湖北省黃岡市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試調(diào)研考試試題含解析

PAGEPAGE25湖北省黃岡市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試調(diào)研考試試題（含解析）一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意z（3+i）＝2﹣i，則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的模為 B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 C．復(fù)數(shù)z的虛部為 D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在其次象限2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝45°，則cosB＝（）A． B．﹣ C． D．﹣3．不同的直線m和n，不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出α∥β的是（）A．α∩γ＝n，β∩γ＝m，n∥m B．α⊥γ，β⊥γ C．n∥m，n⊥α，m⊥β D．n∥α，m∥β，n∥m4．若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）A．2 B．4 C． D．5．一個正方體有一個面為紅色，兩個面為綠色，三個面為黃色，另一個正方體有兩個面為紅色，兩個面為綠色，兩個面為黃色，同時擲這兩個正方體，兩個正方體朝上的面顏色不同的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，正三棱錐A﹣BCD中，∠BAD＝20°，側(cè)棱長為2，過點C的平面與側(cè)棱AB、AD相交于B1、D1，則△CB1D1的周長的最小值為（）A． B． C．4 D．27．如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中點，，則＝（）A． B． C． D．8．歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的動身點．其中第Ⅰ命題47是聞名的畢達哥拉斯定理（勾股定理），書中給出了一種證明思路：如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，四邊形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE于點N，交BC于點M．先證明△ABE與△HBC全等，繼而得到矩形BENM與正方形ABHL面積相等；同理可得到矩形CDNM與正方形ACFG面積相等；進一步推理得證．在該圖中，若，則sin∠BEA＝（）A． B． C． D．二、多項選擇題．本大題共4個小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求全部選對得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分.9．下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．＝（0，2），＝（，0） B．＝（0，0），＝（1，﹣2） C．＝（1，3），＝（﹣2，﹣6） D．＝（3，5），＝（5，3）10．下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個命題中假命題為（）A．若，則z為純虛數(shù) B．若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2 C．若|z﹣i|＝1，則|z|的最大值為2 D．若z3﹣1＝0，則z＝111．如圖在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，點D是ABA．BC⊥AC1 B．當(dāng)D為AB的中點時，平面CDB1⊥平面AA1B1B C．當(dāng)D為AB中點時，AC1∥平面CDB1 D．三棱錐A1﹣CDB1的體積是定值12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（）A．c＝acosB+bcosA B．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形 C．若a2tanB＝b2tanA，則a＝b D．若a3+b3＝c3，則△ABC為銳角三角形三、填空題(本題共4個小題,每題5分,共20分)13．一個口袋中裝有2個紅球，3個綠球，采納不放回的方式從中依次取出2個球，則第一次取到綠球其次次取到紅球的概率為．14．在△ABC中，D是BC的中點，AB＝1，AC＝2，AD＝，則△ABC的面積為．15．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中點，直線B1O與平面ACD1所成角的正弦值為16．如圖等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，O是梯形ABCD的外接圓的圓心，M是邊BC上的中點，則的值為．三、解答題:本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或驗算步驟．17．復(fù)數(shù)z滿意|z|＝，z2為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)z，，z2所對應(yīng)的向量為，，，已知（λ+）⊥（λ+），求λ的值．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（1）求角A；（2）若a＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．