1.1數(shù)列的概念（5知識(shí)點(diǎn)8題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

1.1數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。(1)掌握數(shù)列的概念;(2)掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式的概念，會(huì)判斷簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)理解數(shù)列的遞推公式的概念；(4)理解數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，掌握通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系，并會(huì)利用其求數(shù)列通項(xiàng)公式；(難點(diǎn))(5)理解數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系與區(qū)別，會(huì)判斷數(shù)列的單調(diào)性和求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)。(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01數(shù)列的概念(1)定義：數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)；(2)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，第一項(xiàng)常稱為首項(xiàng)；(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a解析與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)：①確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的．(與集合相同)②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)．(與集合不同)如數(shù)列1,1,1，而由1,1,1組成的集合是{1}．③有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序有關(guān)．(與集合不同)如1,3,4與1,4,3代表不同的數(shù)列，而集合{1,3,4}與{1,4,3}卻是相同的．【即學(xué)即練1】判斷正誤(正確的寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤)(1)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一個(gè)數(shù)列．()(2)數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)．()(3)an與an(4)有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式．()【答案】錯(cuò)誤正確正確正確【分析】利用數(shù)列的概念進(jìn)行判斷正確錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于(1)，按照一定次序排列起來的一列數(shù)稱為數(shù)列，故(1)錯(cuò)誤；對(duì)于(2)，根據(jù)數(shù)列的概念，故(2)正確;對(duì)于(3)，an表示an的第n項(xiàng)，故(3對(duì)于(4)，例如π的不同近似值，根據(jù)精確度，可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141，…，則它沒有通項(xiàng)公式，故(4)故答案為：①錯(cuò)誤；②正確；③正確；④正確.知識(shí)點(diǎn)02數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)解析(1)an與{an}是不同的概念，{an(2)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值.(3)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有不同的形式，比如數(shù)列1,0,1,0，…，其通項(xiàng)公式可以是an=【即學(xué)即練2】已知數(shù)列1,2,3,4,…，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n=1 B．a(chǎn)n=n2C【答案】C知識(shí)點(diǎn)03數(shù)列的遞推公式若已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1(或前n項(xiàng))，且任一項(xiàng)an和它的前一項(xiàng)an-1(解析(1)舉例：a1(初始條件)，an=2aa1(2)通項(xiàng)公式與遞推公式的異同不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)，直接用代入法求出該項(xiàng)都可確定一個(gè)數(shù)列，都可求出數(shù)列的任何一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)的值，通過一次或多次賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的項(xiàng)【即學(xué)即練3】已知數(shù)列an中，a1=1，a【答案】5【詳解】a2=3a知識(shí)點(diǎn)04數(shù)列的前n項(xiàng)和若Sn為數(shù)列an的前n則an解析(1)若已知列an的前n項(xiàng)和Sn，可利用公式an=(2)證明若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，根據(jù)定義可得，Sn=故當(dāng)n=1時(shí)，an當(dāng)n≥2時(shí)，由1-(2)得S即an【即學(xué)即練4】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n【答案】8【詳解】a4知識(shí)點(diǎn)05數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系1數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義例子按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4,….,n無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列1,2,3,4,…,n,….