新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 重點題分類

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)定義及導(dǎo)數(shù)的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用..............................................1

2.切線......................................................................18

3.導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值討論求參.................................................36

4.原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)混合還原構(gòu)造................................................61

5.導(dǎo)數(shù)不等式證明與求參.....................................................84

1.導(dǎo)數(shù)定義及導(dǎo)數(shù)的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)定義：極限基礎(chǔ)型

【典例分析】

已知函數(shù)/(x)=Y+l,則lim“2+/U)-〃2)=()

30Ax

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式進(jìn)行求解.

【詳解】由題意lim〃2+/二"2)=/⑵，

Ax

因為/(尤)=爐+1,所以尸(x)=2x,即/⑵=4；

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)的定義域為R，若lim，0+△：)—/⑴=1,則/11)=()

…。2A%

A.1B.2C.gD.4

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得尸(1)的值.

【詳解】解：因為lim，"△:?⑴=1,所以Llim小孕二^D=l,由導(dǎo)數(shù)的定義可

得;廣⑴=1，所以/'⑴=2.

2.已知函數(shù)〃x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為_2,則然/宙+?一〃/)等于()

A.12B.-1C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可判斷.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知】im。+'）一/（/）=r（x）=-2.

"XV0

20k

3.已知函數(shù)/（x）在x=%處的導(dǎo)數(shù)為2,則lim/（/+—）一/（而）=（）

AX

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即得.

【詳解】???函數(shù)/（X）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為2,

/（%+-）-/（%）

??11111---------------------------------------------------N.

-Ax

2.導(dǎo)數(shù)定義計算：極限倍系數(shù)型

【典例分析】

若]而小土吧上9=1為常數(shù)），則（（%）等于（）

A.一加B.1C.mD.—

m

滬教版（2020）選修第二冊單元訓(xùn)練第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試（B卷）

【答案】D

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，直接計算，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，

i仆必

im5）=w.limL=],

-Ax加一。mAx

所以r（/）=L

m

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)“X）的導(dǎo)數(shù)廣（X）存在，且『'（1）=2,貝him空學(xué)4D=（）

At->o-2Ax

A.JB.——C.1D.-1

【答案】D

【分析】本題根據(jù)7?'(x0)=lim4%+—)-/(*整理計算.

【詳解】lim

AsO-2Ax

2.設(shè)段)是可導(dǎo)函數(shù)，且lim，"-"I/⑴=2,則/(1)=()

At-Ax

A.2B.--C.-1D.-2

3

【答案】B

【分析】由已知及導(dǎo)數(shù)的定義求尸(1)即可.

【詳解】由題設(shè)，r(l)=lim，⑴二4一3例=二.

Zo3Ax3

3.已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且/⑴=3,則lim/(1+&)_/(1)=()

-3Ax

A.—1B.3C.-D.I

3

【答案】D

【分析1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可計算.

川+3-〃1)

【詳解】由題意可得lim川+心)-/⑴=-lim=1ro)=i-

山->03Ar3AA->0Ax

3.導(dǎo)數(shù)定義計算：切割交換位置型

【典例分析】

已知函數(shù)/(X)在七處的導(dǎo)數(shù)為了'(%),則1加/(")一〃.一'”>)等于()

AXTO八丫

A.，礦(%)B.一時'(x())C.-'r(xo)D.

tnm

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出.

lim心匕?吧Lmli號一曲)，㈤二mf'ixA

【詳解】m

&JOAx以->°(x0-wAr)-x0

【變式訓(xùn)練】

1設(shè)）（X）存在導(dǎo)函數(shù)且滿足則/⑴二《：一2"）=-1,則曲線y=f（X）上的點（1J（1））處的

切線的斜率為（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義即可求解.

