2024屆廣東省湛江市高三上學期摸底聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2024屆高三上學期摸底聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，又，所以．故選：C．2.若，則的虛部與實部之比為（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，，故，即．故選：B．3.已知平面單位向量滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可知，兩邊同時平方得，所以．故選：D．4.漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧．在平面直角坐標系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A. B.或1 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗易知關于軸的對稱點為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，將圓化簡后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點，因此圓心與切點連線與反射光線垂直，設反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．5.設為公比為的等比數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.2 C.或 D.或2〖答案〗D〖解析〗由題意得：，因為，所以，所以，解得或．故選：D.6.下圖為某工廠內一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱組成的，其中為圓臺下底面圓心，分別為圓柱上下底面的圓心，經(jīng)實驗測量得到圓柱上下底面圓的半徑為，，，圓臺下底面圓半徑為，則該組合體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圓柱的上底面面積為；圓柱的側面面積為；圓臺的下底面面積為；圓臺的母線長為，所以圓臺的側面面積為，則該組合體的表面積為．故選:B．7.已知RL串聯(lián)電路短接時，電流隨時間的變化關系式為，電路的時間常數(shù)，當由減小到時，相應的時間間隔稱為半衰期．若某RL串聯(lián)電路電流從減少到的時間間隔為，則該電路的時間常數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設半衰期為，依題意，兩邊取對數(shù)得，由得，即，所以，解得．故選：C．8.已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，右焦點為，點在的右支上，且滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由題意得，，則，，由雙曲線的對稱性，不妨設點在第一象限，當時，，得，則，即，所以，，，在中，由余弦定理得，因為為銳角，所以，所以，故選：A二、選擇題9.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則（）A.新樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)B.新樣本數(shù)據(jù)的標準差不大于原樣本數(shù)據(jù)的標準差C.新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差D.新樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)不小于原樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)〖答案〗BC〖解析〗選項A：原樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)，新樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)，因為，所以與大小無法判斷，故A錯誤；選項B：，因為，所以，即新樣本數(shù)據(jù)的標準差不大于原樣本數(shù)據(jù)的標準差，故B正確；選項C：新樣本數(shù)據(jù)的極差為，故C正確；選項D：設原樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，故新樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，其中與大小無法判斷，故D錯誤；故選：BC10.若隨機變量，的密度函數(shù)為，則（）A.的密度曲線與軸只有一個交點B.的密度曲線關于對稱CD.若，則〖答案〗ACD〖解析〗若，其密度函數(shù)，因此的密度曲線與軸只有一個交點，故A正確；的密度曲線關于直線對稱，故B錯誤；，故C正確；，故D正確；故選：ACD11.已知函數(shù)任一對稱軸與其相鄰的零點之間的距離為，若將曲線的圖象向左平移個單位得到的圖象關于軸對稱，則（）A.B.直線為曲線的一條對稱軸C.若在單調遞增，則D.曲線與直線有5個交點〖答案〗ABD〖解析〗由題意，故，又的圖象向左平移個單位得到，所以，且，故，A正確；因為，且為最小值，所以直線為曲線的一條對稱軸，B對；令,故易知在單調遞增，故，C錯；直線與曲線均過點，且該直線與曲線均關于該點中心對稱，當時，，當時，，由對稱性可知曲線與直線有5個交點，故D對．故選：ABD．12.已知正方體的各頂點均在表面積為的球面上，為該球面上一動點，則（）A.存在無數(shù)個點，使得平面B.當平面平面時，點的軌跡長度為C.當平面時，點的軌跡長度為D.存在無數(shù)個點，使得平面平面〖答案〗ACD〖解析〗因為該球的表面積為，故半徑，且正方體的棱長滿足，故棱長為2，選項A：由題意可知平面平面，且平面，故平面，則的軌跡為正方形的外接圓，故有無數(shù)個點滿足，A正確；選項B：易知平面，且平面平面，平面，故的軌跡為矩形的外接圓，其周長為，故B錯誤；選項C：因為平面，設過且與平面平行的平面為，則的軌跡為與外接球的交線，其半徑為，周長為，故C正確；選項D：若平面平面，則點在以為軸截面的某個圓柱面上，該圓柱面與球面交線為曲線，故有無數(shù)個點滿足，故D正確；故選：ACD.