2024屆山東省青島市青大附中數(shù)學(xué)八年級(jí)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆山東省青島市青大附中數(shù)學(xué)八年級(jí)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.用一條直線m將如圖1的直角鐵皮分成面積相等的兩部分.圖2、圖3分別是甲、乙兩同學(xué)給出的作法，對(duì)于

兩人的作法判斷正確的是()

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

2.如圖，EF過(guò)ABC。對(duì)角線的交點(diǎn)。，交AD于E,交BC于F,若,ABC。的周長(zhǎng)為36,OE=3,則四邊

形A班后的周長(zhǎng)為()

A.24B.26C.28D.20

3.下列各式從左到右的變形為分解因式的是()

A.m2-m-6=(m+2)(m-3)

B.(m+2)(m-3)=m2-m-6

C.X2+8X-9=(x+3)(x-3)+8x

D.x2+l=x(x+-)

x

4.若分式七口的值等于0,則x的取值是().

x+1

A.x=—lB.xw-lC.x=3D.X/3

5.下列圖形都是由同樣大小的黑、白圓按照一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有2個(gè)白色圓，第②個(gè)圖形中一

共有8個(gè)白色圓，第③個(gè)圖形中一共有16個(gè)白色圓，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中白色圓的個(gè)數(shù)是()

A.96B.86C.68D.52

6.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,b）（a>0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（c,2）,且|〃一。|+，。一8=0,將線段P。向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)

度，其掃過(guò)的面積為24,那么a+A+c的值為（）

A.12B.14C.16D.20

7.已知關(guān)于工的一元二次方程f+如+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉=1，%=〃.則代數(shù)式加+2〃的值為（）

A.10B.2C.-2D.-10

8.如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.無(wú)法判斷

9.函數(shù)的圖象y=（m+l）%幅一2是雙曲線，則m的值是（）

A.-1B.0D.2

10.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)尸是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，PD//AB,PE//BC,尸尸〃AC,若△ABC的周長(zhǎng)為12,

貝！|PD+PE+PF=（）

A.12B.8C.4D.3

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

12.已知：VEZi±^EZ+3,則y'=.

x-2

13.菱形的周長(zhǎng)為12,它的一個(gè)內(nèi)角為60。，則菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為.

14.在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,a）.如圖,

3

若曲線y=—（%>0）與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是

x

15.如圖，直線>=—且％+4與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，C是OB的中點(diǎn)，D是AB上一點(diǎn)，四邊形OEDC

-3

是菱形，則AOAE的面積為.

16.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為o

17.化簡(jiǎn)：74=_____:

18.如圖，NABC=50,AD垂直平分線段于點(diǎn)DNABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E,連結(jié)EC,貝!I/AEC

的度數(shù)是________

三、解答題（共66分）

19.（10分）列方程解應(yīng)用題：

某市今年進(jìn)行水網(wǎng)升級(jí)，1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲g,小麗家去年12月的水費(fèi)是15元，而

今年5月的水費(fèi)則是30元.已知小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求該市今年居民用水的價(jià)格.

20.（6分）如圖，點(diǎn)。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A在X軸的正半軸上，正方形Q46C的邊長(zhǎng)是3,點(diǎn)。在上,

且AD=1.將AOAD繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AOCE.

(1)求證：OELOD,

（2）在左軸上找一點(diǎn)P,使得石的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.（6分）如圖，已知正方形ABCD中，以BF為底向正方形外側(cè)作等腰直角三角形BEF,連接DF,取DF的中點(diǎn)

G,連接EG,CG.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，猜想EG與CG的數(shù)量關(guān)系為,EG與CG的位置關(guān)系為,請(qǐng)證明你的結(jié)

論.

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖3,點(diǎn)F在AB的左

側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？直接做出判斷，不必說(shuō)明理由.

（3）在圖2中，若BC=4,BF=3,連接EC,求ECG的面積.

22.（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F為BC上兩點(diǎn)，且BE=CF,AF=DE

求證：（1）AABF^ADCE；

（2）四邊形ABCD是矩形.

23.（8分）如圖，在AABC中，=90，AB-lcm,BC-9cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)3以lan/s的

速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)3開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以2s/s的速度移動(dòng).

（1）如果點(diǎn)尸，。分別從點(diǎn)A,3同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，AP3Q的面積等于6°加2?

（2）如果點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)A,3同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于7。"？

24.（8分）在ABC中，/ABC=90，BD為AC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)C作CELBD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線,

交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD,連接BG,DF.