/(l)-(l2^)_

【詳解】解：因為/（x）存在導(dǎo)函數(shù)且滿足更5,=iimZ2=1

2ArAiOl-(l-2Ax)

所以/'⑴=T,即曲線y=〃x）上的點（1,/（1））處的切線的斜率為-1,

2.設(shè)函數(shù)y=/（x）在R上可導(dǎo)，則lim/（0）二〃竺）=（）

&TOAX

A.f'（o）B.-r（0）C.f\x）D.以上都不對

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可得結(jié)果.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知lim/⑼-"㈤=-lim"㈤-"。）=_r（o）.

心->oAx右―AX

3.設(shè)/（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且lim2Ax）=2,則/'（%）=（）

Av^OAX

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義求得正確答案.

［詳解】lim/（/）-7（%—2Ax）=2xhm八%）二/（2-2Ar）=?,

Ax-i2AX

所以ruo)=Iim八%)一/(%-2&)=]

4To2Ax

4.導(dǎo)數(shù)定義計算：雙割點逼近型

【典例分析】

設(shè)在x=x°處可導(dǎo)，貝him/(/+-)_/(/_.)=().

52〃

A.2/(%)B.

c.f'MD.4/'(x0)

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：??"(X)在/處可導(dǎo)，

〃/+/?)-/(與一公=廣西)

lim

/?->02h

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)〃X)在x=x0處可導(dǎo)，若1加"/+2_)-/優(yōu)_.)=2,則尸優(yōu))=()

-Ax

12

A.1B.-C.3D.4

33

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義分析即可.

【詳解】由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有

../(x+2Ax)-/(x-Ax)_/(x+2Ax)-/(x)+/(x)-/(x-Ax)

nm00-urnflu00

-Ax-AJV

/(x?+2Ar)-/(x?)=，'■)所以/'1)=*

乙muIuni

2202Ax—20-AX=25

2.若函數(shù)y=/(x)在x=x°處可導(dǎo)，則lim等于()

A.f\xo)B.2f\xo)C.-2f'(xo)D.0

【答案】B

[分析]轉(zhuǎn)化為lim“％+))一,㈤+lim"x。--〃x。),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得解.

方->0h-/i—>o—h

【詳解】iim/(xo+A)-/(xo-A)*仆〃)一/伉)+/小)一仆/?)

力->。h/i->oh

=limf(題+“)—〃/)+/(/)—/&-〃)=lim"/+')—/[)+lim，(--“)一"與)

/?—>0pi〃T0%-h—>0—/?

=lim"%+八)一/(%)+1加/仇+心)一〃%)=21[)

As。AXAJ°AX

3.已知函數(shù)〃x)在x=x。處可導(dǎo)，若lim.優(yōu)+—/-,則/'(%)=()

△XTO△%

A.1B.-C.3D.—

34

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用lim『(xo+SaxLHxLax)二八),即可求出結(jié)論.

△ATO4AX

［詳解］lim/您+34力_/(/一入0

△10△%

=4期/優(yōu)+3笥7(/3)="，(％)=1/(%)=i.

△XTO4AX4

5.導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用：切割線斜率型

【典例分析】

已知函數(shù)/（X）的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（）

A.0<r（2）</（3）</（3）-/（2）

B.0<〃3）-/⑵〈4⑵</"）

c.o<r（3）<r（2）</（3）-/（2）

D.0<r（3）</（3）-/（2）</（2）

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的斜率公式，結(jié)合圖象得出答案.

【詳解】/'⑵和/（3）分別表示函數(shù)f（x）在x=2和x=3處的切線斜率，結(jié)合圖象可得

0</⑶</⑵，而〃3）-/（2）="匕n9,表示過x=2和x=3兩點的直線斜率，則

3—2

0<r（3）</（3）-/（2）</（2）

【變式訓(xùn)練】

1.函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，r(x)是函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()

A.2/((4)<2/((2)</(4)-/(2)

B.2/(2)</(4)-/(2)<2/-(4)

C.2/,(2)<2r(4)</(4)-/(2)

D.〃4)_〃2)<2/(4)<2/⑵

【答案】B

【分析】由導(dǎo)數(shù)的兒何意義判斷

【詳解】由圖象可知/(X)在(0,田)上單調(diào)遞增

故r(2)<"之⑷<-(4),即2r(2)</(4)-〃2)<2/(4)

