2021年全國中考數(shù)學真題分類匯編：三角形及答案解析

2021年全國中考數(shù)學真題分類匯編：三角形

一、選擇題（共20小題）

1.（2021咱貢）如圖，A（8,0）,C（—2,0）,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點則

點B的坐標為（）

2.（2021?重慶）如圖，點8,F,C,￡共線，=3尸=EC,添加一個條件，不能判斷AABC三ADEF

的是（）

A.AB=DEB.ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

3.（2021?益陽）如圖，AB1/CD,AACE為等邊三角形，ZDCE=4O°,則NE4B等于（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

4.（2021?宜賓）若長度分別是a、3、5的三條線段能組成一個三角形，則。的值可以是（）

A.1B.2C.4D.8

5.（2021?雅安）如圖，將AABC沿3C邊向右平移得到ADEF,DE交AC于點、G.若

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的值為（）

C.6D.8

6.（2021?新疆）如圖，在RtAABC中,ZACB=90°.ZA=30°,AB=4,81,舫于點。，E是AB的

C.3D.4

7.（2021?襄陽）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jid）生其中，出

水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何（丈、尺是長度單位，1丈=10尺）其大意為：有一個水池，

水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池

一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度是多少？則水深為（）

B.11尺C.12尺D.13尺

8.（2021?無錫）在RlAABC中，ZA=9O°.AB=6,AC=8,點尸是AABC所在平面內(nèi)一點，則

++取得最小值時，下列結(jié)論正確的是（）

A.點P是AA8C三邊垂直平分線的交點

B.點P是A4BC三條內(nèi)角平分線的交點

C.點P是A4BC三條高的交點

D.點P是A4BC三條中線的交點

9.（2021?臺灣）已知A48C與ADE尸全等，A、B、C的對應(yīng)點分別為。、E、F,且E點在AC上，B、

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F、C、。四點共線，如圖所示.若NA=40。，NCED=35°,則下列敘述何者正確？（）

A.EF=EC,AE=FCB.EF=EC,AE^FCC.EF*EC,AE=FC

D.EF豐EC,AE^FC

10.（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、QE是四根長度均為5c加的火柴棒，點A、C、E共線.若AC=&w,

CD_L3C,則線段CE的長度是（）

A.6cmB.7cmC.6>/2cwD.8cm

11.（2021?陜西）如圖，點O、E分別在線段3C、AC上，連接4）、3E.若NA=35。，ZB=25°,NC=5O。,

則N1的大小為（）

A.60°B.70°C.75°D.85°

12.（2021?山西）在勾股定理的學習過程中，我們已經(jīng)學會了運用如圖圖形，驗證著名的勾股定理，這種

根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，

圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）

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A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

13.（2021?青海）已知。，。是等腰三角形的兩邊長，且a,I滿足口2“一3分+5+（2“+3。-13）2=。,則此

等腰三角形的周長為（）

A.8B.6或8C.7D.7或8

14.（2021?青海）如圖，在四邊形AfiCD中，ZA=9O°,A￡>=3,BC=5,對角線比＞平分NABC,則AfiCQ

的面積為（）

C.15D.無法確定

15.（2021?河北）如圖,直線/，機相交于點O.P為這兩直線外一點，且OP=2.8.若點P關(guān)于直線/,

，"的對稱點分別是點P2,則《，鳥之間的距離可能是（）

16.（2021?廣西）如圖，OO的半徑08為4,OC_LA8于點。，ZBAC=30°,則8的長是（）

C

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A.72B.GC.2D.3

17.（2021?福建）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠5之間的距離，在學校附近選一點C,

利用測量儀器測得N4=60。，ZC=90°,AC=2km.據(jù)此，可求得學校與工廠之間的距離初等于（）

A.2kmB.3kmC.2-fikmD.4km

18.（2021?常德）閱讀理解：如果一個正整數(shù)機能表示為兩個正整數(shù)a,。的平方和，即機=/+從，那么

稱加為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的

和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù).依次正確的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

19.（2021?本溪）一副三角板如圖所示擺放，若N1=80。，則N2的度數(shù)是（）

A.80°B.95°C.100°D.110°

20.（2021?安徽）在A4BC中，ZACB=90°,分別過點8,C作NS4c平分線的垂線，垂足分別為點。,

E,8C的中點是V,連接C￡>,MD,ME.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.CD=2MEB.ME"ABC.BD=CDD.ME=MD

二、填空題（共20小題）

21.（2021?長沙）如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分NR4c交3c于點。，DELAB,垂足為￡,

若3c=4,DE=1.6,則的長為.

