2024屆山西省運城市高三上學期摸底調(diào)研數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省運城市2024屆高三上學期摸底調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故選：B.2.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗，因此，故選：A3.已知兩條不同的直線，和平面滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則由，可得，充分性成立；反之，若，則由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要條件．故選：C．4.甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個單位任抽一個單位，然后從所抽到單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為：，故選：D.5.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗故選：A.

6.在數(shù)列中，如果存在非零的常數(shù)T，使得對于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，若，（且），當數(shù)列的周期為3時，則數(shù)列的前2024項的和為（）A.676 B.675 C.1350 D.1349〖答案〗C〖解析〗因為且，滿足所以，因為數(shù)列的周期為，可得，所以，所以，所以，同理可得，所以，，所以.故選：C.7.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗∵為圓上的點，，，∴是的中點，又是的中點，，且，又，，是圓的切線，，又，，故，離心率.

故選：D8.已知，，，則（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，設(shè)，可得恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在在上恒成立，所以，所以，設(shè)，可得，所以，所以設(shè)，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，即，所以.故選：B.二、多項選擇題9.已知函數(shù)的圖像為曲線C，下列說法正確的有（）A.，都有兩個極值點B.，都有零點C.，曲線C都有對稱中心D.，使得曲線C有對稱軸〖答案〗ABC〖解析〗A：，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，因此本選項正確；B：當時，，當時，，而函數(shù)是連續(xù)不斷的曲線，所以一定存在，使得，因此本選項正確；C：假設(shè)曲線C的對稱中心為，則有化簡，得，因為，所以有，因此給定一個實數(shù)，一定存在唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，因此假設(shè)成立，所以本選項說法正確；D：由上可知當時，，當時，，所以該函數(shù)不可能是關(guān)于直線對稱，因此本選項說法不正確，故選：ABC10.如圖，正方體的棱長為2，若點M在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐與三棱錐的體積之和為C.的周長的最小值為D.當點M是的中點時，CM與平面所成角最大〖答案〗ABD〖解析〗A：如下圖所示：因為是正方體，所以，而平面，平面，所以平面，同理由是正方體可得，同理可證明平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直線平面，因此本選項正確；B：如下圖所示：過作，交、于、，過作，交于，因為是正方形，所以可得，，因此本選項正確；C：將平面與平面展成同一平面，如下圖所示：當三點共線時，最小，作，交延長線于，則，，，所以的周長的最小值為，因此本選項不正確；D：當點M是的中點時，，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，CM與平面所成角為，因此本選項正確，故選：ABD11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不等實根、、、（），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗如圖，由函數(shù)的圖像可知，，A錯誤；當時，，當時，，故，B正確；，則，，所以令，則，原式，，顯然在時，，即y在上單調(diào)遞增，，，即，C正確；由圖像可知，，則，，所以，當且僅當，即時取得等號，D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且，，則（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.存在最小值〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)，則，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A選項，因為，所以，即，A正確；B選項，因為，所以，即，B正確；C選項，，則，令，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，C正確；D選項，由C選項可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故無最小值.故選：ABC.三、填空題13.已知向量，滿足：=，⊥，則=_______〖答案〗〖解析〗由⊥可得，故〖答案〗為：14.已知，則______________．〖答案〗24〖解析〗在中，令，得①，令，得②，令，得①②，得，故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，因此，，由，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，解得，由，得，而，即或，當時，，當時，，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：16.已知拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，圓M；，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為______________．〖答案〗12〖解析〗因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，所以拋物線方程為，如下圖，，因為，設(shè)，所以，所以，因為直線水平時顯然不合題意，故可設(shè)，因為直線所過定點在拋物線內(nèi)部，則直線必然與拋物線有兩交點，同樣與圓也有兩交點，聯(lián)立，，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為12.故〖答案〗為：12.四、解答題（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．（1）解：由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，且，，成等差數(shù)列，可得，則，即，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）可得，則，，兩式相減，可得所以.18.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．（1）求角A；（2）若，求周長的范圍．解：（1）選擇①：因為，由余弦定理可得，所以結(jié)合正弦定理可得．因為，則，所以，即，因為，所以；選擇②：因為，由正弦定理得，由余弦定理得．因為，所以；（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：∵,∴，,∴

,∵,∴,∴,∴．19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩?防護服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標值分成以下五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標值不低于130的為一級口罩.現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從樣本口罩中隨機抽取8個口罩，再從抽取的8個口罩中隨機抽取3個，記其中一級口罩的個數(shù)為，求的分布列及均值.（2）甲計劃在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加店的一個訂單“秒殺”搶購，乙計劃在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加店的一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單均由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在，兩店訂單“秒殺”成功的概率均為，記甲?乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量?口罩總數(shù)量分別為，.①求的分布列及均值；②求的均值取最大值時，正整數(shù)的值.解：（1）結(jié)合頻率分布直方圖，得用分層隨機抽樣抽取8個口罩，其中二級?一級口罩的個數(shù)分別為6，2，所以的可能取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012所以.（2）①由題意，知的可能取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012所以.因為，所以，當且僅當時取等號.所以取最大值時，的值為2.20.如圖，在四棱錐中，底面，，，，直線與平面所成的角為.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：作于點，于點，因為，，則，，所以，又，所以，由余弦定理可知，得到，所以，所以，又底面，面，所以，又，面，所以平面，又面,所以.（2）解：以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖坐標系因為平面，所以與平面所成的角就是所以，為等腰直角三角形，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則則由，得到，取，得，又易知，平面的一個法向量，，由圖知二面角為銳角所以二面角的余弦值為.21.已知函數(shù)．（1）當時，求證：；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（1）證明：時，，令，令，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴在上是增函數(shù)，∴，∴時，，∴；（2）解：∵對成立，∴對成立，令，則，令，則，∵，∴，∴，∴在上是減函數(shù)，∴，∴在上是減函數(shù)，∴，∴，∴，即．22.已知橢圓，離心率，且過點，（1）求橢圓方程；（2）以為直角頂點，邊與橢圓交于兩點，求面積的最大值．解：（1）由，，得，把點帶入橢圓方程可得，解得，所以，所以橢圓方程為：；（2）由題可知，不妨設(shè)的方程，則的方程為，由，得，所以，用代入，可得從而有，于是，令，有，當且僅當時，面積的最大值為．山西省運城市2024屆高三上學期摸底調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故選：B.2.若復數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗，因此，故選：A3.已知兩條不同的直線，和平面滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則由，可得，充分性成立；反之，若，則由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要條件．故選：C．4.甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個單位任抽一個單位，然后從所抽到單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為：，故選：D.5.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗故選：A.