按項(xiàng)的大小遞增數(shù)列a2,4,8,…,2n,…遞減數(shù)列a1,常數(shù)列每項(xiàng)都相等的數(shù)列1,1,1,…擺動(dòng)數(shù)列每項(xiàng)的大小忽大忽小的數(shù)列1,-2,3,-4,5,…2數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列就是定義在正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3....n})上的函數(shù)f(n)，其圖象是一系列有限或無限孤立的點(diǎn)如數(shù)列an=nay定義域NR圖象增減性遞增數(shù)列在-∞,0遞減，在0,+∞遞增最值最小項(xiàng)1，無最大項(xiàng)最小值0，無最大值【即學(xué)即練5】數(shù)列的通項(xiàng)公式an=【答案】8【詳解】方法1an當(dāng)n≥3時(shí)，an+1>an即an在n<3時(shí)遞減，在n≥3時(shí)遞增，故最小項(xiàng)方法2an=n函數(shù)圖象開口方向向上，對(duì)稱軸為x=3，易得x=3時(shí)取到最小值所以最小項(xiàng)為a3【題型一：數(shù)列的概念】例1．下列說法中，正確的是(

)A．?dāng)?shù)列2,4,6,8可表示為集合2,4,6,8B．?dāng)?shù)列1,2,3,4與數(shù)列4,3,2,1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列n2+n的第kD．?dāng)?shù)列0,1,2,3,4,?可記為n【答案】C【分析】利用數(shù)列定義即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，由數(shù)列的定義易知A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩個(gè)數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列n2+n的第k項(xiàng)為k2對(duì)于D，因?yàn)?∈N，所以n∈N，這與數(shù)列的定義不相符，故D故選：C.變式11．下列說法正確的是(

)A．?dāng)?shù)列1,3,5,7,?,2n-1可以表示為1,3,5,7,?B．?dāng)?shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列n+1n的第k項(xiàng)為1＋D．?dāng)?shù)列0,2,4,6,8,?可記為2n【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的概念求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，數(shù)列1,3,5,7,?,2n-1和數(shù)列1,3,5,7,?，前者是有限項(xiàng)，后者是無限項(xiàng)，所以兩個(gè)數(shù)列不一樣，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1的項(xiàng)的順序不相同，所以不是相同數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，n+1n=1+1n，所以數(shù)列n+1n的第k項(xiàng)為1＋D選項(xiàng)，數(shù)列0,2,4,6,8,?可記為2n,n∈N，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C變式12．下列敘述正確的是(

)A．?dāng)?shù)列nn+1B．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為aC．?dāng)?shù)列0，0，0，1，…是常數(shù)列D．?dāng)?shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2是相同的數(shù)列【答案】A【分析】作差即可判斷A項(xiàng)；代入檢驗(yàn)，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)常數(shù)列以及數(shù)列的概念，即可判斷C、D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)an則an+1-an=所以，數(shù)列nn+1是遞增數(shù)列.故A對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1與第一項(xiàng)為0不符.故對(duì)于C項(xiàng)，數(shù)列中的項(xiàng)并不完全相同.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列與順序有關(guān).所以，數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2不是相同的數(shù)列.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】1理解數(shù)列的概念，注意集合與數(shù)列的區(qū)別；數(shù)列具有有序性、確定性、可重復(fù)性；2{an}指的是整個(gè)數(shù)列，而an【題型二：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式】例2．?dāng)?shù)列35,47,5A．n2n-1 B．n+22n-3 C．n2n+1【答案】D【分析】通過數(shù)列的規(guī)律總結(jié)出數(shù)列的第n項(xiàng)即可【詳解】設(shè)該數(shù)列為an則a以此類推可得an故選：D變式21．?dāng)?shù)列1,31,52,73，?的第n項(xiàng)為A．n+1n B．2n+1n-1 C．2n-1【答案】D【分析】分別分析底數(shù)和指數(shù)的變化規(guī)律，得到數(shù)列通項(xiàng).【詳解】底數(shù)1,3,5,7?構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為2n-1；指數(shù)0,1,2,3?構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為n-1.所以數(shù)列1,31,52,73，?的第n故選：D變式22．?dāng)?shù)列2,-43,65,-A．1615 B．-1615 C．18【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納可得其通項(xiàng)公式，從而可得第8項(xiàng).【詳解】由數(shù)列2,-4a1=2所以第8項(xiàng)是a8故選：B.