實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析(精)

PAGEPAGE15第2章實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析通過實(shí)驗(yàn)測量所得大批數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)的主要成果，但在實(shí)驗(yàn)中，由于測量儀表和人的觀察等方面的原因，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總存在一些誤差，所以在整理這些數(shù)據(jù)時(shí)，首先應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)行客觀的評(píng)定。誤差分析的目的就是評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性，通過誤差分析，認(rèn)清誤差的來源及其影響，并設(shè)法消除或減小誤差，提高實(shí)驗(yàn)的精確性。對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差進(jìn)行分析和估算，在評(píng)判實(shí)驗(yàn)結(jié)果和設(shè)計(jì)方案方面具有重要的意義。本章就化工原理實(shí)驗(yàn)中遇到的一些誤差基本概念與估算方法作一扼要介紹。2.1誤差的基本概念2.1.1真值與平均值真值是指某物理量客觀存在的確定值。通常一個(gè)物理量的真值是不知道的，是我們努力要求測到的。嚴(yán)格來講，由于測量儀器，測定方法、環(huán)境、人的觀察力、測量的程序等，都不可能是完善無缺的，故真值是無法測得的，是一個(gè)理想值?？茖W(xué)實(shí)驗(yàn)中真值的定義是：設(shè)在測量中觀察的次數(shù)為無限多，則根據(jù)誤差分布定律正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)率相等，故將各觀察值相加，加以平均，在無系統(tǒng)誤差情況下，可能獲得極近于真值的數(shù)值。故“真值”在現(xiàn)實(shí)中是指觀察次數(shù)無限多時(shí)，所求得的平均值（或是寫入文獻(xiàn)手冊(cè)中所謂的“公認(rèn)值”）。然而對(duì)我們工程實(shí)驗(yàn)而言，觀察的次數(shù)都是有限的，故用有限觀察次數(shù)求出的平均值，只能是近似真值，或稱為最佳值。一般我們稱這一最佳值為平均值。常用的平均值有下列幾種：（1）算術(shù)平均值這種平均值最常用。凡測量值的分布服從正態(tài)分布時(shí)，用最小二乘法原理可以證明：在一組等精度的測量中，算術(shù)平均值為最佳值或最可信賴值。（2-1）式中：——各次觀測值；n――觀察的次數(shù)。（2）均方根平均值（2-2）（3）加權(quán)平均值設(shè)對(duì)同一物理量用不同方法去測定，或?qū)ν晃锢砹坑刹煌巳y定，計(jì)算平均值時(shí)，常對(duì)比較可靠的數(shù)值予以加重平均，稱為加權(quán)平均。（2-3）式中；——各次觀測值；——各測量值的對(duì)應(yīng)權(quán)重。各觀測值的權(quán)數(shù)一般憑經(jīng)驗(yàn)確定。（4）幾何平均值（2-4）（5）對(duì)數(shù)平均值（2-5）以上介紹的各種平均值，目的是要從一組測定值中找出最接近真值的那個(gè)值。平均值的選擇主要決定于一組觀測值的分布類型，在化工原理實(shí)驗(yàn)研究中，數(shù)據(jù)分布較多屬于正態(tài)分布，故通常采用算術(shù)平均值。2.1.2誤差的定義及分類在任何一種測量中，無論所用儀器多么精密，方法多么完善，實(shí)驗(yàn)者多么細(xì)心，不同時(shí)間所測得的結(jié)果不一定完全相同，而有一定的誤差和偏差，嚴(yán)格來講，誤差是指實(shí)驗(yàn)測量值（包括直接和間接測量值）與真值（客觀存在的準(zhǔn)確值）之差，偏差是指實(shí)驗(yàn)測量值與平均值之差，但習(xí)慣上通常將兩者混淆而不以區(qū)別。1．系統(tǒng)誤差又稱恒定誤差，由某些固定不變的因素引起的。在相同條件下進(jìn)行多次測量，其誤差數(shù)值的大小和正負(fù)保持恒定，或隨條件改變按一定的規(guī)律變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有：1）儀器刻度不準(zhǔn)，砝碼未經(jīng)校正等；2）試劑不純，質(zhì)量不符合要求；3）周圍環(huán)境的改變?nèi)缤饨鐪囟?、壓力、濕度的變化等?）個(gè)人的習(xí)慣與偏向如讀取數(shù)據(jù)常偏高或偏低，記錄某一信號(hào)的時(shí)間總是滯后，判定滴定終點(diǎn)的顏色程度各人不同等等因素所引起的誤差?？