2..曲線y=f(x)在尸-1處的切線如圖所示，則/(T)-/(-l)=()

A.0B.-1C.1D.--

2

【答案】A

【分析】結(jié)合切線求出斜率尸(T)和切線方程，即可求得切點，進(jìn)而求出即可求解

-2-0

【詳解，由圖可知，/(T)二西百=一1，又切線過(。，-2),故切線方程為：y=-%-2,

當(dāng)x=-l時,/(-1)=-(-1)-2=-1,故/(T)_f(T)=0

3.己知y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y=Ax+2是曲線y=*x)在x=3處的切線，令奴工)=猶%),

g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則/(3)=()

C.2D.4

【答案】B

［分析］由圖可知，八3)=I,曲線尸危)在x=3處切線的斜率等于-g，從而可得/⑶=，

然后對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，進(jìn)而可求得戈(3)的值

【詳解】由題圖可知曲線y=/(x)在x=3處切線的斜率等于-g,

/⑶=-：,

■.*g(x)=xf(x),

g(x)=/(x)+V'(x)，

???g(3)=八3)+37⑶，

又由題圖可知/(3)=1,所以g⑶=l+3x(-；)=0.

6.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)計算

【典例分析】

下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.fsin=cosjB.Ix2cos=2xsin3x+3x2sin3x

、，1

C.(ztanx)=——D.[m(2x+l)]'=七

sinx

【答案】D

【分析】利用基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運算法則可判斷各選項的正誤.

【詳解】對于A選項，［n1)=0,A錯；

對T"B選項，(fcos3x)=2xcos3x-3fsin3x,B錯;

對于c選項，(tanx)，/*'=Cn"<,c錯;

ICOSXJCOS-XCOS-X

對于D選項，[~ln(2x+l)~|=2,D對.

L2x+l

【變式訓(xùn)練】

1.下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是()

L~1，2I

A.[ln(2x+l)]=2+]B.(3尸")=e5x-4

D?sinl2x+yI=-2cos[2x+1

【答案】AC

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷各選項的正誤.

【詳解】[g+l)]'=高，『)最51,(gj4看心.『=看,

(2嗚[]=2cos(2x+()

sin

2.己知y=ln[^

,則y'=

【答案T

【分析】化簡可得y=g[ln(x+l)-ln(x-l)],然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式即可得出答案.

【詳解】因為y=inj注=lnlnX+1g[ln(x+l)-In(x-l)],

4x-1

2

所以yf察-3*=舟2(x7)X-1'

3.已知函數(shù)/(x)=ln(2x+l),則/(0)=.

【答案】2

【分析】由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)后，可計算導(dǎo)數(shù)值.

2

【詳解】由題意=所以r(0)=2.

2x+l

7.含導(dǎo)數(shù)值式子求導(dǎo)計算

【典例分析】

已知函數(shù)/(X)=/'(o)In(2x+1)-2x+cosx,則7(0)=.

【答案】2

【分析】求出了'(x),令x=0,即可解出.

2

【詳解】因為/l(xhKOUnQx+D-Zr+cosx,所以尸(x)=/"(0)xy^j-2-sinx,令x=0,

/⑼=〃0)x2—2,解得：/'(O)=2.

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)〃x)=sin2x+r(0)co&r-l,則〃0)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求得f(x),通過賦值求得八0),再求了⑼即可.

【詳解】因為/(x)=sin2x+/'(0)cosx-l,

故可得/'(X)=2cos2x-/'(0)sinx,

令x=0,則/'(0)=2,故/(x)=sin2x+2cosw-1,

則/⑼=1.

2.若/(x)在R上可導(dǎo)，f(x)=3x2-5f\2)x-2,則/"'(2)=()

A.1B.—1C.—2D.2

【答案】D

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，再代值計算即可.

【詳解】解:由/(x)=3x2—5((2)x—2,可得f(x)=6x—5/(2),

所以〃2)=6x2-5/，⑵,解得"2)=2.