【方法技巧與總結(jié)】可把項(xiàng)分成幾部分(比如符號(hào)、分子、分母、指數(shù)等等)，先確定每部分的規(guī)律寫成其第n項(xiàng)，再確定整項(xiàng)的寫法.【題型三：數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用】例3．在數(shù)列an中，已知an=n2+n-13，A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】B【分析】直接令n2+n-1【詳解】令n2+n-13解得n=4或n=-5(舍).故選：B變式31．在數(shù)列an中，若an=2n-1,n為奇數(shù)A．17 B．23 C．25 D．41【答案】D【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a5,【詳解】aa6故a5故選：D變式32．已知數(shù)列an滿足an=2n，數(shù)列bn滿足bn=5n+2n∈NA．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】通過列舉數(shù)列bn的項(xiàng)的方法，即可求解【詳解】bn的前6項(xiàng)依次為7,12,17,22,27,32，因?yàn)閎6=32=25故選：C變式33．已知數(shù)列an滿足：對(duì)?n∈N*，an=logn+1(n+2)，設(shè)TA．a(chǎn)1>a2 B．a(chǎn)1>【答案】D【解析】A.根據(jù)a1=log23>log222=32，a2=log34<【詳解】因?yàn)閍1=log23>log22a7=log8T6=log2T7=T6×log89，因?yàn)門故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列項(xiàng)的比較大小和累乘法，還考查了對(duì)數(shù)的換底公式對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.【方法技巧與總結(jié)】數(shù)列通項(xiàng)公式an可看成是以n為自變量的函數(shù)，如fx=a【題型四：數(shù)列的遞推公式】例4．在數(shù)列an中，若a2=2,anA．1012 B．1013 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用遞推公式構(gòu)造數(shù)列ann+2【詳解】因?yàn)閍n=n+2an+1所以ann+2是常數(shù)列，所以又a2=2，所以故選：B變式41．?dāng)?shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式可以是(

)A．a(chǎn)n+1=an+n，n∈N*C．a(chǎn)n+1=an+(n+1),n≥2，n∈N*【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到a2-a1=2，a3-a【詳解】設(shè)數(shù)列1，3，6，10，15，…為{an}，則a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a由此可得數(shù)列{an}故選：B．變式42．已知數(shù)列an滿足：a1=3,an+1=A．34 B．42 C．46 D．64【答案】B【分析】由a1=3,a【詳解】a1則a2＝3a1+1＝則a1故選：B.變式43．已知數(shù)列an滿足an+1=1-1an，aA．2 B．12 C．-1 D．【答案】B【分析】由題意確定數(shù)列為周期數(shù)列，然后求解即可.【詳解】由a1=2,an+1=1-所以數(shù)列an是以3為周期的一個(gè)周期數(shù)列所以a2024故選：B.【方法技巧與總結(jié)】遞推公式是數(shù)列的一種表示方法，在求值的過程中注意下標(biāo)的特點(diǎn).【題型五：由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式】例5．(1)已知數(shù)列an滿足a1=12(2)數(shù)列an中，a1=1，an+1an=【答案】(1)a(2)a【分析】(1)利用疊加法，結(jié)合裂項(xiàng)相消的知識(shí)可得通項(xiàng)公式；(2)利用累乘法求解即可.【詳解】(1)因?yàn)閍n+1=a所以an=a綜上：an而a1=1(2)因?yàn)閍1=1，an+1綜上：a2022變式51．已知數(shù)列an對(duì)任意k∈N*滿足ak?A．21012 B．21013 C．22024【答案】A【分析】由ak?ak+1=2【詳解】解：由ak?a所以ak+2所以a2024a2022?又因?yàn)閍1?①②兩式相乘，得a1故選：A．變式52．若數(shù)列an滿足an=an-1+1n2+nA．20222023 B．20232024 C．20242025【答案】C【分析】將數(shù)列遞推式整理裂項(xiàng)，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)相消法求和，得到數(shù)列通項(xiàng)即得.【詳解】由an=a則有，a=1故a2024故選：C.變式53．已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1=A．145 B．146 C．155【答案】B【分析】根據(jù)題意，兩邊取倒數(shù)，然后累加即可得到結(jié)果.【詳解】∵an+1=annan+1，則1an+1=n故選：B【方法技巧與總結(jié)】形如an+1-an=f(n)可采取累加法求通項(xiàng)公式an，形如【題型六：利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式】例6．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列Sn前6【答案】(1)a(2)151【分析】(1)由an與Sn的關(guān)系，求數(shù)列(2)由Sn=n2+2n+3【詳解】(1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=1時(shí)，a1n≥2時(shí)，ana1不符合a所以an(2)數(shù)列Sn前6項(xiàng)和為6+11+18+27+38+51=151變式61．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=n+1A．a(chǎn)1+aC．a(chǎn)1+a【答案】D【分析】利用根據(jù)an=S1【詳解】∵Sn=n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，S當(dāng)n=1時(shí)，S1=2≠a1對(duì)于A，a1+a5=3對(duì)于B，a1+a5=3對(duì)于C，a1+a2=3對(duì)于D，a2+a3故選：D變式62．已知數(shù)列an滿足a1+a2A．3n B．3n-1 C．