新教材 人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 第三章 圓錐曲線的方程 知識點考點及解題方法規(guī)律提煉

第三章圓錐曲線的方程

3.1橢圓...................................................................-1-

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程..................................................-1-

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)................................................-7-

3.2雙曲線................................................................-20-

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程..............................................-20-

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)............................................-26-

3.3拋物線................................................................-33-

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程..............................................-33-

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)............................................-38-

3.1橢圓

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個定點Fl,歹2的距離的和等于常數(shù)(大于尸汨2|)的點的軌跡叫做

橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的二

生稱為半焦距.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點在X軸上焦點在y軸上

22

kV%+提=l(a＞Q0)

標(biāo)準(zhǔn)方程/土］=1(。＞。＞0)

隹八'、占八、、(一°,0)與(0,0)(0,—c)與(0,c)

a,b,c的關(guān)

c2=a2—b2

系

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1]求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為Fi(-4,0),%(4,0),并且橢圓上一點P與兩焦點的

距離的和等于10；

(2)焦點坐標(biāo)分別為(0,—2),(0,2),經(jīng)過點(4,3啦)；

(3)經(jīng)過兩點(2,一6)，［-1,田

［解］⑴因為橢圓的焦點在x軸上，且c=4,2a=10,所以。=5,b=y^a1—c1=

______72

、25—16=3,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+5=1.

(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+胃=1(。>6>0).

法一：由橢圓的定義知2az(4—0)2+(3陋+2)2+叱4—0)2+(36—2)2=12-

解得a=6.又c=2,所以。=,2_02=4近

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為+3=1.

法二：因為所求橢圓過點(4,3的，所以竽+要=1.

又c2=a2—〃=4,可解得.2=36,/=32.

27

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為*+而=1.

22

(3)法一：若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+*=1(。>6>0).由已知

「4+1=1,

a2=8,

條件得《，解得<

8力2=4.

72

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為￥+9=1.

o4

若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為力+'=l(a>b>0).

42=8,

由已知條件得解得《

a2=4.

則/〈反，與°>5>0矛盾，舍去.

綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+^=1.

o4

法二：設(shè)橢圓的一般方程為A%2+By2=l(A>0,B>0,A^B).分別將兩點的

'4A+23=1,

坐標(biāo)(2,一也,代入橢圓的一般方程，得,14

f華A+yB=l,

解得q

72

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為￥+9=1.

o4

廠........規(guī)津方法........

用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟

(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個

坐標(biāo)軸都有可能.

//%2丫2

⑵設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程W+3=l(a>0>0)或表+3=l(a>Q0)或整

C4-UULt-

式形式如^+町^二1(機>o,n>0,mWn).

(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a,b,c(或加，”)的方程組.

(4)得方程：解方程組，將解代人所設(shè)方程，寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求.

'美型"橢圓中的焦點三角形

72

【例2】(1)已知橢圓正++=1的左焦點是R1,右焦點是尸2,點尸在橢圓

上，如果線段PR1的中點在y軸上，那么1PBi：|。冏=()

A.3：5B.3：4

C.5：3D.4：3

(2)已知橢圓￡+弓=1中，點P是橢圓上一點，為，乃是橢圓的焦點，且NPBB

=120°,則△PBB的面積為.

［思路探究］(1)借助PRi的中點在y軸上，且。為為八的中點，所以

軸，再用定義和勾股定理解決.

(2)利用橢圓的定義和余弦定理，建立關(guān)于|尸碎，|P網(wǎng)的方程，通過解方程求

解.

(1)C(2)呼［(1)依題意知，線段PR1的中點在y軸上，又原點為人人的

中點，易得y軸〃PR,所以尸八，了軸，貝U有|PB|2一|尸@|2=4°2=16,又根據(jù)橢圓

定義知|PB|+|「刑=8,所以|PFI|-|PF2|=2,

從而|PE|=5,歸他|=3,即1PBi：|「刑=5：3.

72_____

(2)由］+\=1,可知a=2,b=y/3,所以°=y1&2一抉=1,從而尸］R2|=2C=

2.

在△PB場中，由余弦定理得|PR2|2=|PB|2+ER2|2-2|PR||BR2|COSNPBR2,

22

|PF2|=|PF11+4+2|PF11.①

由橢圓定義得|PB|+|PB|=2a=4.②

由①②聯(lián)立可得|PB|=|.

