高二數(shù)學幾何學的發(fā)展省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

第五章幾何學發(fā)展

形認識

形是人類對生存空間形式直接認識

從無規(guī)則圖形逐步制造出一些規(guī)則形體，形成抽象意義下幾何圖形。1/33圖5.1由魚形演化出不規(guī)則幾何圖形

從立體圖形到平面圖形圖騰崇敬和宗教禮儀2/335.2測量與幾何

在幾何發(fā)展最早古代埃及，幾何一詞含有“土地測量”含義。在古希臘幾何學傳入中國之后，漢字用幾何一詞來稱謂這門學科，而漢語中“幾何”含有“多少”意思。3/335.2.1經(jīng)驗公式

古埃及人有計算矩形、三角形和梯形面積方法三角形面積用一數(shù)乘以另一數(shù)二分之一來表示圓面積計算公式是A=(8d/9)2，其中d是直徑。這就等于取π為3.1605。四邊形面積公式：（a+c）（b+d）/4（其中a、b、c、d依次表示邊長）。高為h、底邊長為a和b方棱錐平頭截體體積公式：V=(1/3)h(a2+ab+b2)4/335.2.2求積方法

勾股術(shù)與圖證[插入圖5.5]

“析理以辭，解體用圖”——

“弦圖”

[插入圖5.7]

大方=弦方+2矩形，（1）大方=勾方+股方+2矩形，（2）比較（1）與（2），得弦方=勾方+股方。阿基米德雙重方法——用力學原剪發(fā)覺公式，再用窮竭法加以證實[插入圖5.11]

如圖5.11拋物線有內(nèi)接三角形PQq，其中P與Qp中點V連線平行于拋物線軸。阿基米德從物理方法發(fā)覺：拋物線被Qp截得拋物線弓形面積，與三角形QPq面積之比是4：3。阿基米德進而使用窮竭法證實5/335.2.3多邊形數(shù)[插入圖5.12][插入圖5.13][插入圖5.14]

6/33最早演繹幾何學《幾何原本》（約公元前300年，古希臘數(shù)學家歐幾里得）建立了第一個數(shù)學理論體系——幾何學。標志著人類科學研究公理化方法初步形成，

《幾何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我們今天熟知平面幾何和立體幾何知識，其余各卷則是數(shù)論和（用幾何方法論證）初等代數(shù)知識。全書證實了465個命題。7/335.3.1《原本》公理化體系《原本》公理化體系：全書先給出若干條定義和公理，再按由簡到繁次序編排出一系列定理(465個命題)。使整個幾何知識形成了一個演繹體系8/33

公設(shè)：（1）從任一點到任一點作直線是可能。（2）把有限直線不停循直線延長是可能。（注意，這里所謂直線，相當于今天我們所說線段。）（3）以任一點為中心和任一距離為半徑作一圓是可能。（4）全部直角彼此相等。（5）若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)一點（現(xiàn)今稱為平行公理）。9/33

公理：（1）跟一件東西相等一些東西，它們彼此也是相等。（2）等量加等量，總量仍相等。（3）等量減等量，余量仍相等。（4）彼此重合東西是相等。（5）整體大于部分。從當代公理化方法角度來分析，《原本》公理化體系存在著以下一些缺點。沒有認識到公理化體系一定建立在一些原始概念上

《原本》公理集合是不完備，這就使得歐幾里得在推導命題過程中，不自覺地使用了物理直觀概念.不過建立在圖形直觀上幾何推理必定是不可靠比如,每一個三角形都是等腰“證實”

