高考數(shù)學考前30天回歸課本知識技法精細過（12）：排列組合二項式定理

高考數(shù)學考前30天回歸課本知識技法精細過（十二）第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一、必記3個知識點1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝①____________________種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝②____________________種不同的方法．3．兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及③____________________的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與④________有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與⑤________有關(guān)，各個步驟⑥________，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．二、必明2個易誤點1．分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．2．分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的．三、技法1.分類加法計數(shù)原理的實質(zhì)分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，每類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事．2．使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應(yīng)遵循“標準要明確，不重不漏”的原則.3.分步乘法計數(shù)原理的實質(zhì)分類乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成其中的任何一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事．4．使用分步乘法計數(shù)原理的原則(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).5.兩個注意：(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理．(2)注意對較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.6.解決涂色問題的要點(1)要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當?shù)耐可樞颍?2)切實選擇好分類標準，分清哪些可以同色，哪些不同色.參考答案①m1＋m2＋…＋mn②m1×m2×…×mn③完成一件事情④分類⑤分步⑥相互依存第二節(jié)排列與組合一、必記2個知識點1．排列與排列數(shù)(1)排列的定義：一般地，從n個①________元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的②________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的③____________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記為Aeq\o\al(m,n).(3)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，規(guī)定0?。?.2．組合與組合數(shù)(1)組合的定義：一般地，從n個⑥________的元素中取m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個⑦________元素中取出m(m≤n)個元素的⑧__________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝⑨____________＝⑩__________________________＝?__________________.(4)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝?____________.性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝?____________(m≤n，n∈N*，m∈N*)．二、必明3個易誤點1．要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計數(shù)．2．解受條件限制的組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時標準應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．3．解組合應(yīng)用題時，應(yīng)注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義．三、技法1.求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法2.兩類含有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解．用直解法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，用間接法求解.3.解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．參考答案①不同②順序③所有不同排列④eq\f(n！,n－m！)⑤n?、薏煌卟煌嗨胁煌M合⑨eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))⑩eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)?eq\f(n！,m！n－m！)?eq\x(C\o\al(n－m,n))?Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)第三節(jié)二項式定理一、必記3個知識點1．二項式定理(a＋b)n＝①______________________________________.這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二項展開式的③________，用Tr＋1表示，即展開式的第④________項；Tr＋1＝⑤____________.2．二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n＋1.(2)每一項的次數(shù)之和都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為⑥________.(3)字母a按⑦________排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按⑧________排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從⑨______________，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，⑩____________.3．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端?________的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當?________時，二項式系數(shù)是遞增的；當?________時，二項式系數(shù)是遞減的．當n是偶數(shù)時，中間的一項?________取得最大值．當n是奇數(shù)時，中間兩項?________和?________相等，且同時取得最大值．(3)二項式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即?__________________________________________＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝?________.二、必明3個易誤點1．要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項系數(shù)和”嚴格地區(qū)別開來．2．應(yīng)用通項公式時常用到根式與冪指數(shù)的互化，容易出錯．3．通項公式是第r＋1項而不是第r項．三、技法1.求展開式中的指定項或特定項解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.2.二項式系數(shù)或項系數(shù)的和問題涉及的兩個方法=1\*GB2⑴“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法；只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．=2\*GB2⑵若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).3.求解二項式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步，求系數(shù)的最大值問題，要先弄清所求問題是“展開式中項的系數(shù)最大”“二項式系數(shù)最大”以及“最大項”三者中的哪一個；第二步，若是求二項式系數(shù)最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二項式系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求展開式中項的系數(shù)的最大值，由于展開式中項的系數(shù)是離散型變量，設(shè)展開式各項的系數(shù)分別為A1，A2，…An＋1，且第k項系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項的系數(shù)的最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得結(jié)果.4.利用二項式定理解決整除問題時，基本思路：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可．因此，一般將被除式化為含有相關(guān)除式的二項式，然后再展開，此時常用“配湊法”、“消去法”結(jié)合有關(guān)整除知識來處理.參考答案①Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)②二項式系數(shù)③通項