所以5^^仍=41歸典sinNPRLF2=；X,X2X^=平］

「......規(guī)?cT?法........................

橢圓定義在焦點三角形中的應(yīng)用技巧

⑴橢圓的定義具有雙向作用，即若|MFi|十|MR2|=2a(2a>|fYF2|),則點”的軌

跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2。

(2)涉及焦點三角形面積時，可把|PBI,|「人|看作一個整體，運用IPBF+IPGF

=(|PB|+|P刑)2-2|PRIHPR2|及余弦定理求出IPBHP網(wǎng)，而無需單獨求解.

母題探究］

1.本例(2)中，把“NPF1尸2=120?！备臑椤癗PRLF2=90?！保蟆魇?P本的面

積.

72

［解］由橢圓方程會+事=1,知a=2,c=l,由橢圓定義，得|PB|十|PR2|=2a

=4,且尸1刊=2,在△PRiB中，ZPFIF2=90°.

.,?|PF2|2=|PFI|2+|FIF2|2.

從而(4-|PRI|)2=|P尸『+4,

3

則1尸尸il=5,

13

因此S=y\FiF2\-\PFi\=^.

△r/心ZZ

,3

故所求△尸尸1尸2的面積為1.

2.本例(2)中方程改為，捻=l(a>6>0),且“/PFIF2=120?！备臑?/p>

“NFIPF2=120”，若的面積為小，求6的值.

［解］由NRIPR2=120。，Z\PFIF2的面積為小,可得g|PEi||P刊7垣/斤1尸尸2=

乎|尸碎壯仍|=小，.?.|尸乃||尸五2|=4.根據(jù)橢圓的定義可得歸碎+|尸外|=2a.再利用余

2=222

弦定理可得4c|PF1|+IPF2I-2|PFI||PF2|COS120°=(|PFi|+|PF2|)-|PFI|-|PF2|=

44—4,

b2=l,即6=1.

"型“與橢圓有關(guān)的軌跡問題

［探究問題］

1.用定義法求橢圓的方程應(yīng)注意什么？

［提示］用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為

到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐

標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a,b,c.

2.利用代入法求軌跡方程的步驟是什么？

［提示］(1)設(shè)點：設(shè)所求軌跡上動點坐標(biāo)為A/(x,y),已知曲線上動點坐標(biāo)為

P(xi,").

xi=g(x,y),

(2)求關(guān)系式：用點M的坐標(biāo)表示出點P的坐標(biāo)，即得關(guān)系式

\y\=h(x,y).

(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所

得方程化簡即可.

?2

【例3】⑴已知P是橢圓"十七=1上一動點，。為坐標(biāo)原點，則線段OP

中點Q的軌跡方程為.

(2)如圖所示，圓C：(尤+1)2+>2=25及點A(l,0),Q為圓上一點，AQ的垂直

平分線交CQ于點拉，求點M的軌跡方程.

［思路探究］(1)點Q為0P的中點二點。與點P的坐標(biāo)關(guān)系二代入法求解.

⑵由垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義進(jìn)行求解.

(l)x2+^'=l［設(shè)。(x,y),P(xo,yo),由點Q是線段。尸的中點知xo=2x,yo

=2y,

又小

所以4十8一1，

即x2+g=l.］

(2)［解］由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ|=|MA|,

...|CM|+\MA\=\CM\+\MQ\=\CQ\,

：.\CM\+\MA\=5.

...點”的軌跡為橢圓，其中2a=5,焦點為C(—1,0),A(l,0),."二方，c=l,

72

.,.所求點M的軌跡方程為

TT

1........規(guī)?法.............................

1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本

例(1)所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法.

2.對定義法求軌跡方程的認(rèn)識

如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知

曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.定義法在我們

后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法.

3.代入法(相關(guān)點法)

若所求軌跡上的動點P(x,y)與另一個已知曲線C：F(x,＞)=0上的動點Q(xi,

yi)存在著某種聯(lián)系，可以把點。的坐標(biāo)用點尸的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲

線C的方程"x,y)=0,化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代

入法(又稱相關(guān)點法).

