浙江省縣城教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題

【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年浙江省縣城教研聯(lián)盟高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．4 B．-4 C．6 D．-64．清代的蘇州府被稱(chēng)為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（）A．10500 B．12500 C．31500 D．525005．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若，，，則（）A．2 B．3 C． D．6．雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)為，，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且平行于C的一條漸近線(xiàn)，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．37．已知實(shí)數(shù)a，b，c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（）A． B．C． D．8．已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)O關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，的夾角為，且，，則（）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為10．已知函數(shù)，則（）A．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)B．當(dāng)時(shí)，在上的最大值為C．當(dāng)為的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的最小值為1D．當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，的最大值為111．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則（）A． B．C．為奇函數(shù) D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9，則該組數(shù)據(jù)的方差是______．13．若，則______．14．三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段BC與AD的中點(diǎn)，M，N分別為線(xiàn)段AE與CF上的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題13分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．16．（本小題15分）將號(hào)碼為1，2，3，4的4個(gè)小球等可能地放入號(hào)碼為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子恰放1個(gè)小球．（1）求1號(hào)球不在1號(hào)盒中的概率；（2）記所放小球號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同的個(gè)數(shù)為X，不同的個(gè)數(shù)為Y，求證：．17．（本小題15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，平面底面ABCD．（1）求證：平面PBC；（2）求直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值．18．（本小題17分）已知函數(shù)，．（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，存在極小值點(diǎn)，求證：．19．（本小題17分）記點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)的變換為．已知：，將上所有的點(diǎn)按變換后得到的點(diǎn)的軌跡記為．（1）求的方程；（2）已知：過(guò)點(diǎn)，記與的公共點(diǎn)為M，N，點(diǎn)P為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作OM，ON的平行線(xiàn)，分別交直線(xiàn)ON，OM于G，H兩點(diǎn)，若外接圓的半徑r恒為，求四邊形OGPH面積的取值范圍．答案和解析1．【答案】B【解析】【分析】本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式與集合的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．解不等式化簡(jiǎn)集合A、B，根據(jù)交集的定義求出．【解答】解：∵，，，∴∵，∴根據(jù)，，所以，故選：B．2．【答案】D【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而求解．【解答】解：設(shè)，則，則，即，所以，，解得，，故，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．3．【答案】C【解析】【分析】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)解答即可．【解答】解：含的項(xiàng)為：，即的展開(kāi)式中的系數(shù)為6，故選：C．4．【答案】A【解析】【分析】本題考查了棱臺(tái)的體積，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可計(jì)算得出答案．【解答】解：一斛米的體積為，因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為，故選：A．5．【答案】B【解析】【分析】本題考查利用正弦定理解三角形，同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，，利用兩角和的正弦公式求得，利用正弦定理求得b，c，進(jìn)而求出a的值．【解答】解：由，可得，進(jìn)而求出，，由可得，，則，由正弦定理可知，又因?yàn)?，解得，，由正弦定理可得．故選：B．6．【答案】C【解析】【分析】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題．設(shè)，通過(guò)題意求出直線(xiàn)的方程、直線(xiàn)的方程，之后聯(lián)立直線(xiàn)的方程、直線(xiàn)的方程及雙曲線(xiàn)方程，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：如圖，設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可知P點(diǎn)在x軸上方或者下方不影響結(jié)果，不妨令P點(diǎn)在x軸下方，如圖所示：根據(jù)題意可得、，，雙曲線(xiàn)其中一條漸近線(xiàn)為，直線(xiàn)的方程為，①∵，∴，即直線(xiàn)的斜率為，即直線(xiàn)方程為，②又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，∴，③聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，∴，即，∴，∴．故選：C．7．【答案】A【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．由題意設(shè)，，求出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，可得值域．【解答】解：由實(shí)數(shù)a，b，c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)，，，所以，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)單調(diào)遞增，所以的最小值為，當(dāng)b趨近于時(shí)，趨近于，所以，所以．故選：A．8．【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，點(diǎn)、直線(xiàn)間的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，與圓有關(guān)的軌跡方程，定點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．設(shè)點(diǎn)，，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，根據(jù)可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由O，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)即可得到D點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求的取值范圍即可．【解答】解：由A，B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以可以設(shè)點(diǎn)，，則，由直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，故直線(xiàn)l不與x軸平行或重合，故可設(shè)直線(xiàn)l解析式為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得，，所以，解得，所以直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為，由O，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以，且D點(diǎn)不與O點(diǎn)重合，故可知D的軌跡方程為：（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），所以，，即，故選：B．9．