浙江省臺州山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page20浙江省臺州山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題一?選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出．【詳解】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出．設(shè)直線的傾斜角為，．，.故選：B2.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.(-1，0)，3 B.(1，0)，3C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圓的標(biāo)準方程，干脆進行推斷即可.【詳解】依據(jù)圓的標(biāo)準方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.3.從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字排成1個兩位數(shù)，則排成的數(shù)是奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出全部可能組成的兩位數(shù)，確定其中奇數(shù)的個數(shù).【詳解】總共有16個兩位數(shù)，其中奇數(shù)有6個，所以概率為.故選：B【點睛】本題考查列舉法求古典概型概率，屬于基礎(chǔ)題.4.已知實數(shù)m，則“”是“曲線表示橢圓”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)橢圓方程的特征，結(jié)合充分性、必要性的定義進行推斷即可.【詳解】曲線表示橢圓，則有且，所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件，故選：A5.在正方體中，P為中點，則直線PC與所成的角余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)向量的夾角即可求線線角.【詳解】在正方體中，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則：,故,因此,設(shè)直線PC與所成的角為，則，故選：D6.已知，，圓C：，若圓C上存在點M，使，則圓C的半徑的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由得，即可知的軌跡為，要使圓上存在點，即圓與有交點，進而可得半徑的范圍.【詳解】設(shè)，則，，∵，即，∴，即在以原點為圓心，半徑為1的圓上，而圓的圓心為，半徑為R，∴圓上存在點，即圓與有交點，∴故選：A7.已知點P是棱長為1的正方體的底面上一點（包括邊界），則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將向量，用坐標(biāo)表示，計算數(shù)量積，求最大值.【詳解】如圖，以，，分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，，，則，，，當(dāng)或，或時，最大，為1.故選：C.8.已知O為坐標(biāo)原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F(xiàn)為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的對稱性，及，得四邊形為矩形，設(shè)，利用橢圓的定義，及條件所給出的長度關(guān)系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點P的位置，求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)左焦點為，連接，，，由題，，關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形.設(shè)，則，又因為，則，，，在中，，即，解得或（舍去），故點P為橢圓的上頂點.由，所以，即，所以離心率.故選：B.【點睛】解題時留意數(shù)形結(jié)合，抓住橢圓的對稱性，將圖形關(guān)系用含a，b，c的代數(shù)式表示出來，即可求解離心率.二?多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知直線l經(jīng)過點和，則下列說法正確的是（）A.直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等 B.直線l的斜率為1C.原點到直線l的距離為 D.直線l的一個方向向量為【答案】BCD【解析】【分析】由直線l經(jīng)過的兩點坐標(biāo)，可以求出直線的斜率，直線的方程，利用直線的方程推斷選項的正誤.【詳解】直線l經(jīng)過點和，所以直線的斜率，B正確，易得直線的方程為，即，令，得，即縱截距為1，令，得，即橫截距為-1，A錯誤，原點到直線l的距離，C正確，因為，所以是直線l的一個方向向量.故選：BCD.10.設(shè)A，B為兩個隨機事務(wù)，若，，下列命題中，正確的是（）A.若A，B為互斥事務(wù)，B.C.若，則A，B為相互獨立事務(wù)D.若A，B為相互獨立事務(wù)，則【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)的概率公式，結(jié)合相互獨立事務(wù)的概率公式進行推斷即可.【詳解】若A，B為互斥事務(wù)，，所以選項A正確；若時，，所以選項B不正確；因為，所以選項C正確；若A，B為相互獨立事務(wù)，，所以選項D不正確，故選：AC11.設(shè)橢圓的右焦點為F，直線l：與橢圓交于A，B兩點，則下列說法正確的是（）A.為定值B.△ABF的周長的取值范圍是C.當(dāng)時，△ABF為直角三角形D.當(dāng)時，則橢圓上到直線l的距離等于的點有三個【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義，結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐一推斷即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，點A在第一象限，依據(jù)橢圓的對稱性可知：，所以，因此選項A正確；△ABF的周長為，把代入橢圓方程中，得，所以，因為，所以，因此△ABF的周長的取值范圍是，所以選項B正確；當(dāng)時，，得，即，，明顯不是直角，因為，所以不是直角，因此△ABF不是直角三角形，所以選項C不正確；當(dāng)時，，得，而橢圓的上頂點到直線的距離也是，所以橢圓上到直線l的距離等于的點有三個，因此選項D正確，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：利用橢圓的定義和對稱性是解題的關(guān)鍵.12.如圖，若正方體的棱長為1，點M是正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），P是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為B.若保持，則點M在側(cè)面內(nèi)運動路徑的長度為C.三棱錐的體積最大值為D.若點M在上運動，則到直線PM的距離的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】A選項，把兩個平面綻開到同一平面內(nèi)，利用兩點之間，線段最短進行求解，留意綻開方式可能有多種；B選項，找到點在側(cè)面內(nèi)的運動軌跡是圓弧，再求解弧長；C選項，利用等體積法和建立空間直角坐標(biāo)系，求出的最大值，即為最大值；D選項，在空間直角坐標(biāo)系中利用點與線距離公式即可推斷該選項.