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22.（2021?泰州）如圖，四邊形AfiCZ）中，AB=CD=4,且45與C￡>不平行，P、M.N分別是A。、

BD、AC的中點，設(shè)APMN的面積為S,則S的范圍是.

23.（2021?遂寧）如圖，在AA8C中，AB=5,AC=7,直線DE垂直平分8C,垂足為E,交AC于點。,

則AABD的周長是

24.（2021?十堰）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8,8C=6,點尸是平面內(nèi)一個動點，且AP=3,

。為5P的中點，在P點運動過程中，設(shè)線段CQ的長度為〃?，則機的取值范圍是.

R

25.（2021?紹興）已知AAfiC與在同一平面內(nèi)，點C,。不重合，ZABC=ZABD=3>0°,AB=4,

4C=4Q=2&,則8長為.

26.（2021?紹興）如圖，在AABC中，AB=AC,ZB=70°,以點C為圓心，C4長為半徑作弧，交直線BC

于點P,連結(jié)AP,則N84尸的度數(shù)是—.

A

BC

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27.（2021?齊齊哈爾）如圖，AC=AD,Z1=Z2,要使AABCMAA￡D,應(yīng)添加的條件是.（只需寫

出一個條件即可）

28.（2021?牡丹江）過等腰三角形頂角頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角

形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為一.

29.（2021?柳州）若長度分別為3,4,“的三條線段能組成一個三角形，則整數(shù)〃的值可以是—.（寫

出一個即可）

30.（2021?聊城）如圖，在AA8C中，AD±BC,CEVAB,垂足分別為點。和點E,與CE交于點O,

連接80并延長交AC于點/，若AB=5,BC=4,AC=6,則CE:A￡>:3/值為.

31.（2021?連云港）如圖，OA,03是0。的半徑，點C在OO上，ZAOB=30°,ZOBC=40°,則N04C=

32.（2021?濟寧）如圖，四邊形A88中，ZBAC=ZDAC,請補充一個條件,使=

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D

33.（2021?河北）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與3。的交點為C,且N4,ZB,NE保持不

變.為了舒適，需調(diào)整NO的大小，使NEFD=110。，則圖中NO應(yīng)（填“增加”或“減少”）度.

34.（2021?貴陽）在綜合實踐課上，老師要求同學用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點都在正方

形邊上.小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個面積最大的正三角形和一個面積最小的

正三角形.則這兩個正三角形的邊長分別是.

35.（2021?廣州）如圖，正方形的邊長為4,點E是邊上一點，且8￡=3,以點A為圓心，3為

半徑的圓分別交至、4）于點F、G,DF與AE交于點H.并與0A交于點K,連結(jié)“G、CH.給出

下列四個結(jié)論.其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

（1）”是FK的中點

（2）AHGD=AHEC

（3）^AAHG-^ADHC=9:16

7

（4）DK=-

36.（2021?廣州）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,線段A3的垂直平分線分別交AC、AB于

點。、E,連接3Q.若CD=1,則AZ）的長為.

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37.（2021?鄂州）如圖，四邊形ABAC中，AC=BC,ZACB=90°,AD1,BD于點D.若BD=2,8=4夜，

則線段A3的長為.

38.（2021?達州）如圖，在邊長為6的等邊AABC中，點E,F分別是邊AC,上的動點，S.AE=CF,

連接AT交于點P,連接CP,則CP的最小值為.

39.（2021?常州）如圖，在AA8C中，點。、E分別在BC、AC上，ZB=40°,ZC=60°.若DEI/AB,

則ZAED=°.

40.（2021?常德）如圖，在AAfiC中，ZC=90°,A￡>平分NC4B,DELAB于E,若CD=3,BD=5,

則BE的長為

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c

D

三、解答題(共20小題)

41.(2021?淄博)如圖，在AABC中，44BC的平分線交AC于點O,過點、D作DE〃BC交AB于點E.

(1)求證：BE=DE；

(2)若NA=8O。，ZC=4O°,求的度數(shù).