19．黃岡市一中學(xué)高一年級統(tǒng)計學(xué)生本學(xué)期20次數(shù)學(xué)周測成果（滿分150），抽取了甲乙兩位同學(xué)的20次成果記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150（1）依據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學(xué)成果的中位數(shù)，并據(jù)此推斷甲乙兩位同學(xué)的成果誰更好？（2）將同學(xué)乙的成果分成[100，110），[120，130）[130，140）[140，150），完成下列頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；（3）現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意取出2個成果，求取出的2個成果不是同一個人的且沒有滿分的概率．分組頻數(shù)頻率[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]合計20120．如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD且BC＝2AD，平面PAC⊥平面ABCD，PA＝PC，PA⊥AB．（1）證明：AB⊥PC；（2）若PA⊥PC，PB＝2PC＝4，求四棱錐P﹣ABCD的體積．21．如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD⊥CD，設(shè)∠ACD＝θ．（1）若△ABC面積是△ACD面積的4倍，求sin2θ；（2）若tan∠ADB＝，求tanθ．22．如圖①梯形ABCD中AD∥BC，AB＝，BC＝1，，BE⊥AD且BE＝1，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE與BD相交于O，點P在AB上，且AP＝2PB，R是CD的中點，過O，P，R三點的平面交AC于Q．（1）證明：Q是的中點；（2）證明：AD⊥平面BEQ；（3）M是AB上一點，已知二面角M﹣EC﹣B為45°，求的值．

參考答案一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意z（3+i）＝2﹣i，則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的模為 B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 C．復(fù)數(shù)z的虛部為 D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在其次象限【分析】干脆利用復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的共軛運算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)表示的幾何意義的應(yīng)用推斷A、B、C、D的結(jié)論．解：復(fù)數(shù)z滿意z（3+i）＝2﹣i，整理得：，對于A：，故A正確；對于B：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，故B錯誤；對于C：復(fù)數(shù)z的虛部為，故C錯誤；對于D：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，故D錯誤．故選：A．2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝45°，則cosB＝（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】依據(jù)正弦定理可得：sinB＝＝，由a＝15＞b＝10，由大邊對大角可得：0＜B＜A＝45°，故可求cosB的值．解：依據(jù)正弦定理可得：sinB＝＝＝，∵a＝15＞b＝10，∴由大邊對大角可得：0＜B＜A＝45°，∴cosB＝＝．故選：C．3．不同的直線m和n，不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出α∥β的是（）A．α∩γ＝n，β∩γ＝m，n∥m B．α⊥γ，β⊥γ C．n∥m，n⊥α，m⊥β D．n∥α，m∥β，n∥m【分析】利用平面平行的判定定理，對四個選項分別進行推斷，能夠得到正確答案．解：由不同的直線m和n，不同的平面α，β，γ，知：若α∩γ＝n，β∩γ＝m，n∥m，則α與β相交或平行，故A不正確；若α⊥γ，β⊥γ，則α與β相交或平行，故B不正確；若n∥m，n⊥α，m⊥β，則由平面平行的判定定理知α∥β，故C正確；若n∥α，m∥β，n∥m，則α與β相交或平行，故D不正確．故選：C．4．若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時，該圓錐的高為（）A．2 B．4 C． D．【分析】利用體積公式求出圓錐底面圓半徑r與高h(yuǎn)的關(guān)系，再通過球與圓錐相切，利用等面積法列出r與h的另一組關(guān)系，通過解方程組求解．解：如圖，圓錐的軸截面為等腰△SAB，且內(nèi)切圓為球的大圓．設(shè)圓錐底面圓周的半徑為r，高為h，球的半徑為R，R＝1．則由條件有，整理得r2h＝8①在△SAB中，，所以②，聯(lián)立①②，解得．故選：B．5．一個正方體有一個面為紅色，兩個面為綠色，三個面為黃色，另一個正方體有兩個面為紅色，兩個面為綠色，兩個面為黃色，同時擲這兩個正方體，兩個正方體朝上的面顏色不同的概率為（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，可得兩個正方體朝上的面顏色相同的概率，再求其對立事務(wù)的概率，即可求解．