加法；累乘法例題1．（1）已知數(shù)列SKIPIF1<0是正項數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.解：（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也滿足SKIPIF1<0，故對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題2．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例題3．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：由題意，當(dāng)SKIPIF1<0時，∴SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；(2)由（1）知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，各項相加，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0也成立，SKIPIF1<0-1，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.例題4．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式.【答案】(1)SKIPIF1<0(1)解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累加法得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題5．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．(1)證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0(1)解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0符合上式，∴SKIPIF1<0．例題6．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，根據(jù)累乘法得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由于該式對于SKIPIF1<0也成立，于是數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為：SKIPIF1<0；例題7．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前三項和為14，求SKIPIF1<0的通項公式．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0的公比為q，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0前n項和SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0的公比為p，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0符合上式，∴SKIPIF1<0．例題8．已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0n項和，SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求正整數(shù)SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)由題意知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗，SKIPIF1<0也符合SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0也滿足SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．(2)由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.例題9．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；(1)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，由題意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0；因為數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0滿足，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.例題10．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0；數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與條件等式兩邊相減，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0=1,SKIPIF1<0.故有SKIPIF1<0所求通項公式分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0題型四：構(gòu)造法例題1．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②①-②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0例題2．已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【答案】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題3．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.例題4．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.【答案】SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項、公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.例題5．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.解：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=1，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0=1，公差為1的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；例題6．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；【答案】（1）證明見解析；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為2，公比為2的等比數(shù)列例題7．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】證明見解析；SKIPIF1<0．解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，3為公比的等比數(shù)列．因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．題型五：倒數(shù)法例題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列【答案】（1）證明見解析；證明：由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，3為公比的等比數(shù)列例題2．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（1）SKIPIF1<0；（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0.例題3．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；例題4．在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項；【答案】（1）SKIPIF1<0解：（1）由已知得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例題5．在數(shù)列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,并且對于任意SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0.證明數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列,并求SKIPIF1<0的通項公式;【答案】（1）答案見解析,SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0,公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項公式可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故:SKIPIF1<0.題型六：隔項等差(等比）數(shù)列例題1．設(shè)各項均不等于零的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的值，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0的奇數(shù)項是以SKIPIF1<0為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0的偶數(shù)項是以SKIPIF1<0為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.例題2．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．計算SKIPIF1<0的值，求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由題知SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由②SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是：數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項是以SKIPIF1<0為首項，以4為公差的等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，偶數(shù)項是以SKIPIF1<0為首項，以4為公差的等差數(shù)列，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；例題3．已知數(shù)列SKIPIF1<0各項都不為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等差數(shù)列且SKIPIF1<0SKIPIF1<0為奇數(shù)），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為偶數(shù)SKIPIF1<0例題4．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.(2)是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0解：（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：存在SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.理由如下.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.假設(shè)存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項也構(gòu)成等差數(shù)列，且公差均為2.當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0符合題意.例題5．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0解：由題意，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列.所以當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0.例題6．（2022·浙江省富陽中學(xué)高三階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0依題意，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相除并化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，其中SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.二、數(shù)列求和題型一：倒序相加法例題1．已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0均在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2020項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)因為點SKIPIF1<0均在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，適合上式，所以SKIPIF1<0.(2)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(3)由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①又因為SKIPIF1<0，②因為SKIPIF1<0，所以①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題2．（2021·全國·高二）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）分別求數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通項公式；【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時滿足上式，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0①∴SKIPIF1<0②∴①+②，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.例題3．（2020·河南大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0