2023-2024學年江蘇省南通市南通中學高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2023-2024學年江蘇省南通市南通中學高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．2．下列四個函數中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數的是（）A． B． C． D．3．若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45° C．60° D．90°5．等差數列滿足，則其前10項之和為（）A．－9 B．－15 C．15 D．6．實數數列為等比數列，則（）A．-2 B．2 C． D．7．的內角的對邊分別為，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．B．C．D．8．已知函數，則不等式的解集為()A． B． C． D．9．設集合，則A． B． C． D．10．甲乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如右圖，甲乙兩組數據的平均數分別為，標準差分別為則（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列的通項公式為，若數列為單調遞增數列，則實數的取值范圍是______.12．正六棱柱各棱長均為，則一動點從出發(fā)沿表面移動到時的最短路程為__________．13．函數的反函數為____________.14．把函數的圖象向左平移個單位長度，所得圖象正好關于原點對稱，則的最小值為________.15．關于的不等式，對于恒成立，則實數的取值范圍為_______.16．已知無窮等比數列的前項和，其中為常數，則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量是夾角為的單位向量，，（1）求；（2）當m為何值時，與平行？18．已知等差數列的前n項和為，且，．（1）求；（2）設數列的前n項和為，求證：．19．已知函數.（1）當時，，求的值；（2）令，若對任意都有恒成立，求的最大值.20．已知函數.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.21．習主席說：“綠水青山就是金山銀山”.某地相應號召，投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產業(yè)，根據規(guī)劃，2018年投入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當地旅游業(yè)收入估計為500萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加.（1）設年內（2018年為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達式；（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.（參考數據：，，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根據同向不等式可以相加，可判定B的真假；根據a-b>0則b-a<0，進行判定C的真假；a的符號不確定，從而選項D不一定成立，從而得到結論．【詳解】∵a，b∈R，并且a>b，∴?a<?b，故A一定正確；a>b，?1>?2，根據同向不等式可以相加得，a?1>b?2，故B一定正確；a?b>0則b?a<0，所以a?b>b?a，故C一定正確；不等式兩邊乘(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變，而a的符號不確定，故D不一定正確.故選D.【點睛】本題主要考查利用不等式的性質判斷不等關系，屬于基礎題.2、B【解析】

分別求出四個選項中函數的周期，排除選項后，再通過函數的單調減區(qū)間找出正確選項即可.【詳解】由題意觀察選項，C的周期不是，所以C不正確；對于A，，函數的周期為，但在區(qū)間上為增函數，故A不正確；對于B，，函數的周期為，且在區(qū)間上為減函數，故B正確；對于D，，函數的周期為，但在區(qū)間上為增函數，故D不正確；故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的性質，需熟記正弦、余弦、正切、余切的性質，屬于基礎題.3、A【解析】

由的體積計算得高，已知將三棱錐的外接球，轉化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應用，根據已知計算出球的半徑是解答的關鍵，屬于中檔題．4、C【解析】連接，由三角形中位線定理及平行四邊形性質可得，所以是與所成角，由正方體的性質可知是等邊三角形，所以，與所成角是,故選C.5、D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故選D.6、B【解析】

由等比數列的性質計算，注意項與項之間的關系即可．【詳解】由題意，，又與同號，∴．故選B．【點睛】本題考查等比數列的性質，解題時要注意等比數列中奇數項同號，偶數項同號．7、D【解析】

運用正弦定理公式，可以求出另一邊的對角正弦值，最后還要根據三角形的特點：“大角對大邊”進行合理排除.【詳解】A.,由所以不存在這樣的三角形.B.,由且所以只有一個角BC.中，同理也只有一個三角形.D.中此時，所以出現兩個角符合題意，即存在兩個三角形.所以選擇D【點睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，記得一定要去判斷是否會出現兩個角.8、B【解析】

先判斷函數的單調性，把轉化為自變量的不等式求解.【詳解】可知函數為減函數，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.【點睛】本題考查函數不等式，通常根據函數的單調性轉化求解，一般不代入解析式.9、B【解析】,選B.【考點】集合的運算【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖進行處理.10、C【解析】

利用甲、乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計直接求解．【詳解】由甲乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計圖知：甲組數據靠上，乙組數據靠下，甲組數據相對集中，乙組數據相對分散分散布，由甲乙兩組數據的平均數分別為，標準差分別為得，．故選：．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查平均數、的定義和性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據題意得到，推出，恒成立，求出的最大值，即可得出結果.【詳解】因為數列的通項公式為，且數列為單調遞增數列，所以，即，所以，恒成立，因此即可，又隨的增大而減小，所以，因此實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查由數列的單調性求參數，熟記遞增數列的特點即可，屬于常考題型.12、【解析】

根據可能走的路徑，將所給的正六棱柱展開，利用平面幾何知識求解比較.【詳解】將所給的正六棱柱下圖(2)表面按圖(1)展開.，，，故從A沿正側面和上表面到D1的路程最短為故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間幾何體展形圖的應用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.13、【解析】

首先求出在區(qū)間的值域，再由表示的含義，得到所求函數的反函數.【詳解】因為，所以，.所以的反函數是.故答案為：【點睛】本題主要考查反函數定義，同時考查了三角函數的值域問題，屬于簡單題.14、【解析】

根據條件先求出平移后的函數表達式為，令即可得解.【詳解】由題意可得平移后的函數表達式為，圖象正好關于原點對稱，即，又，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數圖像的平移以及三角函數的圖像與性質，屬于基礎題.15、或【解析】

利用換元法令，則對任意的恒成立，再對分兩種情況討論，令求出函數的最小值，即可得答案.【詳解】令，則對任意的恒成立，（1）當，即時，上式顯然成立；（2）當，即時，令①當時，，顯然不成立，故不成立；②當時，，∴解得：綜上所述：或.故答案為：或.【點睛】本題考查含絕對值函數的最值問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意分段函數的最值求解.16、1【解析】

根據等比數列的前項和公式，求得，再結合極限的運算，即可求解.【詳解】由題意，等比數列前項和公式，可得，又由，所以，所以，可得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和公式的應用，以及熟練的極限的計算，其中解答中根據等比數列的前項和公式，求得的值，結合極限的運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）﹣6【解析】

（1）利用單位向量的定義，直接運算即可；（2）利用，有，得出，然后列方程求解即可【詳解】解：（1）；（2）當，則存在實數使，所以不共線，得，【點睛】本題考查向量平行的定義，注意列方程運算即可，屬于簡單題18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）設公差為，由，可得解得，，從而可得結果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）設公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【點睛】本題主要考查等差數列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據得，得或，結合取值范圍求解；（2）結合換元法處理二次不等式恒成立求參數的取值范圍.【詳解】（1），即，即有，所以或，即或由于，，所以；（2），令，對任意都有恒成立，即對恒成立，只需，解得：，所以的最大值為.【點睛】此題考查根據三角函數值相等求自變量取值的關系，利用換元法轉化為二次函數處理不等式問題，根據不等式恒成立求參數的取值范圍，涉及根的分布的問題.20、（1）；（2）【解析】

(1)將)化簡為，代入從而求得結果.(2)由,得,從而確定的范圍.【詳解】(1)(2)由，得解得，，即的取值范圍是【點睛】本題主要考查三角函數的化簡求值，不等式的求解，意在考查學生的運算能力和分析能力，難度不大.21、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根據題意，知每年投入資金和旅游業(yè)收入是等比數列，根據等比數列的前n項和公式，即可求解；（2）根據（1）中解析式，列出不