3.若“X)在H上可導(dǎo)，3_f(l)In4x—2,則/'(；)=()

A.—B.——C.1D.-1

22

【答案】B

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)可得:(犬)=2工-“生.代入x=l,首先求得尸(1)=；,再代入x

X4

即可得解.

【詳解】由/（x）=x2—3/'（l）ln4x—2,求導(dǎo)得/（耳=,令x=l,得

廣⑴=2-3"1）,解得/⑴=；,所以1（x）=2x-2,所以/]1=-*

8.抽象型復(fù)合函數(shù)計算

【典例分析】

已知/（X）是定義在R上的函數(shù)，且函數(shù)y=/（2x+l）的圖象關(guān)于直線X=1對稱，當(dāng)時，

/（x）=ln（l-2x）,則曲線y=/（x）在x=6處的切線方程是（）

A.J=2xln3-121n3B.y=-x+6

C.y=2x—\2D.y——2x+12

【答案】c

【分析】根據(jù)題目所給的對稱性得到〃2X+3）=/（3-2X）,進(jìn)一步得到"X）=/（6-X）,再

求出*>￡時的解析式，再求導(dǎo)代入即可.

【詳解】因為函數(shù)y=〃2x+l）的圖象關(guān)于宜線x=l對稱，

所以/（2（l+x）+l）=/（2（l—x）+l）,HP/（2x+3）=/（3-2x）.

用x代換上式中的2x,即可得到〃x+3）=/（3-x）,所以〃x）關(guān)于直線x=3對稱.

由/（x+3）=〃3-x）得〃x）=〃6-x）,若x>*則二當(dāng)x>￡時，

/（x）=/（6-x）=ln（l-2（6-x））=ln（2x-ll）,/（6）=0,f'（）=-±-,/（6）=2,所以

x2.x-\\

曲線y=f（x）在x=6處的切線方程是:y-0=2（x-6）,即y=2x-12.

【變式訓(xùn)練】

1.己知函數(shù)/（x）在R上可導(dǎo)，函數(shù)/（%）=/卜2-4）+/（4-*2）,則/，⑵等于（）

A.-1B.0C.ID.2

【答案】B

【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則運算即可.

【詳解】?.?網(wǎng)力=/任-4）+/（4-巧，.?.3（力=2礦廿一4）-2與（4一巧,

.??尸[2）=47（0）-47（0）=0.

2.已知定義在H上的函數(shù)/(x)滿足：/(1+x)=/(l-x),K/(2+x)=-/(2-x),尸(x)是

〃力的導(dǎo)數(shù),則()

A./'(X)是奇函數(shù)，且是周期函數(shù)B.尸(x)是偶函數(shù)，且是周期函數(shù)

C.尸(x)是奇函數(shù)，且不是周期函數(shù)D./'(X)是偶函數(shù)，且不是周期函數(shù)

【答案】B

［分析］根據(jù)題意，對/(l+x)=/(I-X)和/(2+A-)=-/(2-X)變形分析可得：f(x+4)=/(x)

以及〃-x)=-4X),由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算公式分析可得答案.

【詳解】解:根據(jù)題意,定義在R匕的函數(shù)fM滿足/(I+x)=/(I-x),則有/(-x)=/(2+x),

又由"2+x)=-/(2-x),則/(-*)=-/(4+x),

則有"X+4)=-f{x+2),即/(x+2)=-/(x),

變形可得：/(x+4)=-/(x+2)=/(x),故/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

則r(x+4)=f/(x+4)T=/(x),故f\x)是周期函數(shù)，

又由f(T)=/(2+X)=—“X),即W(T),

故/(―x)=—卜(-x)T=/(x),即八口是偶函數(shù)，

3.設(shè)定義在R上的函數(shù)“X)與g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為f\x)與g'(x),若〃x+3)=g(-x)+2,

尸(x-l)=g，(x),且g(-x+l)=-g(x+l),則()

A.g(l)=lB.g'(x)的圖像關(guān)于點(2,0)對稱

C.g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱D.g(x)的周期為4

【答案】BCD

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性及周期性的條件判斷即可.