3n【答案】A【分析】由數(shù)列遞推式考慮賦值作差，即可求出an，需要檢測首項(xiàng)是否符合【詳解】由a1+a2當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1+a由①-②：an3n-1當(dāng)n=1時(shí)，符合題意，故an故選：A.變式63．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)記bn=2anan+1【答案】(1)a(2)T【分析】(1)由4Sn=2n+1a(2)求出bn，由裂項(xiàng)相消法可求出數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【詳解】(1)因?yàn)?Sn=2n+1a因?yàn)?S所以4S兩式相減得4a即2n-3a所以an所以a2即an所以當(dāng)n≥2時(shí)，an又a1=1，所以(2)由(1)可得bn所以Tn【方法技巧與總結(jié)】1理解an2利用an=S1,n=1Sn【題型七：數(shù)列的單調(diào)性問題】例7．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a(1)問14(2)判斷數(shù)列an【答案】(1)是，第17項(xiàng)；(2)數(shù)列an【分析】(1)由nn+51=1(2)計(jì)算an+1-【詳解】(1)14是這個(gè)數(shù)列的第17由an=n故14是數(shù)列an的項(xiàng)，是第(2)數(shù)列an由題知，a==∵n∈N*∴數(shù)列an變式71．已知數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，an=m2n-1-nA．2,+∞ B．C．32,+∞【答案】C【分析】由數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列得an+1-an=m?2n【詳解】由題意可得an=m(2即?n∈N*，整理得m>2n+1令bn=2n+12n所以數(shù)列bn單調(diào)遞減，故b1=則m的取值范圍為32,+∞，故故選：C．變式72．?dāng)?shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2-kn，若數(shù)列【答案】k<3【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性建立不等式，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由數(shù)列an是遞增的，則an+1>整理可得2n+1-k>0，由一次函數(shù)的單調(diào)性且n∈N*，則解得k<3.故答案為：k<3.變式73．已知數(shù)列an滿足a(1)求a1,a(2)證明：數(shù)列an【答案】(1)a1=2，a(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)條件，取n=1，即可求出a1=2，再利用an(2)根據(jù)(1)中結(jié)果，通過證明an+1a【詳解】(1)因?yàn)閍1+2當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1+2由①-②得nan=當(dāng)n=1時(shí)，a1=2?31-1當(dāng)n=2時(shí)，a2故a1=2，a2(2)由(1)知，an=2?3n-1又3nn+1-1=2n-1n+1>0得到an+1>a所以數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列【方法技巧與總結(jié)】判斷數(shù)列的單調(diào)性，可以作差法：比較an+1-an與0的大小，或作商法：比較a【題型八：數(shù)列的最值問題】例8．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求數(shù)列an(2)若bn=a【答案】(1)a(2)第7項(xiàng)【分析】(1)根據(jù)an(2)根據(jù)an得到bn【詳解】(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a(2)由已知得b1當(dāng)n≥2時(shí)，bn則bn≥b得2n≥104104≥2n-1所以當(dāng)n≥2，bn的最大項(xiàng)為第7又b7所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第7項(xiàng)變式81．?dāng)?shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且an=33n-13，則關(guān)于aA．a(chǎn)n，Sn都有最小值 B．a(chǎn)n，C．a(chǎn)n，Sn都無最小值 D．a(chǎn)n，【答案】A【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)的單調(diào)性和正負(fù)即可判斷出答案．【詳解】因?yàn)閍n=33n-13，所以當(dāng)當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，且單調(diào)遞減，故當(dāng)n=4時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)n≤4時(shí)，an<0；當(dāng)n≥5時(shí)，an綜上可知an，S故選：A變式82．已知an=n?(45)A．a(chǎn)10 B．a(chǎn)8 C．a(chǎn)6【答案】D【分析】作商探討數(shù)列an的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大項(xiàng)即可【詳解】數(shù)列an中，an=n?令45×n+1n>1，解得n<4，則當(dāng)n<4同理當(dāng)n>4時(shí)，an+1<an，即a5所以數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為a故選：D變式83．（多選）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n-98n-99，前n項(xiàng)積為A．在數(shù)列an中，a10是最大項(xiàng) B．在數(shù)列an中，C．?dāng)?shù)列Sn單調(diào)遞減 D．使Sn取得最小值的n【答案】ABD【分析】判斷數(shù)列an的單調(diào)性，由此求得最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，進(jìn)而判斷A,B選項(xiàng)，再根據(jù)項(xiàng)與1的大小關(guān)系判斷Sn的單調(diào)性及最值判斷C，D【詳解】an=n-98n-99=1+99-98n-當(dāng)n≥10時(shí)an隨著n的增大越來越小且大于1，則前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為a10，最小項(xiàng)為故A，B選項(xiàng)正確；當(dāng)1≤n≤9時(shí)，0<當(dāng)n≥10時(shí)，an=1+99-98n-前n項(xiàng)積Sn取得最小值時(shí)n為9，故D選項(xiàng)正確故選：ABD.