三、填空題13.已知，若，則______________．〖答案〗〖解析〗因為，且，所以，故（舍），由，解得．故〖答案〗為：．14.某學校準備舉辦一場運動會，其中運動會開幕式安排了3個歌舞類和3個語言類節(jié)目，所有節(jié)目依次出場，則恰有兩個語言類節(jié)目相鄰的概率為______________．〖答案〗〖解析〗節(jié)目出場順序總數(shù)為，兩個語言類節(jié)目相鄰：，所以恰有兩個語言類節(jié)目相鄰的概率為．故〖答案〗為:．15.設函數(shù)在單調遞增，則的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗由復合函數(shù)單調性“同增異減”原則，函數(shù)在上單調遞增，且在上恒成立，已知二次函數(shù)的對稱軸為，所以，解得．故〖答案〗為：．16.已知橢圓的兩個焦點為．點為上關于坐標原點對稱的兩點，且，的面積，則的離心率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗連接，由題意得，，又，所以四邊形為矩形，故，所以，故，又，由勾股定理得，即，，故，即，故，解得，又上存在關于坐標原點對稱的兩點，使得，故，所以，即，所以，，解得，綜上，的離心率的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題17.記的內角的對邊分別為，的面積為．（1）求；（2）若，，為邊的中點，求．解：（1）由題意，所以，因為，所以．（2）由余弦定理得，又，所以．因為為邊的中點，所以，所以，則．18.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．（1）求；（2）證明：只有一個極值點．（1）解：的定義域為，因為，所以；所以，將代入，故，則．（2）證明：，設，則，令，故或，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，又，故只存在唯一使得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以只有一個極值點．19.已知數(shù)列的前項和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）若，證明：．證明：（1）因為，所以，作差得①，同理②，②-①得，所以為等差數(shù)列．（2）令，則，解得，設的公差為，故，所以，解得，，所以．20.如圖，在矩形中，是線段上的一點．將沿翻折到位置，且點不在平面內．（1）若平面平面，證明：；（2）設為的中點，當平面平面時，求此時二面角的余弦值．（1）證明：因面面，且面面平面，所以平面，平面，所以，又，所以．（2）解：設的中點為，連接，則，過作直線垂直于平面，如圖所示，以為坐標原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，易知，，設二面角為，則，則，，，設面的法向量為，則，令，解得，即，設面的法向量，則，令，解得，即，因為平面平面，所以，解得，則二面角余弦值為．21.已知有甲，乙兩個不透明盒子，甲盒子裝有兩個紅球和一個綠球，乙盒子裝有三個綠球，這些球的大小，形狀，質地完全相同．在一次球交換的過程中，甲盒子與乙盒子中各隨機選擇一個球進行交換，重復次該過程，記甲盒中裝有的紅球個數(shù)為．（1）求的概率分布列；（2）求．（1）解：由題意得，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，可得，，，或，所以隨機變量的分布列為012（2）解：由題意，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，且，又由，由，且，即，故，即，即為等比數(shù)列，且，所以．22.已知三個頂點均在拋物線上，為直角頂點，且．（1）記點，直線的斜率，試求面積的〖解析〗式；（2）當時，求函數(shù)的最小值．解：（1）由題意可得為斜邊，為直角頂點，設，聯(lián)立,則所以，，同理，則，則（2），是奇函數(shù)，則求的最小值等價于求的最小值．，當且僅當時取等號．綜上，當且僅當時，．廣東省湛江市2024屆高三上學期摸底聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題1.設集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，又，所以．故選：C．2.若，則的虛部與實部之比為（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，，故，即．故選：B．3.已知平面單位向量滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可知，兩邊同時平方得，所以．故選：D．4.漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧．在平面直角坐標系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A. B.或1 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗易知關于軸的對稱點為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，將圓化簡后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點，因此圓心與切點連線與反射光線垂直，設反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．5.設為公比為的等比數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.2 C.或 D.或2〖答案〗D〖解析〗由題意得：，因為，所以，所以，解得或．故選：D.6.下圖為某工廠內一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱組成的，其中為圓臺下底面圓心，分別為圓柱上下底面的圓心，經(jīng)實驗測量得到圓柱上下底面圓的半徑為，，，圓臺下底面圓半徑為，則該組合體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圓柱的上底面面積為；圓柱的側面面積為；圓臺的下底面面積為；圓臺的母線長為，所以圓臺的側面面積為，則該組合體的表面積為．