B

圖3

連結(jié)CE.試探究班>與CE的關(guān)系;

(2)如圖2,已知點。在BC下方，ZDAE=90°,AT>=AE,連結(jié)CE.若A。，AB=2^,CE=2,

A力交BC于點F,求A尸的長；

(3)如圖3,已知點。在8c下方，連結(jié)AT>、BD、CD.若NC8D=30°,ZBAD>15°,AB2=6,

AZ>2=4+6,求sinZBC。的值.

43.(2021?長沙)如圖，在AABC中，ADVBC,垂足為O,BD=CD,延長3c至E,使得CE=C4,

連接

(1)求證：N8=NAC8；

(2)若43=5,A￡>=4,求AABE的周長和面積.

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44.(2021?營口)如圖，AABC和ACER都是等腰直角三角形，AB=AC,NS4c=90。，DE=DF,

NEDF=9O°,。為BC邊中點，連接AF,且A、F、E三點恰好在一條直線上，EF交BC于點H,連

接3尸，CE.

(1)求證：AF=CE-,

(2)猜想CE,BF,3c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)若CH=2,AH=4,請直接寫出線段AC,的長.

45.(2021?宜賓)如圖，已知O4=OC,OB=OD,ZAOC=ZBOD.

求證：△AOBNZCOD.

46.(2021?溫州)如圖，砥是A48c的角平分線，在AB上取點。，使

(1)求證：DE//BC；

(2)若N4=65。，ZAED=45°,求NEBC的度數(shù).

B

C

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47.（2021?銅仁市）如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=6&m,AC=12an.點P是C4邊上的一動

點，點P從點C出發(fā)以每秒2cm的速度沿C4方向勻速運動，以CP為邊作等邊ACP。（點8、點。在AC同

側(cè)），設(shè)點尸運動的時間為x秒，AABC與ACP。重疊部分的面積為S.

（1）當點。落在AA8C內(nèi)部時，求此時AA8C與重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示，不要求

寫x的取值范圍）；

（2）當點。落在A5上時，求此時A45C與ACPQ重疊部分的面積S的值；

（3）當點Q落在A4BC外部時，求此時A4BC與ACP。重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示）.

48.（2021?銅仁市）如圖，回交CZ）于點O,在A4OC與AS8中，有下列三個條件：@OC=OD,②

AC=BD,③/4=々.請你在上述三個條件中選擇兩個為條件，另一個能作為這兩個條件推出來的結(jié)論,

并證明你的結(jié)論（只要求寫出一種正確的選法）.

（1）你選的條件為一、—，結(jié)論為—；

（2）證明你的結(jié)論.

49.（2021?紹興）如圖，在AABC中，NA=4O。，點￡）,E分別在邊45,AC上，BD=BC=CE,連結(jié)8,

BE.

（1）若ZABC=80。，求NB￡）C,NA既的度數(shù)；

（2）寫出N3EC與4DC之間的關(guān)系，并說明理由.

50.（2021?柳州）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、8的距離，可先在平地上取一個點C,從點C不經(jīng)

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過池塘可以直接到達點A和8,連接AC并延長到點Z),使CD=C4,連接并延長到點￡,使CE=CB,

連接。E,那么量出。E的長就是A、B的距離，為什么？請結(jié)合解題過程，完成本題的證明.

證明：在ADEC和A48C中，

CD=(??)

■(??)，

CE=(??)

:.ADEC^/\ABC(SAS),

(1)如圖1,若NACB=90。，NC4D=60。，BD=AC,AP=6,求8c的長.

(2)過點。作DE7/AC,交AP延長線于點E,如圖2所示，若NC4￡>=60。，8O=AC,求證：BC=2AP.

(3)如圖3,若NC4D=45。，是否存在實數(shù)機，當BE>=〃MC時，BC=2AP?若存在，請直接寫出機的

值；若不存在，請說明理由.

52.(2021?湖北)如圖1,已知NRPQ=45。，AABC中，ZACB=90°,動點P從點A出發(fā)，以2石c7〃/s的

速度在線段AC上向點C運動，PQ,依分別與射線回交于E,尸兩點，且FE_L4?,當點P與點C重

合時停止運動，如圖2,設(shè)點P的運動時間為xs,NRPQ與AABC的重疊部分面積為ycW,y與x的函

數(shù)關(guān)系由G(0<占,5)和G(5<X,n)兩段不同的圖象組成.