解：第一個正方體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為，其次個正方體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為，∵兩個正方體朝上的面顏色相同的概率為，∴兩個正方體朝上的面顏色不同的概率為1﹣＝．故選：C．6．如圖，正三棱錐A﹣BCD中，∠BAD＝20°，側(cè)棱長為2，過點C的平面與側(cè)棱AB、AD相交于B1、D1，則△CB1D1的周長的最小值為（）A． B． C．4 D．2【分析】首先，綻開三棱錐，然后，兩點間的連接線CC'即是截面周長的最小值，然后，求解其距離即可．解：把正三棱錐A﹣BCD的側(cè)面綻開，兩點間的連接線CC'即是截面周長的最小值．正三棱錐A﹣BCD中，∠BAD＝20°，所以，∠CAC′＝60°，AC＝2，∴CC′＝2，∴截面周長最小值是CC′＝2．故選：D．7．如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中點，，則＝（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)已知條件代入化簡，通過向量的數(shù)量積的定義求解即可．解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D是BC的中點，，∴＝（）?（﹣）＝（）?（﹣（））＝（）?（﹣﹣）＝﹣﹣﹣＝﹣×32﹣×22﹣×3×2×＝﹣．故選：B．8．歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的動身點．其中第Ⅰ命題47是聞名的畢達哥拉斯定理（勾股定理），書中給出了一種證明思路：如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，四邊形ABHL、ACFG、BCDE都是正方形，AN⊥DE于點N，交BC于點M．先證明△ABE與△HBC全等，繼而得到矩形BENM與正方形ABHL面積相等；同理可得到矩形CDNM與正方形ACFG面積相等；進一步推理得證．在該圖中，若，則sin∠BEA＝（）A． B． C． D．【分析】設(shè)AB＝k，AC＝m，BC＝n，由勾股定理可得k2+m2＝n2，由同角的基本關(guān)系式求得sin∠BAE，cos∠BAE，在△ABE中，求得AE，分別運用余弦定理和正弦定理，計算可得所求值．解：設(shè)AB＝k，AC＝m，BC＝n，可得k2+m2＝n2，∵BH∥CL，∴∠BHC＝∠HCL，又△ABE?△HBC，可得∠BHC＝∠BAE，∴∠HCL＝∠BAE，∴，即，∴m＝k，∴，在△ABE中，，得，在△ABE中，，即，可得．故選：D．二、多項選擇題．本大題共4個小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求全部選對得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分.9．下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．＝（0，2），＝（，0） B．＝（0，0），＝（1，﹣2） C．＝（1，3），＝（﹣2，﹣6） D．＝（3，5），＝（5，3）【分析】利用基底的定義，推斷兩個向量是否共線，即可得到結(jié)果．解：∵0×，∴與不共線，∴A正確，∵0×（﹣2）＝0×1，∴與共線，∴B錯誤，∵1×（﹣6）＝3×（﹣2），∴與共線，∴C錯誤，∵3×3≠5×5，∴與不共線，∴D正確，故選：AD．10．下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個命題中假命題為（）A．若，則z為純虛數(shù) B．若|z1|＝|z2|，則z1＝±z2 C．若|z﹣i|＝1，則|z|的最大值為2 D．若z3﹣1＝0，則z＝1【分析】選項A：設(shè)z＝a+bi，（a，b為實數(shù)），然后求出共軛復(fù)數(shù)，進而可以推斷；選項B：舉出反例即可推斷，選項C：依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可推斷，選項D：舉出反例即可推斷．解：選項A：設(shè)z＝a+bi，（a，b為實數(shù)），因為，所以z+＝2a＝0，則a＝0，所以z＝bi，因為b可能為0，故A錯誤，選項B：當(dāng)z1＝1+i，z2＝1﹣i時，|z1|＝|z2|，故B錯誤，選項C：當(dāng)|z﹣i|＝1時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以（0，1）為圓心，1為半徑的圓上，故|z|的最大值為1+1＝2，故C正確，選項D：當(dāng)z＝﹣時，z3＝1，故D錯誤，故選：ABD．11．如圖在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，點D是ABA．BC⊥AC1 B．當(dāng)D為AB的中點時，平面CDB1⊥平面AA1B1B C．當(dāng)D為AB中點時，AC1∥平面CDB1 D．三棱錐A1﹣CDB1的體積是定值【分析】對于A，推導(dǎo)出BC⊥CC1，AC⊥CB，從而BC⊥平面ACC1A1，進而BC⊥AC1對于B，當(dāng)CD⊥AB時，存在點D，使得平面CDB1⊥平面AA1B1B，此時D不肯定為中點；對于C，設(shè)BC1∩B1C＝O，連結(jié)OD，D是AB中點時，OD∥AC1，得AC1∥平面CDB1對于D，△A1B1C的面積是定值，由AB∥A1B1，知AB∥平面A1B1C，D到平面A1B1C的距離是定值，進而三棱錐A1﹣解：對于A，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC∴BC⊥CC1，又AC⊥CB，CC1∩CA＝C，CC1?平面ACC1A1，CB?