梢杂脺?zhǔn)確度一詞來表征系統(tǒng)誤差的大小，系統(tǒng)誤差越小，準(zhǔn)確度越高，反之亦然。由于系統(tǒng)誤差是測量誤差的重要組成部分，消除和估計(jì)系統(tǒng)誤差對(duì)于提高測量準(zhǔn)確度就十分重要。一般系統(tǒng)誤差是有規(guī)律的。其產(chǎn)生的原因也往往是可知或找出原因后可以清除掉。至于不能消除的系統(tǒng)誤差，我們應(yīng)設(shè)法確定或估計(jì)出來。2．偶然誤差又稱隨機(jī)誤差，由某些不易控制的因素造成的。在相同條件下作多次測量，其誤差的大小，正負(fù)方向不一定，其產(chǎn)生原因一般不詳，因而也就無法控制，主要表現(xiàn)在測量結(jié)果的分散性，但完全服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，研究隨機(jī)誤差可以采用概率統(tǒng)計(jì)的方法。在誤差理論中，常用精密度一詞來表征偶然誤差的大小。偶然誤差越大，精密度越低，反之亦然。在測量中，如果已經(jīng)消除引起系統(tǒng)誤差的一切因素，而所測數(shù)據(jù)仍在未一位或未二位數(shù)字上有差別，則為偶然誤差。偶然誤差的存在，主要是我們只注意認(rèn)識(shí)影響較大的一些因素，而往往忽略其他還有一些小的影響因素，不是我們尚未發(fā)現(xiàn)，就是我們無法控制，而這些影響，正是造成偶然誤差的原因。3．測量值的實(shí)際誤差由于儀表的精確度用上述方法所確定的測量誤差，一般總是比測量值的實(shí)際誤差小的多。這是因?yàn)閮x器沒有調(diào)整到理想狀態(tài)，如不垂直、不水平、零位沒有調(diào)整好等，會(huì)引起誤差；儀表的實(shí)際工作條件不符合規(guī)定的正常工作條件，會(huì)引起附加誤差；儀器經(jīng)過長期使用后，零件發(fā)生磨損，裝配狀況發(fā)生變化等，也會(huì)引起誤差；可能存在有操作者的習(xí)慣和偏向所引起的誤差；儀表所感受的信號(hào)實(shí)際上可能并不等于待測的信號(hào)；儀表電路可能會(huì)受到干擾等?？偠灾瑴y量值實(shí)際誤差大小的影響因素是很多的。為了獲得較準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要有較好的儀器，也需要有科學(xué)的態(tài)度和方法，以及扎實(shí)的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。2.3“過失”誤差的舍棄這里加引號(hào)的“過失”誤差與前面提到真正的過失誤差是不同的，在穩(wěn)定過程，不受任何人為因素影響，測量出少量過大或過小的數(shù)值，隨意地舍棄這些“壞值”，以獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致，這是一種錯(cuò)誤的做法，“壞值”的舍棄要有理論依據(jù)。如何判斷是否屬于異常值？最簡單的方法是以三倍標(biāo)準(zhǔn)誤差為依據(jù)。從概率的理論可知，大于（均方根誤差）的誤差所出現(xiàn)的概率只有0.3%，故通常把這一數(shù)值稱為極限誤差，即（2-17）如果個(gè)別測量的誤差超過，那么就可以認(rèn)為屬于過失誤差而將舍棄。重要的是如何從有限的幾次觀察值中舍棄可疑值的問題，因?yàn)闇y量次數(shù)少，概率理論已不適用，而個(gè)別失常測量值對(duì)算術(shù)平均值影響很大。有一種簡單的判斷法，即略去可疑觀測值后，計(jì)算其余各觀測值的平均值及平均誤差，然后算出可疑觀測值與平均值的偏差如果則此可疑值可以舍棄，因?yàn)檫@種觀測值存在的概率大約只有千分之一。2.4間接測量中的誤差傳遞在許多實(shí)驗(yàn)和研究中，所得到的結(jié)果有時(shí)不是用儀器直接測量得到的，而是要把實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場直接測量值代入一定的理論關(guān)系式中，通過計(jì)算才能求得所需要的結(jié)果，既間接測量值。由于直接測量值總有一定的誤差，因此它們必然引起間接測量值也有一定的誤差，也就是說直接測量誤差不可避免地傳遞到間接測量值中去，而產(chǎn)生間接測量誤差。誤差的傳遞公式：從數(shù)學(xué)中知道，當(dāng)間接測量值與直接值測量值有函數(shù)關(guān)系時(shí)，即則其微分式為：（2-18）（2-19）根據(jù)式（2-18）和（2-19），當(dāng)直接測量值的誤差很小，并且考慮到最不利的情況，應(yīng)是誤差累積和取絕對(duì)值，則可求間接測量值的誤差為：（2-20）（2-21）這兩個(gè)式子就是由直接測量誤差計(jì)算間接測量誤差的誤差傳遞公式。