【詳解】解：?」g(—x+D=-g(x+l)，令x=0,得g⑴=0,故A錯誤；

.r(x-l)=g〈x),r(x)=g，(x+l),f(x)=g(x+l)+a,V/(x+3)=g(-x)+2,

??J(x)=g(3-x)+2,

g(x+l)+a=g(3-x)+2,令x=l,得a=2,，g(x+l)=g(3-x),，g(x)關(guān)于直線x=2

對稱，

.?.g'(x+l)=-g'(3-x),函數(shù)g'(x)的圖像關(guān)于點(2,0)對稱，故B、C正確；

g(-x+l)=-g(x+l),:.g(x)=-g(2-x),g(x+\)=g(3-x),;.g(x)=g(4-x),

，g(4-x)=-g(2-x),即g(2+x)=-g(x),.,.g(4+x)=-g(2+x)=g(x),

，g(x)的周期T=4,故D正確.

9.導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、對稱性等)

【典例分析】

已知“X)及其導(dǎo)函數(shù)尸(X)的定義域均為R,若〃1-2力為奇函數(shù)，〃2x-l)為偶函數(shù).設(shè)

8

/'(0)=1,則Z/'(2k)=

k=l

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)f(l-2x)為奇函數(shù)，得至=(1+x)=-"1),兩邊同時求導(dǎo)得到了'(X)的圖象

關(guān)于直線x=l對稱，同理由/(2x-l)為偶函數(shù)，得到函數(shù)((x)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，

兩者聯(lián)立得到尸(x)為周期函數(shù)，且周期為8求解.

【詳解】解：因為/(I—2力為奇函數(shù)，所以〃1+2力=一/(1一2可，即〃l+x)=-/(l-x),

兩邊同時求導(dǎo)，貝U有/''(l+x)=r(l—x),所以尸(可的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

因為〃2x—1)為偶函數(shù)，所以〃—2x-l)=/(2x—1),即/(_l_x)=〃T+x),

兩邊同時求導(dǎo)，則有-l-x)=/'(-l+x),所以函數(shù)((x)的圖象關(guān)于點(TO)對稱.

所以，f\x)=f'(2-x)=-f'(x-4),尸(x+8)-)=1(x),

所以，函數(shù)尸(x)為周期函數(shù)，且周期為8,

則有尸(0)=/'(2)=/'(8)=((10)=尸(16)=1,((4)=((6)=((12)=1(14)=一1,

8

所以Zr(2A)=r⑵+/(4)++廣(12)+尸(14)+1(16)=0.

k=l

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)((X)的定義域均為R,且〃5x+2)是偶函數(shù)，記g(x)=r(x),

g(x+l)也是偶函數(shù)，則廣(2022)的值為()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)/(5x+2)是偶函數(shù)，可得”-5x+2)=/(5x+2)，求導(dǎo)推得g(x)=-g(-x+4),

從而求得g(2)=0,再根據(jù)g(x+l)為偶函數(shù)，可推得g(x+4)=g(x),即4是函數(shù)g(x)的一

個周期，由此可求得答案.

【詳解】因為/(5x+2)是偶函數(shù),所以/(_5x+2)=f(5x+2),

兩邊求導(dǎo)得一5/'(-5X+2)=5/'(5X+2),即一f(—5x+2)=/'(5x+2),

所以g(5x+2)=-g(—5x+2),即g(x)=-g(—x+4),

令x=2可得g(2)=-g⑵，即g(2)=0,

因為g(x+l)為偶函數(shù)，

所以g(x+l)=g(-x+l),即g(x)=g(-x+2),

所以-g(—x+4)=g(—x+2),即g(x)=-g(x+2),

；.g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以4是函數(shù)g(x)的一個周期，

所以尸(2022)=5(2022)=g(505x4+2)=g(2)=0,

2.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域都為R,且-2x)為偶函數(shù)，f(x+2)為奇函

數(shù)，則()

A./(1)=0B.(⑵=0

C.廣(2022)+“2021)=0D./(2022)+/,(2021)=0

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，推出函數(shù)f(x)與導(dǎo)函數(shù)尸(x)的周期性，利用周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化

求解即可.