(1)填空：①當x=5s時，EF=cm；

②sinA=；

(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍：

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53.（2021?湖北）已知AABC和ADEC都為等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n°.

（1）當〃=60時，

①如圖1,當點。在AC上時，請直接寫出BE與4）的數(shù)量關(guān)系：—；

②如圖2,當點。不在AC上時，判斷線段3E與4）的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當”=90時,

①如圖3,探究線段3E與4）的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②當BEUAC,AB=3夜，4）=1時，請直接寫出DC的長.

圖1圖2圖3

54.（2021?河南）下面是某數(shù)學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細閱讀，并

完成相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖1,⑴分別在射線。4,03上截取OC=O￡>,OE=OF（點C,E不重合）；⑵分別作線

段CE,￡戶的垂直平分線乙，/?,交點為P,垂足分別為點G,H；（3）作射線OP,射線OP即為NAOB

的平分線.

簡述理由如下:

由作圖知，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtAPGO=RtAPHO,則NPOG=NPO〃,

即射線OP是ZAOB的平分線.

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小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2,（1）分別在射線。4,OB

上截取=OE=OF（點C,E不重合）；（2）連接￡）E,CF,交點為P；（3）作射線OP.射線OP

即為NAQ3的平分線.

①SSS②③AAS④ASA⑤應(yīng)

（2）小軍作圖得到的射線OP是NAO8的平分線嗎？請判斷并說明理由.

（3）如圖3,已知2403=60。，點E,F分別在射線。4,OB上,且OE=OF=G+1.點C,。分別

為射線OA,08上的動點，SLOC=OD,連接DE,CF,交點為P,當NCPE=30。時，直接寫出線段OC

的長.

55.（2021?杭州）在①=?ZABE=ZACD,③用=FC這三個條件中選擇其中一個，補充在下

面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，在AABC中，NABC=NACB,點。在45邊上（不與點A,點3重合），點E在AC邊上（不

與點A,點C重合），連接CD,BE與8相交于點F.若,求證：BE=CD.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

56.（2021?杭州）如圖，在A48c中，Z48C的平分線或）交AC邊于點￡>,AE上BC于點E.已知

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NA3C=60。，ZC=45°.

(1)求證：AB=BD;

(2)若AE=3,求AABC的面積.

57.(2021?大連)已知AE=EF,ZABD=ZAEF.

(1)找出與-相等的角并證明；

(2)求證：NBFD=NAFB；

Ap

(3)AF=kDF,AEDF+ZMDF=\SO0,求一.

MF

58.（2021?大連）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,BC=4,P、Q均從點8出發(fā)，點尸以2個單位

每秒的速度沿54-AC的方向運動，點。以1個單位每秒的速度沿3C-8運動，設(shè)運動時間為，秒.

（1）求AC的長；

（2）若S^pQ=S,求S關(guān)于f的解析式.

59.（2021?包頭）某工程隊準備從A到3修建一條隧道，測量員在直線45的同一側(cè)選定C,。兩個觀測

點，如圖.測得AC長為二」如，CD長為二（0+R）km,BD長為tkm,ZACD=60°,ZC￡）B=135°（A>

242

B、C、。在同一水平面內(nèi)）.

（1）求A、。兩點之間的距離;

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(2)求隧道他的長度.

60.(2021?百色)如圖，點。、E分別是他、AC的中點，BE、8相交于點O,ZB=NC,BD=CE.

求證：(1)OD=OE；

(2)^ABE^^ACD.

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2021年全國中考數(shù)學真題分類匯編：三角形

參考答案與試題解析

一、選擇題（共20小題）

1.(2021?自貢)如圖，A(8,0),C(-2,0).以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點3,則

點8的坐標為（）

C.(6,0)D.(0,6)

【答案】D

【考點】坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理

【專題】應(yīng)用意識；平面直角坐標系；三角形

【分析】根據(jù)已知可得AB=AC=1O,04=8.利用勾股定理即可求解.

【解答】解：根據(jù)已知可得：AB=AC=W,04=8.

在RtAABO中，OB7AB2-0A1=6.

.-.5(0,6).

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用、坐標的特征知識.關(guān)鍵在于利用點的坐標表示邊的長度.