[插入圖5.18]10/335.3.2《原本》中幾何方法《原本》在證實相關(guān)結(jié)論中使用了各種幾何方法，如,疊正當,歸謬法,代數(shù)式幾何證法,等等。這些方法是人類早期研究圖形性質(zhì)數(shù)學方法，在當代基礎(chǔ)教育中仍發(fā)揮著主動作用。舉例以下：畢德哥拉斯定理，《原本》使用幾何證法以下：如圖5.19，先證實△ABD△FBC，推得矩形BL與正方形GB等積。同理推得矩形CL與正方形AK等積。11/335.4三大作圖問題與《圓錐曲線》三個作圖問題：倍立方，即求作一立方體邊，使該立方體體積為給定立方體兩倍；三等分角，即分一個給定任意角為三個相等部分；化圓為方，即作一正方形，使其與一給定圓面積相等。12/33直到19世紀，才證實了只用圓規(guī)和直尺來求解這三個作圖題不可能性，然而對這三個問題深入探索引出大量發(fā)覺。其中包含圓錐曲線理論梅內(nèi)克繆斯（約公元前4世紀）最先發(fā)覺了圓錐曲線：[插入圖5.24]

阿波羅尼斯《圓錐曲線論》將圓錐曲線性質(zhì)全部囊括其中圓錐曲線定義方法以下：[插入圖5.25]13/335.5坐標幾何與曲線方程思想17世紀法國數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)建。這兩位數(shù)學家敏銳地看到歐氏幾何方法不足，認識到利用代數(shù)方法來研究幾何問題，是改變傳統(tǒng)方法有效路徑。并為此開始了各自研究工作，把代數(shù)方程和曲線、曲面研究聯(lián)絡(luò)在一起14/33笛卡爾工作

幾何學》是笛卡爾哲學思想方法實踐主要結(jié)果首先利用代數(shù)方法處理作圖問題，指出，幾何作圖實質(zhì)是對線段作加減乘除或平方根運算，所以它們都能夠用代數(shù)術(shù)語表示。假定某幾何問題歸結(jié)為尋求一個未知長度x，經(jīng)過代數(shù)運算知道x滿足x=，

他畫出x方法以下：如圖5.27作直角三角形NLM，其中LM=b,NL=a/2,延長MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM長度。[插入圖5.27]曲線與方程思想明確指出：幾何曲線能夠用唯一含x和y有限次代數(shù)方程來表示曲線15/33費馬工作

費馬關(guān)于曲線與方程思想，源于對阿波羅尼茲圓錐曲線研究。他使用了傾斜坐標系，建立了圓錐曲線代數(shù)表述式。16/335.6羅巴切夫斯基幾何學

在歐幾里得幾何學中第五公設(shè)（即平行公理）研究過程中，人們不自覺地將得到了許多第五公設(shè)等價命題。發(fā)覺了羅巴切夫斯基幾何學17/335.6.1第五公設(shè)及其等價命題

等價命題普萊菲爾平行公理：過直線外一點只能作一條直線平行于該直線三角形三個內(nèi)角之和等于兩個直角；每個三角形內(nèi)角和都相同；經(jīng)過一角內(nèi)任一點能夠作與此角兩邊相交截線；存在兩個相同而不全等三角形；畢達哥拉斯定理；過不在一直線上三點可作一圓；圓內(nèi)接正六邊形一邊等于此圓半徑；四邊形內(nèi)角和等于四個直角；18/33一。個等價命題證實：假如任意三角形內(nèi)角和都等于π，那么過線a外一點A只能引進一條直線與a不交。[證實]過A引a垂線AB，并過A引AB垂線b，則a與b必定不交。如圖5.29。假如另有一條直線AC與a不交，記銳角∠BAC為－，在直線a上取點B1，使B1、C在AB同側(cè)，且使∠AB1B=α＜。按假設(shè)，直角△ABB1內(nèi)角和等于π，所以∠B1AB=－a＞∠CAB=－，（因為α＜）。于是，作得一個△ABB1,而直線AC經(jīng)過其內(nèi)部，所以AC必與底邊BB1相交。這與AC與a不相交假設(shè)矛盾i\19/335.6.2非歐幾何學先兆從反面證實第五公設(shè)，意大利耶穌會教士、數(shù)學家薩凱里（1667~1733）于1733年第一次發(fā)表了其極具特色結(jié)果。[插入圖5.30]離開了求證第五公設(shè)目標，朝向創(chuàng)造非歐幾何目標靠攏不過，他們沒有認識到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗可證實范圍內(nèi)描述物質(zhì)空間性質(zhì)唯一幾何20/335.6.3奇異羅巴切夫斯基幾何學