【詳解】解：由〃1一2刈為偶函數(shù)知，/(l-2x)=/(l+2x),即"1—x)=/(l+x),

即函數(shù)f(x)關(guān)于x=l對稱，則/(x)=/(2-x),

由/(x+2)是奇函數(shù)知，/(x+2)=-f(r+2),即函數(shù)f(x)關(guān)于點(2,0)對稱，

則/(x)=-/(4-x),且"2)=0,

所以〃2-司=一〃4一力，BP/(x)=/(x+4),即函數(shù)f(x)的周期是4,

則/(2022)="2+505x4)=/(2)=0；

又-2x)="1+2x)=[41-2力]'=[〃1+2%)],

所以-27(1-2力=2f(l+2x),則-r(1-2司=((l+2x),即-尸(1—x)=/'(1+x)

所以r(x)=-r(2—x),即導(dǎo)函數(shù)/,a)關(guān)于點。,0)對稱，且/'(i)=o.

由/(x)=/(x+4)=r(x)=/'(x+4),即導(dǎo)函數(shù)r(x)的周期是4,

則廣(2021)=/(1+505*4)=/(1)=0；

所以「(2021)+/(2022)=0.

3.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù).若/'⑴=一2,則曲線y=/(x)

在點(-9,"-9))處的切線方程為()

A.2x-y+14=0B.2x+y+14=0

C.2x+y+18=0D.2x-y+\8=0

【答案】D

【分析】由題可得函數(shù)/(X)的周期為4,可求7■(—9)=0,利用/。+2)=-/(一幻=一/(幻可

得/'(x+2)=/'(-幻=—/'(*),可求/'(-9)=2,即得切線方程.

【詳解】???函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù)，

/./(-x)=f(x),—/(X+1)=f(-x+1),f(x+2)=-/(-x)=-/(x),

/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

.??函數(shù)FOO的周期為4,

令4一1可得/(I)=-/(-I)=-/(I)即/(I)=/(-1)=0/(-9)=/(-I)=/(I)=0,

由f(x+2)=-f(-x)=-/(x)得/'(X+2)=f'(-x)=-f\x),

/'(x+4)=f\x),又((1)=一2r(-9)=r(-i)=-/口)=2,

曲線y="x)在點(一9,/(一9))處的切線方程為y—0=2(x+9)即2x-y+18=0.故選：D.

10.對稱型求導(dǎo)數(shù)值(中心與軸對稱)

【典例分析】

已知函數(shù)/(X)=2(島］+/⑶+sinx(xeR),則/(2021)+/(-2021)+-(2021)-/'(-2021)=

()

A.0B.2C.2021D.2022

【答案】B

【分析】求/'(X)可得廣(x)為偶函數(shù)，可得/'(2021)-廣(-2021)=0,計算f(x)+/(-x)可得

定值，即可求解.

c，(、-2x2021*xIn20212()2()

【詳解】因為/(力=―(2021，+1『—+2°21L+cosx,

—2x202fin2021

+2021(-X)2020+COS(-X)

(202rv+i)2

-2xln2021

x

202l、2(PO/、一2x2021*xIn2021.2020\

=/、2+202l(-x)+cos(-x)=---------------------——+202lx2020+cosx=/7x)p

(202T+1Y(2021,+1)一

12021V,

-(-x)=r(x),所以「(X)是偶函數(shù)，所以f‘(x)—r(T)=o,又因為

/(%)+f(-x)=---+%202'+sinx+——-——+(-%)2021+sin(-x)

2021,+1202L+1

=---+=2,所以/(2021)+/(-2021)+/(2021)-f\-2Q21)=2+0=2.