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1.橢圓的簡單幾何性質(zhì)

隹占的

焦點在X軸上焦點在y軸上

位置

圖形

B\0[F]B2X

隹占的

焦點在X軸上焦點在y軸上

位置

標(biāo)準(zhǔn)27

1+^=1(?>^>0)京土區(qū)三1(。＞。＞0)

方程

范圍—aWxWa且——bWyWZ?—bWxWb且一〃WyWo

對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸,對稱中心為原點

Ai(一〃,0),A2(O,0)4(0,—a),A2(0,a)

頂點

3(0,-b)9B2(0,b)Bi(-Z?,O),&(—0)

軸長短軸長四歷|=/，長軸長14A2|=%

隹占

八、、八、、-1(—C,0),52(C,0)R(0,—c),m(0,c)

焦距|FIF2|=2C

2.離心率

（1）定義：橢圓的焦距與長軸長的比。稱為橢圓的離心率.

（2）性質(zhì)：離心率e的范圍是（0,1）.當(dāng)e越接近于1時，橢圓越扇；當(dāng)e越接近

于2時，橢圓就越接近于圓.

誄型17由橢圓方程研究幾何性質(zhì)

72?2

【例1】⑴橢圓縈琮=1伍＞6＞0）與橢圓為+,=九（九＞0且九*1）有（）

A.相同的焦點B.相同的頂點

C.相同的離心率D.相同的長、短軸

（2）求橢圓9爐+16y2=144的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo).

（1）C［在兩個方程的比較中，端點a、6均取值不同，故A,B,D都不對，

而a,b,c雖然均不同，但倍數(shù)增長一樣，所以比值不變，故應(yīng)選C.］

22

（2）［解］把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為亡+］=1,

所以a=4,b=3,c='16-9=巾,

所以橢圓的長軸長和短軸長分別是2〃=8和26=6;

離心率e=￡=T；

兩個焦點坐標(biāo)分別是（一巾，0）,（巾，0）;

四個頂點坐標(biāo)分別是（一4,0）,（4,0）,（0,-3）,（0,3）.

［母題探究］

I.本例⑴中把方程"”十%='（九＞0且九W1）”改為“再

1（入W0）”，結(jié)果會怎樣呢？

?2

A［由于a＞b,二?方程〃2+丸+.21丸=1中，，=（4+九）一（廿+九）=〃2—）2.

22

焦點與，+方=1（。＞人＞0）的焦點完全相同.

而因長軸長，短軸長發(fā)生了變化，所以BCD均不對，只有A正確.］

2.本例⑵中，把方程改為“驍招+"="#,結(jié)果又會怎樣呢？

［解］把方程161+9、2=144化為標(biāo)準(zhǔn)形式得髭+，=L

知橢圓的焦點在y軸上，

這里次=16,廿=9,c2=16—9=7,

所以橢圓16爐+9>2=144的長軸長為2a=2X4=8,短軸長為20=2X3=6,

離心率：6=\=乎，焦點坐標(biāo)：(0,±\斤)，

頂點坐標(biāo):(0,-4),(0,4),(-3,0),(3,0).

1.......規(guī)法...........................

由標(biāo)準(zhǔn)方程研究性質(zhì)時的兩點注意

(1)已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定

焦點的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型.

(2)焦點位置不確定的要分類討論，找準(zhǔn)a與。，正確利用次=廬十02求出焦點

坐標(biāo)，再寫出頂點坐標(biāo).同時要注意長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是

2a2b2c.

由幾何性質(zhì)求橢圓的方

^§^2/___________________

程

【例2］求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)橢圓過點(3,0),離心率e=乎；

(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8；

72

(3)經(jīng)過點M(l,2),且與橢圓舌+看=1有相同的離心率.

［思路探究］(1)焦點位置不確定，分兩種情況求解.

(2)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解.

(3)法一：先求離心率，根據(jù)離心率找到a與人的關(guān)系，再用待定系數(shù)法求解.

?2722

法二：設(shè)與橢圓行+卷=1有相同離心率的橢圓方程為臺+?=依(%>0)或占+

乙UJL乙UJL乙

X2

石=左2(攵2>0).

［解］(1)若焦點在x軸上，則a=3,

*.*e=-1=,.，.c=&，b2=a2—c2=9—6=3.

72

??.橢圓的方程為5+5=1.

若焦點在y軸上，則b=3,

?：*,解得"=27.

橢圓的方程為6+^=1.

所求橢圓的方程為1或考+總=1.

72

(2)設(shè)橢圓方程為:+￡=l(tz>Z?>0).