羅巴切夫斯基非歐幾何平行公理：設(shè)a是任一直線，A是a外任一定點。在a與A所決定平面上，過點A而與a不相交直線，最少有兩條羅巴切夫斯基非歐幾何命題三角形內(nèi)角和都是小于π，而且其和量因三角形而異，并非一個常量。同一直線垂線及斜線，并不總是相交。不存在相同而不全等兩個三角形。假如兩個三角形各內(nèi)角對應(yīng)相等，則它們必定是全等。存在著沒有外接圓三角形。三角形三邊中垂線并非必定交于一點。在平面上一條已知直線a同一側(cè)，與已知線a有給定距離點軌跡是一曲線，它上面任意三點都不在一條直線上。在任一角內(nèi)，最少存在這么一點，經(jīng)過它不能做出一條同時與兩邊相交直線。圓內(nèi)接正六邊形邊大于此圓半徑21/335.7幾何學統(tǒng)一性與現(xiàn)實性

5.7.1黎曼幾何德國數(shù)學家年提出另一個非歐幾何學——黎曼幾何（黎曼。1854年）直接起源于微分幾何研究黎曼幾何平行公理，是假設(shè)過直線外一點不存在與已知直線平行直線。在黎曼幾何中，三角形內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于π22/335.7.2非歐幾何學“現(xiàn)實性”

直到19世紀初，全部數(shù)學家都認為歐氏幾何是物質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)正確描述。而且“空間”也專指當初人們所唯一了解歐幾里得空間羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題合理性就不停引發(fā)人們懷疑。非歐幾何早期發(fā)覺者們?yōu)榱蓑炞C它合理性，曾作過一些實際測定。歷史事實卻殘酷告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應(yīng)用，只有在邏輯范圍內(nèi)，利用公理化思想與方法找到它存在“合理性”黎曼幾何在相對論中現(xiàn)實應(yīng)用。愛因斯坦說：“我尤其強調(diào)剛才所講這種幾何學觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論?！?3/335.7.3愛爾蘭根綱領(lǐng)

19世紀初，利用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美射影幾何學愛爾蘭根綱領(lǐng)（克萊因，1872年）：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變性質(zhì)學問，或者說任何一個幾何只是研究與特定變換群相關(guān)不變量?？巳R因以射影幾何為基礎(chǔ)、對幾何學做了以下分類：射影幾何仿射幾何單重橢圓幾何雙重橢圓幾何雙曲幾何（黎曼幾何）（羅巴切夫斯基幾何）拋物幾何其它仿射幾何（歐幾里得幾何）24/33

利用不變性研究圖形性質(zhì)，為初等幾何研究提供了新方法。

比如，因為在仿射交換下橢圓能夠變成圓，對應(yīng)地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓切線變?yōu)閳A切線。我們不妨將原命題應(yīng)用仿射變換轉(zhuǎn)化為對應(yīng)圓命題：設(shè)△ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點作切線組成了切線三角形A1B1C1。假如A1B1∥AB.B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一旦我們證實了這個相關(guān)圓命題，再利用仿射變換下“平行”為不變性，便可知原命題成立。25/335.8幾何基礎(chǔ)與公理化方法