6.在數(shù)列中，如果存在非零的常數(shù)T，使得對于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，若，（且），當數(shù)列的周期為3時，則數(shù)列的前2024項的和為（）A.676 B.675 C.1350 D.1349〖答案〗C〖解析〗因為且，滿足所以，因為數(shù)列的周期為，可得，所以，所以，所以，同理可得，所以，，所以.故選：C.7.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗∵為圓上的點，，，∴是的中點，又是的中點，，且，又，，是圓的切線，，又，，故，離心率.

故選：D8.已知，，，則（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，設(shè)，可得恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在在上恒成立，所以，所以，設(shè)，可得，所以，所以設(shè)，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，即，所以.故選：B.二、多項選擇題9.已知函數(shù)的圖像為曲線C，下列說法正確的有（）A.，都有兩個極值點B.，都有零點C.，曲線C都有對稱中心D.，使得曲線C有對稱軸〖答案〗ABC〖解析〗A：，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，因此本選項正確；B：當時，，當時，，而函數(shù)是連續(xù)不斷的曲線，所以一定存在，使得，因此本選項正確；C：假設(shè)曲線C的對稱中心為，則有化簡，得，因為，所以有，因此給定一個實數(shù)，一定存在唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，因此假設(shè)成立，所以本選項說法正確；D：由上可知當時，，當時，，所以該函數(shù)不可能是關(guān)于直線對稱，因此本選項說法不正確，故選：ABC10.如圖，正方體的棱長為2，若點M在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐與三棱錐的體積之和為C.的周長的最小值為D.當點M是的中點時，CM與平面所成角最大〖答案〗ABD〖解析〗A：如下圖所示：因為是正方體，所以，而平面，平面，所以平面，同理由是正方體可得，同理可證明平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直線平面，因此本選項正確；B：如下圖所示：過作，交、于、，過作，交于，因為是正方形，所以可得，，因此本選項正確；C：將平面與平面展成同一平面，如下圖所示：當三點共線時，最小，作，交延長線于，則，，，所以的周長的最小值為，因此本選項不正確；D：當點M是的中點時，，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，CM與平面所成角為，因此本選項正確，故選：ABD11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不等實根、、、（），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗如圖，由函數(shù)的圖像可知，，A錯誤；當時，，當時，，故，B正確；，則，，所以令，則，原式，，顯然在時，，即y在上單調(diào)遞增，，，即，C正確；由圖像可知，，則，，所以，當且僅當，即時取得等號，D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，且，，則（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.存在最小值〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)，則，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A選項，因為，所以，即，A正確；B選項，因為，所以，即，B正確；C選項，，則，令，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故恒成立，所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，C正確；D選項，由C選項可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故無最小值.故選：ABC.三、填空題13.已知向量，滿足：=，⊥，則=_______〖答案〗〖解析〗由⊥可得，故〖答案〗為：14.已知，則______________．〖答案〗24〖解析〗在中，令，得①，令，得②，令，得①②，得，故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，因此，，由，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，解得，由，得，而，即或，當時，，當時，，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：16.已知拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，圓M；，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為______________．〖答案〗12〖解析〗因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，所以拋物線方程為，如下圖，，因為，設(shè)，所以，所以，因為直線水平時顯然不合題意，故可設(shè)，因為直線所過定點在拋物線內(nèi)部，則直線必然與拋物線有兩交點，同樣與圓也有兩交點，聯(lián)立，，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為12.故〖答案〗為：12.四、解答題（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．（1）解：由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，且，，成等差數(shù)列，可得，則，即，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）可得，則，，兩式相減，可得所以.18.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．（1）求角A；（2）若，求周長的范圍．解：（1）選擇①：因為，由余弦定理可得，所以結(jié)合正弦定理可得．因為，則，所以，即，因為，所以；選擇②：因為，由正弦定理得，由余弦定理得．因為，所以；（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：∵,∴，,∴

,∵,∴,∴,∴．19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩?防護服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標值分成以下五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標值不低于130的為一級口罩.現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從樣本口罩中隨機抽取8個口罩，再從抽取的8個口罩中隨機抽取3個，記其中一級口罩的個數(shù)為，求的分布列及均值.（2）甲計劃在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加店的一個訂單“秒殺”搶購，乙計劃在該型號口