202U+12021'+1

【變式訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)"x)=(x+"+：nx,其導(dǎo)函數(shù)記為尸(X),則

〃389)+r(389)+〃—389)—/'(—389)=()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】函數(shù)〃x)=l+號*，分析其性質(zhì)可求〃389)+f(-389)的值，再求尸(x)并

討論其性質(zhì)即可作答.

【詳解】由己知得〃力=1+坐*,

(2+cosx)(x2+l)-(2x+sinx)-2x

則ra)=-------------'-----------,顯然ra)為偶函數(shù).

令g(x)=/(x)-l=2?：丁,顯然g(x)為奇函數(shù).

又/'(X)為偶函數(shù)，所以/'(389)—/'(—389)=0,

/(389)+/(-389)=g(389)+1+g(-389)+1=2,

所以/(389)+/'(389)+/(―389)—/'(―389)=2.

2.已知函數(shù)⑴1in(x+力+x+l,尸⑴為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則

卜2+cosx

/(-2023)+/,(-2023)+/(2023)(2023)=.

【答案】1

【分析】變形給定函數(shù)式，求出導(dǎo)函數(shù)形(x),再探討函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的性質(zhì),

即可計算作答.

【詳解】函數(shù)〃、*sinx+；cosx+x+l百sinx+2x1,其定義域為R,令

/(X)=----------------------------=-----------------+一

2+cosx4+2cosx2

/、\/3sinx+2x

=4+2；-c-o--s--x--，

顯然g(_x)=』sin(-x)+2(-x)=_#sinx+2x=一8(幻，即函數(shù)g。)是R上的奇函數(shù)，

4+2cos(-x)4+2cosx

fM=g(x)+；,因此/(-X)+/(x)=g(-x)+g+g(x)+；=1,/(-2023)+/(2023)=1,

由g(-x)=-g(x)兩邊求導(dǎo)得：-g，(-x)=-g，(x),即g'(-x)=g'(x),

而f'(X)=g'M，于是得f'(x)-f'(-x)=gXx)-g'(-x)=0,(-2023)-/(2023)=0,

所以/(-2023)+尸(-2023)+/(2023)-f'[2023)=1.

3.已知函數(shù)/(*)=公訪31+加+3(。€氏3€中，/'(X)為"X)的導(dǎo)函數(shù)，貝I]

/(2021)+/(-202\)+f'(2022)-f(-2022)=()

A.0B.2021C.2022D.6

【答案】D

【分析】令g(x)=asin3x+/z?,判斷g(x)、/(力的奇偶性，借助奇偶性計算即可作答.

【詳解】依題意，的定義域為R，令g(x)=asin3x+公3,則

^(-x)=asin3(-x)+b(-xY=-g(x),

即g(x)是奇函數(shù),有g(shù)(2021)+g(-2021)=0,則

/(2021)+/(-2021)=g(2021)+3+g(-2021)+3=6,

又f\x)-3acos3x+3l>x2,且有=3acos3(-x)+3b(-x)2=f'(x),即/'(x)是偶數(shù),

/,(2022)-//(-2022)=0,

所以/(2021)+/(—2021)+r(2022)—/'(—2022)=6.

2徹線

1.切線基礎(chǔ)1:有切點求切線

【典例分析】

曲線y=sinx+e■'在x=0處的切線方程是()

A.x—3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x—y+l=0D.3x—y+1=0

【答案】C

【解析】

丫'=85*+/,當(dāng)*=0時，y'=2,即切線的斜率為2,通過選項可看出C符合題意。故選C

【變式訓(xùn)練】

CCSX?7tI

1.曲線y=一_?在點二」處的切線方程為（）.

sinx）

7T

A.2x—y——+1—0B.2x—^———1=0

C.2x4*y--+1=0D.2x+y-^-1=0

【答案】D

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，再根據(jù)點斜式即可求得切線方程.

【詳解】

-sin2x-cos2x

—「，切線斜率為左=—2,

sin2xsinx

切線方程為y-l=-2x-^\,即2%+>_工_1=0..