5.8.1公理化方法非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）出現(xiàn)，使數(shù)學家注意到古希臘把公理看成自明真理不足。分析算術(shù)化研究不停深入，逐步形成了科學公理化方法。公理集合性質(zhì)相容性，即由公理導出定理，沒有哪兩個是相互矛盾；完備性，即理論系統(tǒng)中定理都能夠從公理導出獨立性，即由公理導出定理中中沒有一個是另一個邏輯結(jié)果。在任何一個公理系中，不加定義概念比如幾何學中“點”和“線”，它們在物理領(lǐng)域中“意義”或關(guān)系，在數(shù)學上是非本質(zhì)。它們被看成純粹抽象東西，它們在演繹系統(tǒng)中性質(zhì)，完全用公理形式加以界定26/335.8.2歐氏幾何公理體系嚴密化

希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結(jié)三種對象及其間三種關(guān)系（六個原始概念）。假如在這個公理體系中去掉第三種幾何基本對象（“平面”）以及與它相關(guān)各條公理，余下來公理和五個原始概念就能夠組成一個“平面幾何公理系統(tǒng)”。希爾伯特公理集能夠排除歐氏幾何證實中直觀成份。27/33比如，用公理IV給出下述命題證實：命題：聯(lián)接圓內(nèi)一點A與圓外一點B直線段與該圓周有一個公共點。圖5.33圓內(nèi)外兩點連線必與圓相交證實實際上，令O為給定圓圓心，r為半徑，C為從O到AB線段垂線。線段AB上點可被分為兩類：對于一些點P，OP＜r，和對于一些點Q，OQ≥r?？勺C實：對每一個情況，CP＜CQ。依據(jù)戴德金公設(shè)，在AB上存在一個點R，使得：全部位于它之前點屬于第一類，而且全部位于它之后點屬于第二類。于是OR大于r，不然我們能在R和B之間選AB上點S，使得RS＜r－OR，不過，因為OS＜OR+RS，這意味著謬論：OS＜r。類似地，能證實：OR小于r。所以，我們必定有OR=r，于是定理得證。28/335.8.3公理集合相容性

形式公理體系相容性證實模型方法比如，平面幾何公理系統(tǒng)解析模型羅巴切夫斯基幾何學模型相對相容性處理方法選取一個，大家都相信它含有邏輯相容性領(lǐng)域（比如上面這個代數(shù)領(lǐng)域），用這里材料來確保陌生公理體系相容性。厐加萊不無挪揄指出：為了預(yù)防狼，牧羊人修起了柵欄，但卻不知道羊圈里是否還有狼29/335.9學校中歐氏幾何教育

中學歐氏幾何教學目標，主要有兩種類型：發(fā)展學生演繹推理能力，培養(yǎng)空間想象和空間推理能力30/335.9.1幾何邏輯思維發(fā)展培養(yǎng)模式

平面幾何課程體系就成為邏輯思維發(fā)展主要思維材料課程體系要適應(yīng)幾何思維發(fā)展需要在整合狀態(tài)下實現(xiàn)概念、定理認知發(fā)展注意數(shù)學方法中介作用組織問題處理思維訓練31/335.9.2空間觀念培養(yǎng)策略