如圖所示，△4陽2為等腰直角三角形，

OR為斜邊AIA2的中線(高)，

且|OW=c,|4聞=24

.?.c=b=4,.*.tz2=Z?2+c2=32,

故所求橢圓的方程為今+*=L

,扶1層1

(3)法一：由題意知02=1—三=5，所以w=5，即〃=2廬，設(shè)所求橢圓的方程

CL乙CI乙

/J丫2/

刀為2一〃1+十^屆=1［外或2上〃5十+〃—7=11.

將點”(1,2)代入橢圓方程得

14419

赤+7=1或方+7=1,解得/=1或/=3.

92f

匕

K1或

9-X63

故所求橢圓的方程為§+-+-

2

法二：設(shè)所求橢圓方程為吉+點=而(歷>0)或南7+曰=比&>0),將點M的坐標(biāo)

14,4131

代人可得方或有+^=近，解得h=T,左2=5,

-L乙u-L乙u?乙

222

匕

匕

或X

即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為§+96+-3

2一

1......規(guī)律C方法........................

利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路

(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟

是：

①確定焦點位置；

②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方

程)；

③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時

常用的關(guān)系式有廿=次一°2,e=§等.

(2)在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點位置，因此

僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個.

提醒：與橢圓w+71=l(a>">0)有相同離心率的橢圓方程為三十尸=左1(%>0,

aL)dL)

22

焦點在x軸上)或，+加=左2(攵2>o,焦點在y軸上).

△類型3求橢圓的離心率

［探究問題］

1.橢圓的離心率是如何影響橢圓的扁圓程度的？

［提示］離心率e=2,假設(shè)a固定，當(dāng)e—O時，c-0,因a2=c2+b2,則b^a,

所以離心率越小，橢圓就越圓，否則就越扁.

b

2.已知，的值能求出離心率嗎？

3.已知尸是橢圓的左焦點，A,5分別是其在九軸正半軸和y軸正半軸上的

頂點，P是橢圓上的一點，且PfUx軸，0P〃A3,怎樣求橢圓的離心率？

22

［提示］如圖，設(shè)橢圓的方程為a+齊=1（。>6>0），P（—c,m）.

'：OP//AB,

:.△PFOS^BOA,

.￡_m

?,G=P

又P（—c,加）在橢圓上,

gpe2=-.\e=也

*^\c-2，??c2.

72

【例3】設(shè)橢圓*+g=l（a>QO）的兩焦點為A,Fi,若在橢圓上存在一

點P,使屆1?而2=0,求橢圓的離心率e的取值范圍.

［思路探究］由條件而1?而2=0,知PF1LPF2,所以點尸在以八八為直徑的

圓上，也在橢圓上，利用圓與橢圓有公共點的條件建立不等式求解.

［解］由題意知尸人工尸入，所以點P在以R1R2為直徑的圓上，即在圓/+y2

=/上.

72

又點P在橢圓上，所以圓％2+廿=°2與橢圓/十3=1有公共點.

連接0P（圖略），則易知OVbWcVa,

所以b2^c2<a2,即a2—c2^：c2<a2.

所以會—2<4,所以坐WeVl.所以e（坐，1）.

［母題探究］

1.本例中，把條件改為“點尸與短軸端點重合，且△PR1R2為等邊三角形”，

求橢圓的離心率.

［解］當(dāng)△PR1R2為等邊三角形時，即|。回|=|尸網(wǎng)=聞冏，又|PB|=a,：.a=

c1

2c,故離心率e=/=1.

2.本例中，把條件改為“點P與短軸端點重合，且△PR1R2為等腰直角三角

形”，求橢圓的離心率.

［解］當(dāng)APF1F2為等腰直角三角形時，

O

ZFIPF2=90,

這時|尸1尸2|={i|P乃|,

即2c=y/2a,

:.離心率e=W=q.

a2

3.把本例中條件“使帚1.而2=0”改為“使NF1PF2為鈍角”，求離心率的

取值范圍.

［解］由題意，知.*.c12＞/?2.

ai

又廿=。2—。2,.?./＞。2—，，即2/.?.e2=u＞］,

I.e＞亭.故橢圓的離心率的取值范圍為惇，1).

1.........規(guī)法.............................

求橢圓離心率及范圍的兩種方法

(1)直接法：若已知a,c可直接利用e=§求解.若已知a,b或b,?？山柚?/p>

/=/+°2求出0或a,再代入公式e=\求解.

(2)方程法：若a,c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a,b,。的齊次關(guān)系式，

借助于次=〃+°2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于小。的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩

邊同除以。的最高次嘉，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍.