2.（2021?重慶）如圖，點8,F,C,E共線，NB=NE,3/=EC,添加一個條件，不能判斷=ADE尸

的是（）

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C

E

B

D

A.AB=DEB.ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【考點】全等三角形的判定

【專題】圖形的全等；推理能力；應(yīng)用意識

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，可以判斷添加各個選項中的條件是否能夠判斷=本題

得以解決.

【解答】解：?.?8F=EC,

:.BF+FC=EC+FC,

:.BC=EF,

又?.?ZB=ZE,

當添加條件=時，MBCuADEF(SAS),故選項A不符合題意；

當添加條件NA="時，AABC=ADEF(AAS),故選項8不符合題意；

當添加條件AC=O尸時，無法判斷AABCnADEF,故選項C符合題意；

當添加條件AC//FD時，則Z4CB=NDFE,故AABC三ADEF(AS4),故選項。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

3.(2021?益陽)如圖，AB//CD,AAC￡為等邊三角形，ZDCE=40°,則NE4B等于()

A.40°B.30°C.20°D.15°

【答案】C

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【考點】平行線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N￡＞C4+NC48=180。，即N￡）CE+NEC4+NK4C+NE48=180。，由AACE

為等邊三角形得NEC4=N￡AC=60。，即可得出的度數(shù).

【解答】解：,；AB"CD,

.-.ZDCA+ZCAB=18O°,即ZDCE+ZECA+ZEAC+ZEAB=180°,

?.?A4CE為等邊三角形，

.".ZEC4=Z￡4C=60°,

.?.ZEAB=180°-40°-60°-60°=20°.

故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ZEC4=ZE4c=60。是

解題的關(guān)鍵.

4.（2021?宜賓）若長度分別是a、3、5的三條線段能組成一個三角形，則”的值可以是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【考點】三角形三邊關(guān)系

【專題】三角形；推理能力

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出5-3＜。＜5+3,求出即可.

【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：5-3＜。＜5+3,

即2＜a＜8,

即符合的只有4,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，能根據(jù)定理得出5-3＜。＜5+3是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形

的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.

5.（2021?雅安）如圖，將AABC沿BC邊向右平移得到ADEF,DE交AC于點、G.若

BC:EC=3:1.5^;=16.則“的值為（）

第20頁共93頁

【答案】B

【考點】平移的性質(zhì)；三角形的面積

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出進而得出3E:EC=2:1,利用三角形面積之比解答即可.

【解答】解：由平移性質(zhì)可得，AD//BE,AD=BE,

r.AADG^AECG,

.BC:EC=3:1,

BE:EC=2:1,

/.AD:EC=2:1,

S:S=(—)2=4.

M0Ci￡CCEC

1''=16，

?c—4.

-JAC￡C-''

故選：B.

【點評】此題考查平移的性質(zhì)和三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)得出三角形面積之比解答.

6.(2021?新疆)如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，NA=30°,AB=4,CZ)_LM于點O,E是他的

【答案】A

【考點】直角三角形斜邊上的中線；含30度角的直角三角形

【專題】三角形；推理能力

第21頁共93頁

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理可得Nfi=60。，由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)定理可得CE=BE=2,利用

等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【解答】解：?.,ZAC8=90°,ZA=30°,

ZB=60°,

??,E是"的中點，AB=4,

:.CE=BE=-AB=-x4=2,

22

:.ABCE為等邊三角形,

.CD±AB,

:.DE=BD=-BE=-x2=\,

22

故選：A.

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解答此題的關(guān)鍵.

7.(2021?襄陽)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭(jig生其中，出

水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何(丈、尺是長度單位，1丈=10尺)其大意為：有一個水池，

水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池

一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度是多少？則水深為()

【答案】C

【考點】勾股定理的應(yīng)用；數(shù)學常識

【專題】三角形；幾何直觀

【分析】設(shè)水深為人尺，則蘆葦長為(〃+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出即可.

【解答】解：設(shè)水深為九尺，則蘆葦長為(〃+1)尺，

根據(jù)勾股定理,得(〃+1)2-/?2=(10+2尸，

解得/?=12>

二.水深為12尺，

故選：C.