平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1，又AC1?平面ACC1A1，∴BC⊥AC對于B，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC∴AA1⊥CD，∴當(dāng)CD⊥AB時，由AA1，AB是平面AA1B1B中的相交線，得到CD⊥平面AA1B1B，平面CDB1⊥平面AA1B1B，此時D不肯定為中點，故B錯誤；對于C，設(shè)BC1∩B1C＝O，則O是BC1中點，連結(jié)OD，則D是AB中點時，OD∥AC1∵AC1?平面CDB1，OD?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1，故C正確；對于D，∵△A1B1C的面積是定值，AB∥A1B1，AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B∴AB∥平面A1B1C，∴D到平面A1B1C的距離是定值，∴三棱錐A1﹣CDB1的體積是定值，故故選：ACD．12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（）A．c＝acosB+bcosA B．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形 C．若a2tanB＝b2tanA，則a＝b D．若a3+b3＝c3，則△ABC為銳角三角形【分析】由正弦定理以及三角恒等變換可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，即可推斷A；由正弦定理可將條件轉(zhuǎn)換為sin2A＝sin2B，進而得到A＝B或A+B＝，即可推斷B；由正弦定理把a2tanB＝b2tanA轉(zhuǎn)化為：sin2AtanB＝sin2BtanA，化簡后可推斷C；由a3+b3＝c3變形得：（）3+（）3＝1＜（）2+（）2，可推斷D；解：對A：∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，∴c＝acosB+bcosA，所以A正確；對B：∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B∵△ABC的內(nèi)角A，B，C，∴2A＝2B或2A+2B＝π即A＝B或A+B＝，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故B對C：∵a2tanB＝b2tanA，∴由正弦定理得：sin2AtanB＝sin2BtanA，得：，整理得：sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或A+B＝，故C錯誤；對D：由題意知：a、b、c中c是最大的正數(shù)，∴由a3+b3＝c3變形得：（）3+（）3＝1＜（）2+（）2，∴a2+b2＞c2，∴C為銳角，又知C為最大角，∴△ABC為銳角三角形，故D正確；故選：AD．三、填空題(本題共4個小題,每題5分,共20分)13．一個口袋中裝有2個紅球，3個綠球，采納不放回的方式從中依次取出2個球，則第一次取到綠球其次次取到紅球的概率為0.3．【分析】依據(jù)已知條件，分別求出樣本空間的個數(shù)和第一次取到綠球其次次取到紅球的樣本數(shù)，再結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解．解：由題意可得，樣本空間的總數(shù)為5×4＝20，第一次取到綠球其次次取到紅球的樣本數(shù)為3×2＝6，故所求的概率P＝．故答案為：0.3．14．在△ABC中，D是BC的中點，AB＝1，AC＝2，AD＝，則△ABC的面積為．【分析】依據(jù)題意＝（），兩邊平方即可求出＝﹣1，從而可求出cos∠BAC＝﹣，進而求出sin∠BAC＝，然后依據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；解：∵D是BC中點，且AB＝1，AC＝2，AD＝，∴＝（），則＝（）2，即＝（1+4+2），∴＝﹣1，∴cos∠BAC＝＝＝﹣，∴sin∠BAC＝，∴S△ABC＝AB?ACsin∠BAC＝＝．故答案為：．15．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中點，直線B1O與平面ACD1所成角的正弦值為．【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系且不妨設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1平面ACD1的一個法向量為，進而由sinθ＝即可得出所求的答案．解：以AB、AD、AA1所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），O（，，0），所以＝（﹣，，﹣1），，．設(shè)平面ACD1的一個法向量為，則，即，令y＝﹣1，則x＝1＝z，則．于是，＝＝＝，所以sinθ＝|cos＜＞|＝．其中θ為直線B1O與平面ACD1所成角．所以直線B1O與平面ACD1所成角的正弦值為．故答案為：．16．如圖等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，O是梯形ABCD的外接圓的圓心，M是邊BC上的中點，則的值為16．【分析】依據(jù)題意，利用平面對量的線性運算，即可求解結(jié)論．解：設(shè)，∵M是邊BC上的中點，∴λ＝，則，又∵，∴，∵O是△ABC的外心，∴，∴＝＝＝，即，故答案為：16．三、解答題:本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或驗算步驟．17．復(fù)數(shù)z滿意|z|＝，z2為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)z，，z2所對應(yīng)的向量為，，，已知（λ+）⊥（λ+），求λ的值．