第2課時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用

1.點與橢圓的位置關(guān)系

72

點P(xo,泗)與橢圓3+蘇=1伍＞。＞0)的位置關(guān)系：

點P在橢圓上臺翼+駿=1；

點P在橢圓內(nèi)部臺)+患＜1;

點P在橢圓外部，土的.

2.直線與橢圓的位置關(guān)系

92

直線y=kx+m與橢圓5+，=1(。＞。＞0)的位置關(guān)系：

y=kx-\-m,

聯(lián)立2十q=1消去y得一個關(guān)于元的一元二次方程.

位置關(guān)系解的個數(shù)」的取值

相交西解J>0

位置關(guān)系解的個數(shù)/的取值

相切二解/三0

相離無解在0

Y型］直線與橢圓的位置關(guān)系

【例1】已知直線/：y=2x+機，橢圓C：與十］=1.試問當(dāng)機取何值時，直

線/與橢圓C：

(1)有兩個公共點；

(2)有且只有一個公共點；

(3)沒有公共點.

［思路探究］|聯(lián)立方程元得一元二次歷福

一利用根的判別式判斷根的個數(shù)IT得出結(jié)論

y=2x+m,

［解］直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組〈二+q_］消去y,得

9/+85+2機2—4=0①.

方程①的判別式/=(8m)2-4X9X(2m2-4)=-8m2+144.

(1)當(dāng)/>0,即一3/<根<3加時，方程①有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程

組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線/與橢圓C有兩個公共點.

(2)當(dāng)/=0,即加=±3啦時，方程①有兩個相同的實數(shù)解，可知原方程組有兩

組相同的實數(shù)解.這時直線/與橢圓C有且只有一個公共點.

(3)當(dāng)/V0,即機V—3噌或m>3班時，方程①沒有實數(shù)解，可知原方程組沒

有實數(shù)解.這時直線/與橢圓C沒有公共點.

廠.....??規(guī)W<75法.......--'

代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系

判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消

去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則

/>0臺直線與橢圓相交；

/=0臺直線與橢圓相切；

/<0臺直線與橢圓相離.

提醒：注意方程組的解與交點個數(shù)之間的等價關(guān)系.

Y型2弦長和中點弦問題

［探究問題］

1.求弦長常用的方法有哪幾種？

［提示］(1)兩點間距離公式，需要先通過解方程組將兩點坐標(biāo)求出來.

(2)弦長公式，不需要求出交點坐標(biāo)，采用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換即可.

2.“點差法”的核心是什么？

［提示］假設(shè)弦I中點為(xo,yo),弦的兩端點坐標(biāo)為(xi,yi),(X2,yi),則xi

+X2=2XO,yi+y2=2yo,

兩式作差得辿『十生『=。，即S—密.

Ct-uL4-yu

72

【例2】過橢圓正+：=1內(nèi)一點”(2,1)引一條弦，使弦被M點平分.

(1)求此弦所在的直線方程；

(2)求此弦長.

［思路探究］(1)法一：聯(lián)立方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式

求解.

法二：點差法.

(2)設(shè)弦的兩端點分別為A(%i,yi)9B(X29yi)9利用弦長公式求解.

［解］(1)法一：設(shè)所求直線方程為y—1=攵(無一2).代入橢圓方程并整理，得

(4產(chǎn)+一幻工+4(2左一I)2-16=0.

又設(shè)直線與橢圓的交點為A(%i,yi),B(X29yi)9

則XI,九2是方程的兩個根，

8(21)

于7€X1+X2——2」1?

xi+x24(23一左)

又M為AB的中點,,?F-=4后+1=2

解得k=—1.

故所求直線的方程為x+2y~4=0.

法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A(xi,yi),Bg,y2).

又M(2,l)為AB的中點，：.XI+X2=4,yi+yi=2.

又A,5兩點在橢圓上，

則x?+4y?=16,xi+4yi=16.

兩式相減得(%?一成)+4(才一族)=0.

于是(%1+%2)(xi-X2)+4(y1+y2)(yi~y2)=0.

.yi~y2xi+x21

**xi-%24(yi+")2'

即kAB=~^.

又直線A3過點M(2,l),

故所求直線的方程為x+2y~4=0.

⑵設(shè)弦的兩端點分別為A(xi,yi),3(X2,"),

卜+2y—4=0,

由|登_+『_]得元2_4%=0,

??XI+X2=4,X1X2=0,

/.\AB\=71+居#11+%2）2—4x1X2

=y/1+[-1）2-A/42-4X0=2V5.