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差的傳則有：（2-22）式中，等分別為直接測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差、為間接測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。上式在有關(guān)資料中稱之為“幾何合成”或“極限相對(duì)誤差”?，F(xiàn)將計(jì)算函數(shù)的誤差的各種關(guān)系式列表如下：函數(shù)式的誤差關(guān)系表數(shù)學(xué)式誤差傳遞公式最大絕對(duì)誤差最大相對(duì)誤差2.5誤差分析在阻力實(shí)驗(yàn)中的具體應(yīng)用誤差分析除用于計(jì)算測量結(jié)果的精確度外，還可以對(duì)具體的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)予與先進(jìn)行誤差分析，在找到誤差的主要來源及每一個(gè)因素所引起的誤差大小后，對(duì)實(shí)驗(yàn)方案和選用儀器儀表提出有益的建議。例2-1本實(shí)驗(yàn)測定層流Re～關(guān)系是在Dg6（公稱徑為6mm）的小銅管中進(jìn)行，因內(nèi)徑大小，不能采用一般的游標(biāo)卡尺測量，而是采用體積法進(jìn)行直徑間接測量。截取高度為400mm的管子，測量這段管子中水的容積，從而計(jì)算管子的平均內(nèi)徑。測量的量具用移液管，其體積刻度線相當(dāng)準(zhǔn)確，而且它的系統(tǒng)誤差可以忽略。體積測量三次，分別為11.31、11.26、11.30（毫升）。問體積的算術(shù)平均值、平均絕對(duì)誤差D、相對(duì)誤差Er為多少？解：算術(shù)平均值平均絕對(duì)誤差相對(duì)誤差例2-2要測定層流狀態(tài)下，公稱內(nèi)徑為6mm的管道的摩擦系數(shù)λ（參見流體阻力實(shí)驗(yàn)），希望在Re=200時(shí)，λ的精確度不低于4.5%，問實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)是否合理？并選用合適的測量方法和測量儀器。解：λ的函數(shù)形式是：λ=式中：、——被測量段前后液注讀數(shù)值[mH2O]：——流量[m3/s]：——被測量段長度[m]。標(biāo)準(zhǔn)誤差：Er(λ)=要求Er(λ)<4.5%,由于所引起的誤差小于，故可以略去不考慮。剩下三項(xiàng)分誤差，可按等效法進(jìn)行分配，每項(xiàng)分誤差和總誤差的關(guān)系：Er(λ)==4.5%每項(xiàng)分誤差mi=eq\o\ac(○,1)流量項(xiàng)的分誤差估計(jì)：首先確定值這么小的流量可以采用500ml的量筒測其流量，量筒系統(tǒng)誤差很小，可以忽略，讀數(shù)誤差為，計(jì)時(shí)用的秒表系統(tǒng)誤差也可忽略，開停秒表的隨機(jī)誤差估計(jì)為秒，當(dāng)Re=200時(shí)，每次測量水量約為450ml，需時(shí)間48秒左右。流量測量最大誤差為：式中具體數(shù)字說明誤差較大，可以忽略。因此流量項(xiàng)的分誤差：沒有超過每項(xiàng)分誤差范圍。eq\o\ac(○,2)d的相對(duì)誤差要求：由例2-1知道管徑由體積法進(jìn)行間接測量。已知管高度為400mm，絕對(duì)誤差±0.5mm為保險(xiǎn)起見，仍采用幾何合成法計(jì)算的相對(duì)誤差。由例2-1已計(jì)算出的相對(duì)誤差為0.18%代入具體數(shù)值：也沒有超過每項(xiàng)分誤差范圍。eq\o\ac(○,3)壓差的相對(duì)誤差：單管式壓差計(jì)用分度為1mm的尺子測量，系統(tǒng)誤差可以忽略，讀數(shù)隨機(jī)絕對(duì)誤差為±0.5mm。壓差測量值與兩測壓點(diǎn)間的距離成正比：式中：——為平均流速[m/s]。由上式可算出的變化對(duì)壓差相對(duì)誤差的影響（見下表）。500100015002000153045606.73.32.21.6由表中可見，選用可滿足要求，若實(shí)驗(yàn)采用其相對(duì)誤差為：總誤差：Er(λ)==通過以上誤差分析可知：（a）為實(shí)驗(yàn)裝置中兩測點(diǎn)間的距離的選定充分提供了依據(jù)。（b）直徑的誤差，因傳遞系數(shù)較大（等于5），對(duì)總誤差影響較大，但所選測量的方案合理，這項(xiàng)測量精確度高，對(duì)總誤差影響反而下降了。（c）現(xiàn)有的測量誤差顯得過大，其誤差主要來自體積測量，因而若改用精確度更高一級(jí)的量筒，則可以提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度。例2-3若選用1.796m，水溫20℃，，測得出水量為450ml時(shí)，所