【分析】（1）設(shè)z＝a+bi（a＞0，b＞0），由已知可得a與b的關(guān)系，列方程組求解a與b的最值，則z可求；（2）由（1）中求得z可得，z2，得到，，，進一步得到（λ+）與（λ+）的坐標(biāo)，再由數(shù)量積為0列式求解λ值．解：（1）設(shè)z＝a+bi（a＞0，b＞0），則，即a2+b2，①∵z2＝a2﹣b2+2abi為純虛數(shù)，∴a2﹣b2＝0且2ab≠0，②由①②解得a＝1，b＝1，∴z＝1+i；（2）∵z＝1+i∴，z2＝2i，∴，∴，由，得，即，∴4λ﹣2＝0，得．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（1）求角A；（2）若a＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【分析】（1）由正弦定理可知sinAcosC+sinC＝sinB，，結(jié)合sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，整理即可得到cosA，進而可求出A；（2）由余弦定理可求得（b+c）2﹣3bc＝7，結(jié)合面積公式得到bc，進而可知b+c，即可求出周長．解：（1）∵，由正弦定理得sinAcosC+sinC＝sinB，又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴，∵sinC＞0，∴，∴；（2）由余弦定理得：7＝b2+c2﹣2bccos60°即b2+c2﹣bc＝7，∴（b+c）2﹣3bc＝7，又，∴bc＝6，∴（b+c）2﹣18＝7，∴b+c＝5，∴△ABC的周長為．19．黃岡市一中學(xué)高一年級統(tǒng)計學(xué)生本學(xué)期20次數(shù)學(xué)周測成果（滿分150），抽取了甲乙兩位同學(xué)的20次成果記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150（1）依據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學(xué)成果的中位數(shù)，并據(jù)此推斷甲乙兩位同學(xué)的成果誰更好？（2）將同學(xué)乙的成果分成[100，110），[120，130）[130，140）[140，150），完成下列頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；（3）現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果中隨意取出2個成果，求取出的2個成果不是同一個人的且沒有滿分的概率．分組頻數(shù)頻率[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]合計201【分析】（1）分別求出甲、乙的中位數(shù)，從而得到乙的成果更好．（2）完成頻率分布表，作出乙的頻率分布直方圖．（3）甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成果共5個，甲兩個成果記作A1、A2，乙3個成果記作B1、B2、B3（其中B3表示150分），隨意選出2個成果，利用列舉法，求出取出的2個成果不是同一個人的且沒有滿分的概率．解：（1）甲的中位數(shù)是＝119，乙的中位數(shù)是＝128＞119，∴乙的成果更好．（2）完成頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[100，110）20.1[110，120）40.2[120，130）50.25[130，140）60.3[140，150）30.15合計201乙的頻率分布直方圖如下圖所示：（3）甲乙兩位同學(xué)的不低于140（分）的成果共5個，甲兩個成果記作A1、A2，乙3個成果記作B1、B2、B3（其中B3表示150分），隨意選出2個成果全部的取法為：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10種取法，其中兩個成果不是同一個人的且沒有滿分的是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），共4種取法，∴取出的2個成果不是同一個人的且沒有滿分的概率P＝．20．如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD且BC＝2AD，平面PAC⊥平面ABCD，PA＝PC，PA⊥AB．（1）證明：AB⊥PC；（2）若PA⊥PC，PB＝2PC＝4，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【分析】（1）取AC的中點O，連接PO，得出PO⊥AC，依據(jù)平面PAC⊥平面ABCD得出PO⊥平面ABCD，證明PO⊥AB；再由AB⊥PA證明AB⊥平面PAC，即可證明AB⊥PC．（2）依據(jù)題意利用分割補形法計算四棱錐P﹣ABCD的體積，另一種解法是干脆計算四棱錐的體積即可．【解答】（1）證明：取AC的中點O，連接PO，如圖所示；因為AP＝PC，所以PO⊥AC，又因為平面PAC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，又因為AB?平面ABCD，所以PO⊥AB；①又因為AB⊥PA，②由①②可得AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC．（2）解：因為PB＝2PC＝4，所以PA＝PC＝2，又AB⊥PA，所以AB2＝PB2﹣PA2，所以；又因為PA⊥PC，PA＝PC＝2，所以，；由（1）知AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，所以；所以；又因為BC//AD，BC＝2AD，所以S△ABC＝2S△ACD，所以；所以四棱錐P﹣ABCD的體積