I4J2

2.曲線y=xei在點（1,1）處切線的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

【答案】C

試題分析：由,=旄口，得）?'=/"?+M"，故=故切線的斜率為2.

f+2x

3.曲線y=在（0,0）處的切線方程為.

ex

【答案】y=2x

【分析】

求導(dǎo)y=（2*+2）-（f+2x）,計算&=>1力=2,得到切線方程.

ex

【詳解】

(2x+2)ev-^(x2+2x)(2x+2)-(x2+2%)

故我=—=2,

故所求切線方程為y=2x.

2.切線基礎(chǔ)2：有切線（斜率）求參

【典例分析】

若曲線y=依2一mx在點（1,。）處的切線平行于x軸，則。=.

【答案】《

【分析】

【詳解】由函數(shù)的解析式可得：y'^2ax--,曲線丁二口^一皿》在點代公處的切線平行

X

于X軸，

結(jié)合題意有：y'L[=2a—1=0,二。=：.

【變式訓(xùn)練】

1.曲線〃x）=g/+xlnx在點（1,/⑴）處的切線與直線分一y-1=0垂直，則。=.

【答案】二.

2

【分析】

先對函數(shù)/。心（^+犬卜工求導(dǎo)，求出其在點（1,/（I））處的切線斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】

因為=+x\nx,所以r(x)=x+lnx+l,

因此，曲線/(力:3^+工山》在點(i,/(I))處的切線斜率為女=/，(i)=i+i=2；

又該切線與直線打一丁一1=0垂直，所以。=一,.故答案為—,

22

2.己知函數(shù)/(x)=m(2x+1)3—2",若曲線y=/(x)在(0J(0))處的切線與直線

4x+y-2=0平行，則〃2=.

【答案】T

【分析】

先求導(dǎo)/")=6皿2x+l)2-2e'J'(0)=6m-2,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義，W,f(0)=-4

求解.

【詳解】

因為函數(shù)/(x)=m(2x+l)3-2eX,所以尸(x)=6m(2x+l)2-2e'"'(0)=6加一2,所以

6m—2=T,

解得??!=.故答案為：

33

3.已知函數(shù)/(x)=e*+alnx,若曲線y=/(%)在x=l處的切線方程為丁=%+〃，貝U

【答案】0

【分析】

由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得/⑴=1、/(1)=1+匕，即可得解.

【詳解】Vf(x)^ex+a\nx,：.f\x)=e1+-,?.?曲線y=/(x)在x=l處的切線方程

x

為y=x+3,

/，(O=e+?=l,/(l)=e=l+Z?,。+/?=1—e+e—1=0.故答案為：0.

3.切線基礎(chǔ)3：無切點

【典例分析】

曲線/(x)=d—x+3在點P處的切線平行于y=2x-l,則點P的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)

【答案】AB

【詳解】因尸(無)=3兀2-1,令r(x)=2,故3/—1=2=X=1或—1，所以尸(1,3)或

(-1,3),

經(jīng)檢驗，點(1,3),(-1,3)均不在直線y=2x—1上，

【變式訓(xùn)練】

1.若曲線y=f-21nx的一條切線的斜率是3,則切點的橫坐標(biāo)為.

【答案】2

【解析】

2

【分析】根據(jù)曲線的切線斜率即對應(yīng)的函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值，令導(dǎo)數(shù)y'=2x--=3,解

x

得x的值，結(jié)合函數(shù)定義域即可得解.

【詳解】

、2,1

解：1y=x'-2\nx,：.y'=2x——=3,-3x()-2=0,解得/=——(舍去)或%=2,

x2

所以玉)=2,故答案為：2.

2.若曲線y=/的一條切線/與直線x+4y-8=0垂直，則/的方程為

【答案】4x_y_3=0

【解析】

解：4x-y-3=0與直線x+4y-8=0垂直的直線1與為：4x-y+m=0,

即y=/在某一點的導(dǎo)數(shù)為4,而y，=4x3,y=/在(1,?)處導(dǎo)數(shù)為4,故方程為4x-y-3=0.

?3

3.曲線y=]x2-m(2x)在某點處的切線的斜率為-