（1）求證：BD=DF；

（2）求證：四邊形BDFG為菱形;

（3）若AG=5,CF=J7,求四邊形BDFG的周長(zhǎng).

25.（10分）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、DE分別平分NBAD、ZADC,E點(diǎn)在BC上.

（1）求證：BC=2AB；

（2）若AB=3cm,NB=60°,一動(dòng)點(diǎn)F以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AD運(yùn)動(dòng)，CF交DE于G,當(dāng)CF〃AE

時(shí)：

①求點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；②求線段AG的長(zhǎng)度.

26.（10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)，ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分

線CF于點(diǎn)F.求證：AE=EF.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、C

【解題分析】

根據(jù)圖形中所畫(huà)出的虛線，可以利用圖形中的長(zhǎng)方形、梯形的面積比較得出直線兩旁的面積的大小關(guān)系.

【題目詳解】

如圖：圖形2中，直線m經(jīng)過(guò)了大長(zhǎng)方形和小長(zhǎng)方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以?xún)膳缘膱D形的面積都是大長(zhǎng)方形和小長(zhǎng)方

形面積的一半，所以這條直線把這個(gè)圖形分成了面積相等的兩部分，即甲做法正確；

圖形3中，經(jīng)過(guò)大正方形和圖形外不添補(bǔ)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，直線兩旁的面積都是大正方形面積的一半-添補(bǔ)的

長(zhǎng)方形面積的一半，所以這條直線把這個(gè)圖形分成了面積相等的兩部分，即乙做法正確.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)，根據(jù)圖形中的割補(bǔ)情況，抓住經(jīng)過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)的直線都能把長(zhǎng)方形分成面積相等的兩部

分這一特點(diǎn)，即可解決問(wèn)題.

2、A

【解題分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出AD+CD的值，易證AAOEg^COF,所以AE=CF,OE=OF=3,根據(jù)

CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF即可求出答案.

【題目詳解】

在平行四邊形ABCD中，

2(AB+BC)=36,

/.AB+BC=18,

?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.OA=OC,AD/7BC

.\ZAEF=ZCFE,

在AAOE和ACOF中

ZAEF=ZCFE

<ZAOE=ZCOF

AO=CO

：.AAOE^ACOF,

/.AE=CF,OE=OF=3,

，EF=6

/.AB+BF+FE+EA

=AB+BF+CF+EF

=AB+BC+EF

=18+6

=24

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，本題屬于中等題型.

3、A

【解題分析】

根據(jù)因式分解的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【題目詳解】

A、等式從左邊到右邊，把多項(xiàng)式化成了兩個(gè)整式積的形式，符合因式分解的定義，故A正確;

B、等式從左邊到右邊屬于整式的乘法，故B不正確；

C、等式的右邊最后計(jì)算的是和，不符合因式分解的定義，故C不正確；

D、在等式的右邊不是整式，故D不正確；

故選A.

4、C

【解題分析】

分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

【題目詳解】

Y—3

?.?分式一上的值等于1,

X+1

,*.x-2=l,x+lRL

解得：x=2.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查的是分式值為零的條件，掌握分式值為零的條件是解題的關(guān)鍵.

5、C

【解題分析】

根據(jù)題意得出第n個(gè)圖形中白色圓個(gè)數(shù)為n(n+1)+2(n-1),據(jù)此可得.

【題目詳解】

解：???第①個(gè)圖形中白色圓個(gè)數(shù)2=1X2+2XO,

第②個(gè)圖形中白色圓個(gè)數(shù)8=2X3+2X1,

第③個(gè)圖形中白色圓個(gè)數(shù)16=3X4+2X2,

二第⑦個(gè)圖形中白色圓個(gè)數(shù)為7X8+2X6=68,

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n個(gè)圖形中白色圓個(gè)數(shù)為n(n+1)+2(n-1).

6、C

【解題分析】

有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=c,b=8,P(a,8),PQ〃y軸，由于其掃過(guò)的圖形是矩形可求得。，代入即可求得結(jié)論.

【題目詳解】

解：|a—c|+J6一8=0,

a=c,b=8,

P(a,8),PQ〃y軸,

/.PQ=8-2=6,

???將線段PQ向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，其掃過(guò)的圖形是邊長(zhǎng)為a和6的矩形，

6a=24,

:.a=4,

:.c=4,

a+b+c=4+8+4=16；

故選：c.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)的平移，矩形的性質(zhì)，能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷出PQ〃y軸，進(jìn)而求得PQ是解題

的關(guān)鍵.

7、B

【解題分析】

先由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于北〃的方程組，代入直接求值即可.