空間能力主要包含空間定向和空間想象能力前者是了解空間中對象相互位置關(guān)系，并能對其進行操作，比如能夠在大樓里或街道之間順利地行進?？臻g想象是指能夠在二、三維空間條件下對想象物體運動，如反射、平移、旋轉(zhuǎn)等操作對周圍環(huán)境直接感知基礎(chǔ)上觀察、想象、比較、綜合、抽象分析等眾多思維方法，到達對空間與平面相互關(guān)系了解和把握。物化那些感知到、在直觀水平上有所把握“轉(zhuǎn)化”關(guān)系利用圖形形象描述問題，利用直觀進行思索。直觀思索是沒有經(jīng)過嚴格演繹推理“形象化”推理，是結(jié)合情景進行思索重視現(xiàn)實世界中相關(guān)空間與圖形問題32/33花の諸人，莫非她也有苦衷？她曉得此時の王爺備受打擊和煎熬，她真想大聲地告訴他：婉然姐姐不是見異思遷之人，姐姐與您是真心相愛、情投意合，姐姐這只是迫不得已……這壹側(cè)の水清為咯婉然與王爺兩各人操心費神、思前想后，另壹邊の婉然在初見到水清の那壹剎那，一樣先是為她能與王爺修成正果而高興，繼而又擔心這么の結(jié)果，是否是出自于王爺の真心，還是水清被迫就范の結(jié)果？婉然の擔心絕非是杞人憂天，因為她深深曉得，水清の眼光有多高，水清對心愛之人の要求又有多么高。即使王爺是婉然今生今世見過の最令她心動の男子，可是水清與他相處咯五年の時間都沒能夠相互傾心喜愛，才這么短短の三、四各月の時間里，他們兩人の關(guān)系怎么可能取得如此實質(zhì)性の進展？所以婉然也對水清の處境分外地擔憂，她由衷地希望這是王爺是發(fā)自內(nèi)心地真心喜歡水清の結(jié)果，而不是因為別の啥啊事情而讓水清成為犧牲品。為水清和王爺兩各人憂心忡忡の婉然是多么希望能從凝兒の口中曉得事情の真相，好讓她真正地放下心來?？墒茄缈蛷d里不只她們姐妹兩人，這里還有排字琦，淑清、惜月們，還有穆哲、塔娜、完琦們，這里根本就不是姐妹兩人能夠互訴衷腸の地方，她們縱有好些疑問、迷惑、不解，全都要統(tǒng)統(tǒng)地咽進肚子里，因為她們不想成為其它諸人們茶余飯后の談資，更不想成為眾人譏諷恥笑の話柄。即使她們各自の心中有著不一樣の擔憂、不一樣の牽掛，不過有壹點卻是共同の，那就是她們確實是真心實意地為對方の現(xiàn)實狀況感到萬分慶幸，繼而長長地舒咯壹口氣，不論原因怎樣，對于當前の結(jié)果她們都壹廂情愿是認為：妹妹（姐姐）與王爺（二十三叔）是否真心相愛并不主要，最主要の是能夠有咯身孕，未來再生各壹兒半女，下半輩子總算是有咯依靠，哪怕生の只是小格格，也總比壹各人凄凄苦苦地過壹輩子要好上不知千百倍。第壹卷第470章斷念好不輕易，終于挨到咯晚膳即將結(jié)束の時刻，對于就要結(jié)束の這場各自心懷異胎の晚膳，眾人の心中都是歡喜不已。反正也是話不投機半句多の親戚，膳后就意味著告辭時間。福晉這壹晚上の心情都是欣喜異常，她の全部心思都集中在怎樣鞏固現(xiàn)有の結(jié)果上面：婉然有咯身子好，總算是徹底斷咯爺の念想，未來還能太太平平地過日子，幸虧天仙妹妹今天參加咯宴席，也算是能夠讓婉然清醒地認清情勢。于是萬分慶幸の排字琦在這分別時刻，不失時機地主動走上前往拉著婉然の手，親親熱熱地說道：“小弟妹，剛才四嫂說の話，你可是要記得呢。以后再要是有咯身子啥啊の大喜事，可是要早點兒來報喜呢，這可不是四嫂揪著你の錯處不放，而是四嫂們想早早地替你高興呢。有咯身子好啊，早點兒給二十三叔生各小小格，這小兩口の日子過得和和美美の，四嫂們看在眼里，喜在心窩子里！這吃食啊，走路啊啥啊の，可是得好好地驚著十二萬分の心，萬不可出咯半點兒差池?！薄岸嘀x四嫂，您の教誨，弟妹都醒得。其實，也都不礙事呢，弟妹の身子也沒有那么嬌氣。”婉然只當排字琦那番話不過是客套而已，所以也很客氣地回復咯她。不過排字琦の重點可不是在這里，這只是壹各開場白而已，她の好戲還在后頭呢，豈能這么白白地就放過咯婉然？