變式84．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=【答案】(1)a(2)9【分析】(1)根據(jù)an(2)求出b1=15，當(dāng)n≥2時(shí)，計(jì)算出bn+1bn=12【詳解】(1)Sn=2n+3當(dāng)n≥2時(shí)，an其中21-1故a(2)當(dāng)n=1時(shí)，b1當(dāng)n≥2時(shí)，bn則bn+1當(dāng)n=2時(shí)，b3當(dāng)n≥3時(shí)，1n+1≤43，故n≥2時(shí)，bn的最大項(xiàng)為b又b3>b1，故數(shù)列【方法技巧與總結(jié)】要求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，方法1是猶如求函數(shù)最值，先分析數(shù)列的單調(diào)性，再求最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；方法2是利用數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，了解數(shù)列對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)從而得到數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).一、單選題1．下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是(

)A．?dāng)?shù)列n+1n的第k項(xiàng)為B．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2C．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33…的一個(gè)通項(xiàng)公式為aD．?dāng)?shù)列an的通項(xiàng)公式為an=【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的定義由通項(xiàng)公式寫出第k項(xiàng)，判斷A，令an=-8解出項(xiàng)數(shù)n判斷B，數(shù)列各項(xiàng)減1配出等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式判斷C，作差an+1【詳解】A，數(shù)列n+1n的第k出項(xiàng)為1+1kB，令n2-n-50=-8，得n=7或n=-6(舍去)，C，將3，5，9，17，33，…的各項(xiàng)減去1，得2，4，8，16，32，…，設(shè)該數(shù)列為bn，則其通項(xiàng)公式為bn=2n(n∈N*)，因此數(shù)列3，5，9，17D，an=nn+1=1-1n+1故選：C．2.數(shù)列-3,54,-79,A．-23121 B．23121 C．-【答案】A【分析】由所給數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，確定數(shù)列的第11項(xiàng).【詳解】設(shè)該數(shù)列的第n項(xiàng)為an由已知a1變形可得a1所以數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是a則a11故選：A.3.在數(shù)列an中，若an=2n-1,n?為奇數(shù)A．17 B．23 C．25 D．41【答案】A【分析】根據(jù)給定的通項(xiàng)公式，直接計(jì)算即可.【詳解】依題意，a4故選：A4.已知數(shù)列an滿足a1=-1，an+1(an-1)+1=0(n∈A．6 B．92 C．3 D．【答案】B【分析】利用數(shù)列遞推公式對(duì)n進(jìn)行賦值求出數(shù)列的項(xiàng)，判斷并運(yùn)用其周期性即可求得S9【詳解】因a1=-1，由an+1則a2=11-a1故數(shù)列an是周期為3從而數(shù)列an的前9項(xiàng)和為S故選:B.5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn+1A．190 B．210 C．380 D．420【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合Sn+1-【詳解】數(shù)列an中，n∈N*，Sn+1=兩式相減得an+1=a因此(n+1)nan=n(n-1)而S2=a2-a1所以1a故選：B6.對(duì)于給定的正整數(shù)數(shù)列an，滿足an+1=an+bn，其中bA．如果a1是5的倍數(shù)，那么數(shù)列an與數(shù)列B．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列an與數(shù)列C．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列an與數(shù)列D．如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列an與數(shù)列【答案】D【分析】分情況討論a1的個(gè)位數(shù)字為0或5，結(jié)合數(shù)列2n中項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)推理可知，如果a1不是5的倍數(shù)，那么數(shù)列an的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，這與數(shù)列2n中項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字相同，即可判斷B、【詳解】如果a1是5的倍數(shù)，則a1的個(gè)位數(shù)字為0當(dāng)a1的個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，則b1=0，根據(jù)an+1=當(dāng)a1的個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，則b1=5，根據(jù)an+1=an而數(shù)列2n中項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字只能為2，4，6，8所以數(shù)列an與數(shù)列2n沒有相同的項(xiàng)，當(dāng)a1不是5的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)字加上它的末尾數(shù)字，一直加下去，則這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4，6，8數(shù)列2n中項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字也只能是2，4，6，8，故它們必有相同的項(xiàng)，且有無窮多個(gè)相同的項(xiàng)，故B、C不正確，D項(xiàng)正確故選：D.7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=9nA．