第22頁共93頁

【點評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?無錫）在RlAABC中，NA=90。，AB=6,AC=8,點P是AABC所在平面內(nèi)一點，則

++取得最小值時，下列結(jié)論正確的是（）

A.點尸是AA8C三邊垂直平分線的交點

B.點P是A4BC三條內(nèi)角平分線的交點

C.點P是A4BC三條高的交點

D.點P是A4BC三條中線的交點

【答案】D

【考點】三角形的重心；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理

【專題】函數(shù)思想；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識

【分析】過P作物，AC于。，過P作于E,延長CP交至于用，延長BP交AC于N,設(shè)

Q9002

AD=PE=x,AE=DP=y,則AP?+C尸+8P?=30-§）2+3（y-2）2+亍，當*=§，y=2時，

A尸+CL+8尸的值最小，此時A￡>=PE=§,AE=PD=2,由色絲=生，得40=3,例是AB的中

3PDCD

點，同理可得AN=』AC,N為AC中點，即P是AABC三條中線的交點.

2

【解答】解：過尸作P￡>_LAC于。，過尸作尸E_LAfi于E,延長。?交月呂于M,延長3尸交AC于N,

?.?NA=90。，PDYAC,PEYAB,

：.四邊形是矩形，

設(shè)AD=PE=x,AE=DP=y,

RtAAEP中，Ap2=Y+)2,

RtACDP中，CP2=(S-x)2+y2,

第23頁共93頁

RtABEP中，BP2=X2+(6-?,

AP2+CP2+BP2=x2+j2+(8-x)2+y2+x2+(6-y)2

=3x2-16x+3y2-12y+100

=3(號2+3(3+等，

:.x=~,y=2時，AP?+C尸+3尸的值最小，

3

Q

此時AO=PE=2,AE=PD=2,

3

-.■ZA=90°,PD1AC,

:.PD//AB,

AMACAM8

???——=—,即0n——=隹，

PDCD216

3

.?.AM=3,

:.AM=-AB,即M是45的中點，

2

同理可得AN=』AC,N為AC中點，

2

.?.P是AABC三條中線的交點，

故選：D.

【點評】本題考查直角三角形中的最小值，涉及勾股定理、二次函數(shù)的最大值、相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是求出A￡>=PE=§,AE=PD=2.

3

9.(2021?臺灣)已知AABC與ADE廠全等，A、B、C的對應(yīng)點分別為。、E、F,且E點在AC上，B、

F、C、。四點共線，如圖所示.若NA=4O。，ZCED=35°,則下列敘述何者正確？()

A.EF=EC,AE=FCB.EF=EC,AE^FCC.EF^EC,AE=FC

D.EF^EC,AEKFC

第24頁共93頁

【答案】B

【考點】三角形三邊關(guān)系；全等三角形的性質(zhì)

【專題】圖形的全等；推理能力

【分析】由AABC與ADEF全等，A、B、C的對應(yīng)點分別為。、E、F,可得NA="=40。，AC=DF,

ZACB=ZDFE,可得EF=EC;ZCED=35°,ND=40°可得ND>NCED,由大角對大邊可得CE>CD;

利用4C=OE,PiI^AC-CE<DF-CD,即AEvRC,由上可得正確選項.

【解答】解：AABC=ADEF,

.-.ZA=ZD=40°,AC=DF,ZACB=ZDFE,

-.ZACB=ADFE,

:.EF=EC.

-,ZCED=35°,"=40°,

:.ZD>ZCED.

CE>CD.

?/AC=DF,

/.AC-CE<DF-CD,B|JAE<FC.

AEwFC.

:.EF=EC,AE^FC.

故選：B.

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì).利用全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?陜西）如圖，43、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點A、C、石共線.若AC=6o%,

CDA.BC,則線段CE的長度是（）

A.6cmB.7cmC.642cmD.8cm

【答案】D

【考點】全等三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用

【專題】幾何直觀；推理能力；運算能力；等腰三角形與直角三角形；圖形的全等

【分析】過B作8W_LAC于M,過。作OV_LCE于N,由等腰三角形的性質(zhì)得到4W=CM=3,

第25頁共93頁

CN=EN,根據(jù)全等三角形判定證得ABCM二△CDN,得至lj3M=CV,在RtABCM中，根據(jù)勾股定理求

出8W=4,進而求出.