母題探究

1.本例中把條件改為“點M(2,l)是直線關(guān)+2)-4=0被焦點在x軸上的橢圓

所截得的線段的中點”，求該橢圓的離心率.

［解］設(shè)直線與橢圓的兩交點為(xi,yi),(X2,yi),則尤1+尤2=4,yi+y2=2.

由我+母=1和u+*l，

4（xi—X2）2（yi—券）yi~y2~2b2

=

a2b2'=xi-xia2~?

1b21

又x+2y—4=0的斜率為一,/.^2=4.

所以橢圓的離心率為2=泉=

2.把本例條件中“使弦被M點平分去掉”，其他條件不變，求弦的中點尸

的軌跡方程.

［解］設(shè)弦的中點為P(x,V),兩端點的坐標(biāo)為(XI,yi),(X2,V2),則

=1.

?2x（x1-二）__22yl-二）

1,16――4

從而為=9嚀

XI-X24y

y—1~xy~1

又左/=左加=.,.'.方=口.

整理得x2+4y2—2x—4y=0.

故軌跡方程為r+dy2—2x—4y=0.(橢圓內(nèi)的部分)

廠.......規(guī)律方法.............................

1.弦中點問題的解決方法

(1)用“點差法”求解弦中點問題的解題步驟

①設(shè)點一設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)；

②代入——代入圓錐曲線方程；

③作差一兩式相減，再用平方差公式把上式展開；

④整理一轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解.

(2)對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與

系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件/>0;在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲

線是否相交.

2.弦長公式

設(shè)直線與橢圓交于A(xi,yi),B(X2,*)兩點，則有

\AB\=q（XI—X2）2+Qi—*）2

=\l1+左2。4（%1+尤2）2-4x1X2

=通十信-券)2

=、/1+/?1+”)2—4刀”(左為直線斜率).

提醒：如果直線方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情況.

與橢圓有關(guān)的綜合問題

【例3】橢圓E：5+忘=1(4>6>0)經(jīng)過點A(—2,0),且離心率為坐.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點尸(4,0)任作一條直線I與橢圓C交于不同的兩點M,N.在x軸上是否存

在點0，使得N尸。般+N尸。N=180。？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

［解］⑴由條件可知，橢圓的焦點在入軸上，且4=2,又6=\=坐，得c=巾.

由次一〃=/得/?2=(22—C2=2.

92

??.所求橢圓的方程為1+5=1.

⑵若存在點Q(m,O),使得NPQM+NPQN=180。，

則直線QM和QN的斜率存在，分別設(shè)為左1,fo.

等價于左l+左2=0.

依題意，直線/的斜率存在，故設(shè)直線/的方程為丁=左(%—4).

y=k(x-4)

由鴻一

得(2左2+1)^-161cx+321c-4=0.

因為直線/與橢圓C有兩個交點，所以/>0.

即(16嚴(yán)產(chǎn)-4(2產(chǎn)+1)(32/一4)>0,解得^<1,

16A232^-4

設(shè)yi),N(X2,y2),則xi+%2=定不下xi，=2產(chǎn)+1'

yi=k(xi-4),>2=左(12—4),

令k\+ki=一出)2

x\—mxi-m=0,

(xi—tn)yi+(X2—m)yi—0,

當(dāng)上WO時，2%I%2—(m+4)(xi+%2)+8m=0,

化簡得，筆押=°，

所以m=l.

當(dāng)左=0時，也成立.

所以存在點Q(1,O),使得NPQM+NPQN=180。.

r........規(guī)?法...........................

綜合問題涉及的問題及解決方法

本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題，其中解答中涉及到橢圓

的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析

問題和解答問題的能力，推理與運算能力.此類問題的解答中，把直線方程代入

橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

3.2雙曲線

3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點仍的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)

文字語言

（小于下上2|）的點的軌跡.

符號語言||PF1|-|PF2||=常數(shù)（常數(shù)<|F1F2|）

隹占

八、、八、、定點F2

焦距兩焦點間的距離

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點在X軸上焦點在y軸上

標(biāo)準(zhǔn)方程方二木三1（。>0，8>0）力二手m（a>0,b>0）

隹占

八、、八、、Fi（-c,0）>F2（C,。）Fi（0,1c）,F2（0>C）

a,b,c

c2=a2+b2

的關(guān)系

中型］求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（l）a=4,經(jīng)過點A，，一斗斗；

（2）與雙曲線需一1=1有相同的焦點，且經(jīng)過點（3班，2）；

(3)過點P(3,呈)，。(一號，5)且焦點在坐標(biāo)軸上.