【答案】AB【解析】【分析】本題考查了平面向量的數(shù)量積、向量的模、投影向量，屬于中檔題．根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判定即可．【解答】解：，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；故選：AB．10．【答案】ACD【解析】【分析】本題考查余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)逐一判定即可．【解答】解：時(shí)，，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；時(shí)，由可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的最大值為，故B錯(cuò)誤；若，則，，所以，，且，所以的最小值為1，故C正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間為：，，，，所以，，所以，故D正確．故選：ACD．11．【答案】BCD【解析】【分析】本題主要考查求函數(shù)值，函數(shù)的奇偶性，數(shù)列與不等式，等比數(shù)列的判定與證明，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．利用賦值法求得即可判斷A；利用賦值可得，并且判斷出，由不等式的性質(zhì)可得，即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性以及的值即可判斷C；利用等比數(shù)列的判定可得的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式可得，即可判斷D．【解答】解：令，，則，將代入得，即，故A錯(cuò)誤；由，令可得，若存在x使得，則上式變?yōu)椋@然不成立，所以，又，因?yàn)椋?，將整理為，因?yàn)?，即，所以，故B正確；令，則，且，所以為奇函數(shù)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由可知，因?yàn)?，所以，所以，故D正確；故選：BCD．12．【答案】【解析】【分析】本題考查一組數(shù)據(jù)方差的求法，考查平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．先求出這一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9的平均數(shù)，由此再求出該組數(shù)據(jù)的方差．【解答】解：一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9的平均數(shù)為：，∴該組數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為：．13．【答案】【解析】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)，，解得，結(jié)合二倍角余弦公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：因?yàn)榭傻?，因?yàn)椋傻?，解得或（舍去）所以．故答案為?4．【答案】【解析】【分析】本題考查了線(xiàn)面平行的性質(zhì)，考察了點(diǎn)線(xiàn)、點(diǎn)面、線(xiàn)面、面面的距離，考察了余弦定理，考察了二次函數(shù)性質(zhì)，是中檔題．延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)I，設(shè)，由余弦定理得，根據(jù)角平分線(xiàn)定理以及平行線(xiàn)性質(zhì)可知，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可得線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值．【解答】解：延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)I，因?yàn)槠矫鍭BD，由線(xiàn)面平行性質(zhì)定理可知，設(shè)，因?yàn)槿忮F的所有棱長(zhǎng)均為2，所以，且E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，所以AE平分∠BAC，由角平分線(xiàn)定理可知，所以，因?yàn)镕為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，所以，由余弦定理可知，所以，令，，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，則在時(shí)取得最小值，所以，綜上當(dāng)，即時(shí)MN取得最小值．故答案為．15．【答案】解：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，由，得，可得或，由，，成等比數(shù)列，則，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以．所以．綜上．（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，所以，即，所以，，所以．綜上．【解析】本題主要考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分組求和，屬于中檔題．（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得．，再得到的通項(xiàng)公式，利用分組求和求．16．【答案】解：（1）記事件“1號(hào)球不在1號(hào)盒中”為A，則；（2）X的取值為0，1，2，4，且，，，，，所以，，時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，則，時(shí)，，此時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，，，因?yàn)?，所以．【解析】本題考查了古典概型及其計(jì)算、離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．（1）根據(jù)古典概型公式計(jì)算1號(hào)球不在1號(hào)盒中的概率；（2）分析易得X的取值為0，1，2，4，且，再分別得出對(duì)應(yīng)概率，可得、，再研究XY的取值和對(duì)應(yīng)概率，可得，比較即可得證．17．【答案】解因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，，平面ABCD，所以平面AEC，平面AEC，所以，又因?yàn)?，E為PB中點(diǎn)，所以，又，PB、平面PBD，所以平面PBD；（2）設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD的射影為點(diǎn)Q，則平面ABCD，又平面ABCD，所以，取AD中點(diǎn)M，因?yàn)椋?，又，PQ、平面PQM，所以平面PQM，因?yàn)槠矫鍼QM，所以，即Q在AD的中垂線(xiàn)上，如圖建立空間直角建系，不妨取，則設(shè)P為，，，，所以，，，由（1）可知，計(jì)算得，，所以，又，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，取，所以．【解析】本題考查了線(xiàn)面垂直的判定和直線(xiàn)與平面所成角的向量求法，是中檔題．（1）先證明平面AEC，所以，又因?yàn)?，E為PB中點(diǎn)，所以，由線(xiàn)面垂直的判定即可得證；（1）建立空間直角建系，不妨取，得出平面PBC的法向量，利用空間向量求解即可．18．【答案】解：（1）因?yàn)?，由在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，所以，即，解得，．綜上，．（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇嬖跇O小值點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)，所以，即，，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，所以，所以，即，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，即在時(shí)單調(diào)遞增，所以，綜上得證．【解析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了已知切線(xiàn)（斜率、傾斜角）求參數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)極值點(diǎn)的概念是中檔題．（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及已知切線(xiàn)的斜率和傾斜角可得，解出即可求a，b的值；（2）易得，所以，所以，令，則，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再求出的最大值即可得證．19．【答案】解：（1）取上任意一點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)變換后得到上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由題意可知為：，變形后得，即，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入的方程得，，所以的方程為：．綜上的方程為：．（2）因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則也在上，所以為與的公共點(diǎn)，則也為與的公共點(diǎn)．所以不妨取，，則的解析式為：，的解析式為：，設(shè)上的動(dòng)點(diǎn)P為，則有，移項(xiàng)得（ⅰ）又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以（ⅱ），聯(lián)立，得，，所以H的坐標(biāo)為，聯(lián)立，得，，所以G的坐標(biāo)為，則．記直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON的夾角為，直線(xiàn)O