【題目詳解】

解：因?yàn)?+如：+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根占=1,%2=〃，

所以石+工2=一；=-m,=y=3,

l+n=-mfm=-4

所以c，解得：.，

n=3=3

所以m+2〃=-4+2x3=2,

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，方程組的解法及代數(shù)式的求值，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

8、B

【解題分析】

作DF_LBC,BE_LCD,先證四邊形ABCD是平行四邊形.再證RtZMBECgRtz^DFC,得，BC=DC,所以，四邊形ABCD

是菱形.

【題目詳解】

如圖，作DFJ_BC,BE_LCD,

由已知可得，AD〃BC,AB〃CD

/.四邊形ABCD是平行四邊形.

在RtABEC和RtADFC中

NBCE=ZDCF

<ZBEC=ZDFC

BE=DF

.'RtABEC義RtADFC,

/.BC=DC

/.四邊形ABCD是菱形.

故選B

【題目點(diǎn)撥】

本題考核知識(shí)點(diǎn)：菱形的判定.解題關(guān)鍵點(diǎn)：通過(guò)全等三角形證一組鄰邊相等.

9、C

【解題分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出關(guān)于m的不等式組，求出m的值即可.

【題目詳解】

解：???函數(shù)y=(m+l)x"P-2的圖象是雙曲線，

m+1^0

2，解得m=L

m--2=-l

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

X

本題考查的是反比例函數(shù)的定義，即形如y=7(k為常數(shù)，片0)的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù).

k

10、C

【解題分析】

過(guò)點(diǎn)P作平行四邊形PGBD,EPHC,進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可.

【題目詳解】

延長(zhǎng)EP、FP分另校AB、BC于G、H,

則由PD〃AB,PE〃BC,PF〃AC,可得,

四邊形PGBD,EPHC是平行四邊形，

，PG=BD,PE=HC,

又AABC是等邊三角形，

又有PF〃AC,PD〃AB可得APFG,APDH是等邊三角形，

；.PF=PG=BD,PD=DH,

又AABC的周長(zhǎng)為12,

1

/.PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=-xl2=4,

3

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角

都相等，且都等于60。.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、aVl且arl

【解題分析】

由關(guān)于x的一元二次方程ax?+2x+l=l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得判別式△>1，繼而可求得a的范圍.

【題目詳解】

2

???關(guān)于x的一元二次方程ax+2X+l=l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

/.△=b2-4ac=22-4xaxl=4-4a>l,

解得：a<l,

?方程ax2+2x+l=l是一元二次方程，

；.a的范圍是：aVl且aRL

故答案為：a<l且存1.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查了一元二次方程判別式的知識(shí).此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得△>1.

1

12、一

9

【解題分析】

首先根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式，求出X的值，然后可得y的值，易求結(jié)果.

【題目詳解】

X2-4>0

解：由題意得：p-x2>0,

x/2

.\x=-2,

，y=3,

故答案為：—

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次根式和分式的性質(zhì)，根據(jù)他們各自的性質(zhì)求出x,y的值是解題關(guān)鍵.

13、3名

【解題分析】

根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得ACLBD,BD=2OB,菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得/ABO=30。，根據(jù)直角

三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AO==AB,再利用勾股定理列式求出OB,即可得解.

【題目詳解】

解：如圖所示：

；.AB=3,AC±BD,BD=2OB,

VZABC=60°,

1

ANABO=—ZABC=30°,

2

.113

??AO=—AB=—x3=—

2229

由勾股定理得，OB=JAB2_OA2

；.BD=2OB=36.

故答案為：3G.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,

作出圖形更形象直觀.

14、73-l<a<V3

【解題分析】

根據(jù)題意得出C點(diǎn)的坐標(biāo)（a-1,a-1）,然后分別把A、C的坐標(biāo)代入求得a的值，即可求得a的取值范圍.

【題目詳解】

解:反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C.

當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，即/=3,

解得：a=±V3（負(fù)根舍去）；

當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，即（a-1產(chǎn)=3,

解得：a=l±73（負(fù)根舍去），

則6—1至5右.

故答案為：73-l<a<V3.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)y=8（k為常數(shù)，k/0）的圖象上的點(diǎn)（x,y）

x

的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.

15、273

【解題分析】

根據(jù)直線于坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出,A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出OB,OA的長(zhǎng)，根據(jù)C是OB的中點(diǎn)，從而得出OC的

長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DE=OC=2;DE〃OC；設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出EFQF的長(zhǎng)，在

RtAOEF中利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，求解得出x的值，然后根據(jù)三角形的面積公式得出答案.