［思路探究］(1)結(jié)合。的值設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，將點A的坐標(biāo)代入求

解.

(2)因為焦點相同，所以所求雙曲線的焦點也在x軸上，且°2=16+4=20,利

用待定系數(shù)法求解，或設(shè)出統(tǒng)一方程求解.

(3)雙曲線焦點的位置不確定，可設(shè)出一般方程求解.

［解］(1)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為卷一方=13>0),把點A的坐

標(biāo)代入，得。2=一1|x詈<0,不符合題意；當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程

222

為低一5=1(。>0),把A點的坐標(biāo)代入，得k=9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為髭一

%2,

9=1'

(2)法一:,焦點相同,

Y2V2

設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為了一官=1(<7>0,b>0),

??./=16+4=20,即后+〃=20.①

1o4

?.?雙曲線經(jīng)過點(36，2),/.^2—^2=1.②

fV2

由①②得a2=12,Z?2=8,???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二一七=1.

1Zo

Y2V2

法二：設(shè)所求雙曲線的方程為^^一六7=1(—4<心16).

16—44十4

1QA

?.?雙曲線過點(3加,2),.-.-^—-^7=1,

解得入=4或入=—14(舍去).

%2V2

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為萬一7=1.

1Zo

(3)設(shè)雙曲線的方程為AxL+By1=1,AB<0.

?.,點P,Q在雙曲線上，

225

9A+記5=1,

.*.5解得q

年＜+253=1,

Iy

.,.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

97io7=1.

1......規(guī)律c方法........................

1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點位

于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式.

(2)定量：是指確定片,廿的數(shù)值，常由條件列方程組求解.

2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法

(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a,b,c,再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

%2丫2丫2%2

(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也一方=1或5一條=l(a,6均為正

數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可.

提醒：若焦點的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2

+。2=1的形式，注意標(biāo)明條件/n〃V0.

雙曲線定義的應(yīng)用

［探究問題］

1.雙曲線的定義中為什么要加條件“常數(shù)2a小于尸1b|”？

［提示］把常數(shù)記為2a,只有當(dāng)2aV|為刑時，其軌跡是雙曲線；當(dāng)2a=|為刑

時，其軌跡是分別以仍為端點的兩條射線；當(dāng)2a＞尸1仍|時，其軌跡不存在.若

常數(shù)為零，其余條件不變，則動點的軌跡是線段為放的垂直平分線.

2.雙曲線定義中為什么“距離的差"要加''絕對值”？

［提示］距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支.若R1,歹2分別表示

雙曲線的左、右焦點，且點P滿足1PBi—|尸網(wǎng)=2出則點P在右支上；若點尸滿

足|「7囹一|PB|=2a,則點P在左支上.

［例2］(l)AABC中,A(—5,0),3(5,0),點C在雙曲線正一甘=1上，則

sinA-sinB

——smC—=('7)

3344

A.5B.C.一5D.

r2v2

(2)已知為，八分別是雙曲線§一相=1的左、右焦點，若P是雙曲線左支上

的點，且|尸乃卜|尸網(wǎng)=32.試求4^山八的面積.

［思路探究］(1)結(jié)合三角形中正弦定理及雙曲線的定義解題，但要注意||C4|

~\CB\\=2a.

(2)結(jié)合焦點三角形中余弦定理和雙曲線的定義，以及三角形面積公式解題.

(1)D［在AABC中，sin4=珠常,sin3=*,sin。=粵=與(其中R為

外接圓的半徑).

.sin——sin32R|3C|一|AC|

~sinC-=10=10-

2R

又?.?|3C|一|AC|=±8,

sinA—sinB84

-sinC-=±T0=±5']

(2)［解］因為尸是雙曲線左支上的點，所以|「刑一|PB|=6,兩邊平方得|尸碎2

+|PF2|2-2|PF］|-|PF2|=36,所以|PRIF+|尸冏2=36+2|尸乃卜|尸刑=36+2乂32=100.

在△BPB中，由余弦定理,

1PBi2+|P@|2一|R冏2

得COSZFIPF2=

2|PFI|.|PF2|