109 B．910 C．99【答案】D【分析】法一：利用作差法求解；法二：設(shè)數(shù)列an的第n項(xiàng)最大，由an【詳解】解：方法一：an+1-an=9n+1n+2當(dāng)n<8時(shí)，an+1-a當(dāng)n=8時(shí)，an+1-a當(dāng)n>8時(shí)，an+1-a所以a1所以數(shù)列an有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a方法二：設(shè)數(shù)列an的第n項(xiàng)最大，則a即9n解得8≤n≤9，又n∈N*，則n=8或故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a8故選：D8.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=A．a(chǎn)n<an+1 B．Sn>【答案】D【分析】首先求數(shù)列an的解析式，再結(jié)合數(shù)列的解析式，以及條件，判斷數(shù)列an和S【詳解】由條件可知，Sn當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an驗(yàn)證，當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an當(dāng)n≥2時(shí)，an=43nSn=1-23n當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an+2S當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an=43n單調(diào)遞減，當(dāng)n=2當(dāng)n→+∞時(shí)，a所以0<an≤4故選：D二、多選題9.數(shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以是（

）A．a(chǎn)n=(-1)C．a(chǎn)n=2|sin【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，逐項(xiàng)驗(yàn)證判斷即得.【詳解】對(duì)于A，a1=2,a對(duì)于B，a1=2,a對(duì)于C，a1=2,a對(duì)于D，a1=0,a2故選：ABC10.若數(shù)列an滿足，對(duì)任意正整數(shù)n，恒有an≥a7，則A．a(chǎn)n=n2-403n B【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由an=n2-403n=n-2032-4009，可判斷A；對(duì)于B，an+1-an=【詳解】對(duì)于A，an=n2-403對(duì)于B，an+1當(dāng)n≤6，an+1>an，所以對(duì)于C，an=2n-112n-15=1+42n-15當(dāng)n≤7時(shí)2n-15<0，an<1，且an隨n對(duì)于D，an數(shù)列an的前7項(xiàng)依次為-12，-12，1，-12該數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，故D正確．故選:ACD.11.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=92n-9n∈N*A．?dāng)?shù)列an有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng) B．使an∈ZC．滿足anan+1an+2≤0的n的值共有5個(gè) D【答案】ABD【分析】首先利用作差法判斷單調(diào)性，列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再結(jié)合各選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)閍n=9令an+1-an>0又n∈N*，所以當(dāng)n=4時(shí)則當(dāng)1≤n≤3或n≥5時(shí)an+1令an=9所以a1=-9所以數(shù)列an有最小項(xiàng)a4=-9，且有最大項(xiàng)a由an∈Z，則92n-9∈Z又n∈N*，所以n=3或n=4或所以使an∈Z的項(xiàng)共有5項(xiàng)，故要使anan+1an+2≤0，又an≠0，所以an所以n=1或n=2或n=4，故滿足anan+1an+2≤0的因?yàn)閚≤4時(shí)an<0，n≥5時(shí)所以當(dāng)n為4時(shí)Sn取得最小值，故D正確故選：ABD三、填空題12．如圖所示是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖，途中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個(gè)圖的化學(xué)鍵和原子的個(gè)數(shù)之和為個(gè).(用含n的代數(shù)式表示)【答案】9n+3【分析】從圖(1)、圖(2)、圖(3)、…的個(gè)數(shù)之和找到對(duì)應(yīng)的數(shù)字規(guī)律.【詳解】由圖，第1個(gè)圖中有6個(gè)化學(xué)鍵和6個(gè)原子；第2個(gè)圖中有11個(gè)化學(xué)鍵和10個(gè)原子；第3個(gè)圖中有16個(gè)化學(xué)鍵和14個(gè)原子，觀察可得，后一個(gè)圖比前一個(gè)圖多5個(gè)化學(xué)鍵和4個(gè)原子，則第n個(gè)圖有6+5n-1=5n+1個(gè)化學(xué)鍵和4n+2個(gè)原子，所以總數(shù)為故答案為：9n+313.若數(shù)列an滿足a1=2,an+1【答案】1【分析】由已知條件找出數(shù)列的周期計(jì)算即可【詳解】∵所以當(dāng)n=1時(shí)，a2當(dāng)n=2時(shí)，a3依此類推，a4因此數(shù)列為周期數(shù)列，周期T=4，∴a故答案為：1314.已知數(shù)列an滿足：a1+a22【答案】4,n=1【分析】已知式減去n≥2的遞推式可得解.【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1a1兩式相減得ann=綜上，an故答案為：4,n=13n?四、解答題15．已知無窮數(shù)列4(1)求出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)該數(shù)