【詳解】對于A，將平面與平面綻開到同一平面內(nèi)，連接AP，此時，也可將平面ABCD與平面綻開到同一平面內(nèi)，此時，，故A正確；對于B，取DD1中點E，連EM，PE，如圖，因是正方體的棱中點，則PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，則有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，點在側(cè)面內(nèi)運動路徑是以E為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，如圖，圓弧所對圓心角為，圓弧長為B正確；對于C，連接，，，，，，則，所以，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，（，），設(shè)平面的法向量為，則，令，得：，所以，設(shè)到平面的距離為，則，故當(dāng)，時，取得最大值，為，此時三棱錐體積最大，，C正確；對于D，正方體的棱長為1，為的中點，點M在上運動，設(shè)，可得，，，，，，可得，得，，，由圖可見，明顯地，當(dāng)與重合時，必有到直線PM的距離的最小，此時，，故，設(shè)直線與直線的夾角為，可得,則，故到直線PM的距離的最小值為，故D選項錯誤；故選：ABC三?填空題：（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.設(shè)空間向量，，若，則___________.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進行求解即可.【詳解】因為，所以，故答案為：14.已知點，圓C：，若過點M的直線l與圓C相切，則直線l的方程為___________.【答案】或【解析】【分析】考慮直線斜率存在和不存在兩種狀況，依據(jù)點到直線的距離等于半徑計算即可.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，此時，滿意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，，解得，故直線方程為，即.綜上所述：或；故答案為：或15.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱，且，N是CM的三等分點（靠近M點），則BN的長為___________.【答案】【解析】【分析】用表示出，求向量的模.【詳解】，則，則所以，所以，BN的長為故答案為：.16.已知橢圓C：的左?右焦點分別為?，M為橢圓C上隨意一點，N為圓E：上隨意一點，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義，結(jié)合橢圓和圓的幾何性質(zhì)進行求解即可.【詳解】如圖，由為橢圓上隨意一點，則，又為圓上隨意一點，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時取等號），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為，當(dāng)共線時，最大，如下圖所示：，最大值為，所以取值范圍為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：運用橢圓的定義和橢圓、圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.四?解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17已知直線：與：相交于點P.（1）若直線l過點P并且與直線：垂直，求直線l方程；（2）若直線l過點P并且與直線：平行，求直線l方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程，求交點，依據(jù)兩直線垂直，求得斜率，可得答案；（2）由（1）可得交點的坐標(biāo)，依據(jù)兩直線平行，求得斜率，可得答案.【小問1詳解】解方程組，解得，因為，直線l與垂直，所以，l的方程為，整理可得.【小問2詳解】由（1）可得，因為，直線l與平行，所以，l的方程為，整理可得：.18.如圖，在邊長為2的正方體中，E為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)進行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】在正方體中，且，且，∴且，所以，四邊形為平行四邊形，則，∵平面，平面，∴平面；【小問2詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AD?AB?所在直線分別為x?y?z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則???，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，求得平面平面的法向量，又∵，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.19.甲?乙兩人組成“星隊”參與猜謎嬉戲，每輪活動由甲乙各猜一次，已知甲猜對的概率為，乙猜對的概率為，甲乙猜對與否互不影響，每輪結(jié)果也互不影響.（1）求“星隊”第一輪活動中只有1人猜對的概率；（2）求“星隊”在兩輪活動中恰好猜對3人次的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）只有1人猜對，意味著結(jié)果為一對一錯，分狀況用相互獨立事務(wù)的乘法公式計算相加即可；（2）首先分析得到兩輪恰好猜對3人次的全部狀況，對每種狀況用相互獨立事務(wù)的乘法公式計算，將結(jié)果相加.【小問1詳解】設(shè)甲猜對為事務(wù)A，乙猜對為事務(wù)B，（1）事務(wù)表示“星隊”第一輪活動中只有1人猜對，且事務(wù)與互斥，則，∴，即“星隊”第一輪活動中只有1人猜對的概率為.【小問2詳解】“星隊”在兩輪活動中恰好猜對3人次可用事務(wù)來表示，并且、、、兩兩互斥，即，“星隊”在兩輪活動中恰好猜對3人次的概率為.20.已知直線l：與圓C：交于A?B兩點.（1）若時，求弦AB的長度；（2）設(shè)圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.摸索究：當(dāng)m改變時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，懇求出這條直線的方程；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)m改變時，點Q恒在直線上.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓的弦長公式進行求解即可；（2）依據(jù)圓的切線性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】，圓心，半徑，點C到直線的距離，∴；【小問2詳解】設(shè)點，由題意得：Q?A?B?C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程C：聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線l的方程，因為直線l：過定點，所以，解得：，所以當(dāng)m改變時，點Q恒在直線上.21.如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，若，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知得，，只需在證即可；（2）由（1）結(jié)論，可以得出面面垂直.作，只要證明，即可說明為二面角的平面角，解三角形即可求出.【小問1詳解】在梯形中，過點作于M，過點作于N設(shè)，則，由得，解得，∴，即∵，，平面，平面，∴平面【小問2詳解】由底面ABCD是正方形，則，由（1）知：面面ABCD，面面，而面ABCD，所以面，過D作于G，連接AG，則面ADG，故面面，面面，面，所以面ADG，又面ADG，則，因此為二面角的平面角，在中，，，則，所以，即平面與