【解答】解：由題意知，AB=BC=CD=DE=5an,AC=6ctn,

過區(qū)作8W_LAC于M,過D作DN工CE于N,

則N8MC=NC/VD=90。，AM=CM=-AC=-x6=3,CN=EN,

22

\CD.LBC,

/.ZBCD=90°,

/BCM+NCBM=/BCM+NDCN=90。,

"CBM=ADCN,

在ABCM和△CDN中，

NCBM=NDCN

<NBMC=4CND,

BC=DC

/.\BCM=MCDN(AAS),

:.BM=CN,

在RtABCM中，

?/BC=5,CM=3,

BM=dBC?-CM?=正4=4,

:.CN=4,

.?.CE=2OV=2X4=8,

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，證

得ABCM=ACDN是解決問題的關(guān)鍵.

11.（2021?陜西）如圖，點。、上分別在線段3C、AC上，連接AD、8￡.若44=35。，ZB=25°,ZC=50°,

則N1的大小為（）

第26頁共93頁

A.60°B.70°C.75°D.85°

【答案】B

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)

【專題】三角形；運算能力

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，可得Nl=180-(N8+NAZ)3),ZADB=ZA+ZC,所以

Zl=180°-(ZB+ZA+ZQ,由此解答即可.

【解答】解：VZl=180-(ZB+ZA￡)B),ZADB=ZA+AC,

Z1=180°-(ZB+ZA+ZC),

Z1=180°-(25°+35°+50°),

.?.Zl=180°-110°,

.-.Zl=70°,

故選：B.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?山西)在勾股定理的學習過程中，我們已經(jīng)學會了運用如圖圖形，驗證著名的勾股定理，這種

根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，

圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學思想是()

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

【答案】C

第27頁共93頁

【考點】勾股定理的證明

【專題】應(yīng)用意識；三角形

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學思

想是數(shù)形結(jié)合思想，

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學思

想為數(shù)形結(jié)合思想.

13.(2021?青海)已知“，人是等腰三角形的兩邊長，且a,J滿足j2a-3"5+(2〃+36-13)2=0,則此

等腰三角形的周長為()

A.8B.6或8C.7D.7或8

【答案】D

【考點】三角形三邊關(guān)系；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；解二元一次方程組；等腰三角形的性質(zhì)；非負數(shù)

的性質(zhì)：偶次方

【專題】推理能力；三角形

【分析】首先根據(jù)J2a-36+5+(24+38-13)2=0,并根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程組求得a、6的值，然后求

得等腰三角形的周長即可.

【解答】解：j2a-3Z?+5+(2a+33-13)2=0,

j2a-3fe+5=0

"[2a+3&-13=0，

解得：

[b=3

當〃為底時，三角形的三邊長為2,2,3,周長為7；

當。為底時，三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8,

等腰三角形的周長為7或8.

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理、二元一次方程方程組，關(guān)鍵是根據(jù)2,3分

別作為腰，由三邊關(guān)系定理，分類討論.

14.(2021?青海)如圖，在四邊形中，ZA=9O°,4)=3,BC=5,對角線平分乙4BC,則ABC。

第28頁共93頁

的面積為（）

【答案】B

【考點】角平分線的性質(zhì)

【專題】推理能力；三角形

【分析】過。點作QEL3C于E,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=ZM=3,然后根據(jù)三角形面積公

式計算.

【解答】解：過。點作力EL3c于E,如圖，

?.?3D平分ZA8C,DEA,BC,DAVAB,

..DE=DA=3,

.?.ABCD的面積='x5*3=7.5.

2

故選：B.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

15.（2021?河北）如圖，直線/，機相交于點O.P為這兩直線外一點，且OP=2.8.若點P關(guān)于直線/,

機的對稱點分別是點P2,則《，鳥之間的距離可能是（）

第29頁共93頁

【答案】B

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)

【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識

【分析】由對稱得O[=O尸=2.8,OP=OP,=2.S,再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當在一條直線

上取等號，即可得出結(jié)果.

【解答】解：連接O￡,OP2,<2，

?.?點P關(guān)于直線/,機的對稱點分別是點P2,

.?.O[=OP=2.8,OP=OP2=2.8,

oq+og./g,

0<PtP2?5.6,

故選：B.

【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵熟練掌握對稱性和三角形邊長的關(guān)系.

16.（2021?廣西）如圖，G）0的半徑08為4,OC_LA8于點。，ABAC=30°,則8的長是（）

【答案】C

【考點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與