八年級數(shù)學(xué)下冊專題01 二次根式壓軸（四大類型）（原卷版）

專題01二次根式化簡?？級狠S（四大類型）專題分析專題分析本章內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容“實數(shù)”“整式”“勾股定理”聯(lián)系緊密，同時也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中的不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準(zhǔn)備?！绢愋鸵弧坷脭?shù)軸化簡根式】【類型二】含字母的二次根式化簡(注意范圍)】【類型三】雙重二次根式化簡【類型四】二次根式有意義的條件【類型一：利用數(shù)軸化簡根式】【典例1】已知，如圖所示，實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置．化簡：．【變式1-1】已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，則化簡：，得（）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a(chǎn)﹣b【變式1-2】已知數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：．【變式1-3】已知：實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：+﹣|a﹣b|．【變式1-4】已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡．【類型二：含字母的二次根式化簡(注意范圍)】【典例2】化簡﹣x的結(jié)果是（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣【變式2-1】已知a＞b，則的化簡結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【變式2-2】化簡的結(jié)果正確的是（）A．2m2 B．﹣2m2 C．﹣2m2﹣ D．2m2【變式2-3】化簡﹣a的結(jié)果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a【變式2-4】化簡二次根式的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【類型三：雙重二次根式化簡】【典例3】材料：如何將雙重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化簡呢？如能找到兩個數(shù)m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m?n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，雙重二次根式得以化簡．例如化簡：因為3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m?n＝b，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：＝，＝；（2）化簡：；（3）計算：+．【變式3-1】閱讀材料：小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小李同學(xué)進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小李同學(xué)就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學(xué)的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡：．【變式3-2】【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以化成另一個式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【類比歸納】（1）請你仿照小明的方法將7+2化成另一個式子的平方；（2）請運用小明的方法化簡；．【變式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【變式3-3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化簡：解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．問題：（1）填空：＝，＝；（2）化簡：（請寫出計算過程）；（3）化簡：．【類型四：二次根式有意義的條件】【典例4】已知x，y為實數(shù)，y＝，求xy的平方根．【變式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．【變式4-2】已知+2＝b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【變式4-3】已知x滿足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．1．若2＜a＜3，則等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣12．把a中根號外面的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是．3．若|2017﹣m|+＝m，則m﹣20172＝．4．若實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，試化簡：﹣+|b+c|+|a﹣c|．5．閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的康康進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有（有理數(shù)和無理數(shù)分別對應(yīng)相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣康康就找到了一種把式子化為平方式的方法．請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含c、d的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且e、f均為正整數(shù)，試化簡：；（3）化簡：．6．有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mn＝，則a±2將變成m2+n2±2mn，即變成（m±n）2，從而使得以化簡．例如，因為5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．請仿照上面的例子化簡下列根式：（1）；（2）．7．x、y均為實數(shù)y＜++，化簡：．8．若＝?，求（x+1）的值．9．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a，b使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m，?＝，那么便有＝＝±（a＞b），例如：化簡．解：首先把化為，這里m＝7，n＝12；由于