故選:B．7.已知RL串聯(lián)電路短接時，電流隨時間的變化關系式為，電路的時間常數(shù)，當由減小到時，相應的時間間隔稱為半衰期．若某RL串聯(lián)電路電流從減少到的時間間隔為，則該電路的時間常數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設半衰期為，依題意，兩邊取對數(shù)得，由得，即，所以，解得．故選：C．8.已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，右焦點為，點在的右支上，且滿足，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由題意得，，則，，由雙曲線的對稱性，不妨設點在第一象限，當時，，得，則，即，所以，，，在中，由余弦定理得，因為為銳角，所以，所以，故選：A二、選擇題9.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則（）A.新樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)B.新樣本數(shù)據(jù)的標準差不大于原樣本數(shù)據(jù)的標準差C.新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差D.新樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)不小于原樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)〖答案〗BC〖解析〗選項A：原樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)，新樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)，因為，所以與大小無法判斷，故A錯誤；選項B：，因為，所以，即新樣本數(shù)據(jù)的標準差不大于原樣本數(shù)據(jù)的標準差，故B正確；選項C：新樣本數(shù)據(jù)的極差為，故C正確；選項D：設原樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，故新樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，其中與大小無法判斷，故D錯誤；故選：BC10.若隨機變量，的密度函數(shù)為，則（）A.的密度曲線與軸只有一個交點B.的密度曲線關于對稱CD.若，則〖答案〗ACD〖解析〗若，其密度函數(shù)，因此的密度曲線與軸只有一個交點，故A正確；的密度曲線關于直線對稱，故B錯誤；，故C正確；，故D正確；故選：ACD11.已知函數(shù)任一對稱軸與其相鄰的零點之間的距離為，若將曲線的圖象向左平移個單位得到的圖象關于軸對稱，則（）A.B.直線為曲線的一條對稱軸C.若在單調遞增，則D.曲線與直線有5個交點〖答案〗ABD〖解析〗由題意，故，又的圖象向左平移個單位得到，所以，且，故，A正確；因為，且為最小值，所以直線為曲線的一條對稱軸，B對；令,故易知在單調遞增，故，C錯；直線與曲線均過點，且該直線與曲線均關于該點中心對稱，當時，，當時，，由對稱性可知曲線與直線有5個交點，故D對．故選：ABD．12.已知正方體的各頂點均在表面積為的球面上，為該球面上一動點，則（）A.存在無數(shù)個點，使得平面B.當平面平面時，點的軌跡長度為C.當平面時，點的軌跡長度為D.存在無數(shù)個點，使得平面平面〖答案〗ACD〖解析〗因為該球的表面積為，故半徑，且正方體的棱長滿足，故棱長為2，選項A：由題意可知平面平面，且平面，故平面，則的軌跡為正方形的外接圓，故有無數(shù)個點滿足，A正確；選項B：易知平面，且平面平面，平面，故的軌跡為矩形的外接圓，其周長為，故B錯誤；選項C：因為平面，設過且與平面平行的平面為，則的軌跡為與外接球的交線，其半徑為，周長為，故C正確；選項D：若平面平面，則點在以為軸截面的某個圓柱面上，該圓柱面與球面交線為曲線，故有無數(shù)個點滿足，故D正確；故選：ACD.三、填空題13.已知，若，則______________．〖答案〗〖解析〗因為，且，所以，故（舍），由，解得．故〖答案〗為：．14.某學校準備舉辦一場運動會，其中運動會開幕式安排了3個歌舞類和3個語言類節(jié)目，所有節(jié)目依次出場，則恰有兩個語言類節(jié)目相鄰的概率為______________．〖答案〗〖解析〗節(jié)目出場順序總數(shù)為，兩個語言類節(jié)目相鄰：，所以恰有兩個語言類節(jié)目相鄰的概率為．故〖答案〗為:．15.設函數(shù)在單調遞增，則的取值范圍為______________．〖答案〗〖解析〗由復合函數(shù)單調性“同增異減”原則，函數(shù)在上單調遞增，且在上恒成立，已知二次函數(shù)的對稱軸為，所以，解得．故〖答案〗為：．16.已知橢圓的兩個焦點為．點為上關于坐標原點對稱的兩點，且，的面積，則的離心率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗連接，由題意得，，又，所以四邊形為矩形，故，所以，故，又，由勾股定理得，即，，故，即，故，解得，又上存在關于坐標原點對稱的兩點，使得，故，所以，即，所以，，解得，綜上，的離心率的取值范圍是.故〖答案〗為：四、解答題17.記的內角的對邊分別為，的面積為．（1）求；（2）若，，為邊的中點，求．解：（1）由題意，所以，因為，所以．（2）由余弦定理得，又，所以．因為為邊的中點，所以，所以，則．18.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．（1）求；（2）證明：只有一個極值點．（1）解：的定義域為，因為，所以；所以，將代入，故，則．（2）證明：，設，則，令，故或，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，又，故只存在唯一使得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以只有一個極值點