【題目詳解】

解:把x=0代入y=--x+4得出y=4,

3

.\OB=4;

是OB的中點(diǎn)，

,\OC=2,

???四邊形OEDC是菱形,

.\DE=OC=2;DE#OC,

把y=0代入y=--x+4得出x=4瓜

3

??.A(4A/3,0);

/.OA=4若，

設(shè)D(x,-1x+4),

3

?'?E(x,-—x+2),

3

延長(zhǎng)DE交OA于點(diǎn)F,

/.EF=------x+2,OF=x,

3

(nY

在Rt^OEF中利用勾股定理得：x2+--x+2=22,

[3J

解得：xi=0(舍)，X2=-^3?

,\EF=1,

SAAOE=-OAEF=2J3.

2

故答案為26.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)丫=1?+卜（后0,且k,b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x

b

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（?：，0）;與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,b）.直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b,也考查

k

了菱形的性質(zhì).

16、1

【解題分析】

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）“80。與外角和定理列出方程，然后求解即可.

【題目詳解】

設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，

根據(jù)題意得，（n-2）?180。=5'360。，

解得n=l.

故答案為：L

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，任何多邊形的外角和都是360。.

17、2

【解題分析】

根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是求一個(gè)正數(shù)x,使得x2=a,則x就是a的算術(shù)平方根，特別地,

規(guī)定0的算術(shù)平方根是0.

【題目詳解】

V22=4,/.^4=2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查求算術(shù)平方根，熟記定義是關(guān)鍵.

18、115°

【解題分析】

試題分析：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE,即可得到NEBC=NECB=25。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得

ZAEC=ZEDC+ZECB=115°.

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)

三、解答題（共66分）

19、2.4元/米3

【解題分析】

利用總水費(fèi)+單價(jià)=用水量，結(jié)合小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,進(jìn)而得出等式即可.

【題目詳解】

解：設(shè)去年用水的價(jià)格每立方米x元，則今年用水價(jià)格為每立方米L2x元

由題意列方程得：孚-"=5

1.2xx

解得x=2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解

1.2x=2.4(元/立方米)

答：今年居民用水的價(jià)格為每立方米2.4元.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確表示出用水量是解題關(guān)鍵.

20、(1)見(jiàn)解析；⑵點(diǎn)尸坐標(biāo)為(2,0)

【解題分析】

(1)根據(jù)直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)證明NCOE+NCO￡>=90。即可；

(2)作點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，連接跖交》軸于點(diǎn)P,即為所求，再根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式求出直線EF

的解析式，再求出P點(diǎn).

【題目詳解】

(1)是由AOAD旋轉(zhuǎn)而來(lái)，

:.ACOE=ZAOD.

又ZAOD+NCOD=90°,

：.ZCOE+/COD=90=ZDOE,

即

(2)如圖所示，作點(diǎn)。關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/，連接EF交x軸于點(diǎn)P.

\\_,JD

-o'"A~"X

F

???點(diǎn)。和點(diǎn)/關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng)，

PD=PF.

PD+PE=PF+PE.

且P,E,E三點(diǎn)在一條直線上的時(shí)候。尸+PE最小

即PD+PE取得最小值.

VAD=1,BC=3,

/.F（3,-l）,磯―1,3）,

設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b(k^O).

E,歹兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，

3左+Z?=1,

—k+Z?=3.

k=—l

解得7c

0=2.

將，y=-x+2.

丁點(diǎn)P為直線硬與x軸的交點(diǎn).

???令y=o,即一%+2=。

得％=2

故點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,0)

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式.

21、(1)EG=CG,EG±CG；(2)當(dāng)點(diǎn)F在AB上(不與點(diǎn)A重合)時(shí)，(1)中結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析，點(diǎn)F

在AB的左側(cè)時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立；(3)SACKG==苧.

8

【解題分析】

1

(1)過(guò)E作EMLAD交AD的延長(zhǎng)線于M,證明aAME是等腰直角三角形，得出AM=EM=X—AE=—AB,證出

22

DG=AG=-AD=AM=EM,得出GM=CD,證明△GEMgZkCGD(SAS),得出EG=CG,ZEGM=ZGCD,證出

2

ZCGE=180°-90°=90°,即可得出EG_LCG；

(2)延長(zhǎng)EG至H,使HG=EG,連接DH、CH,CE,證明△EFGg^HDG(SAS),得出EF=HD,ZEFG=ZHDG,

證明△CBEdCDH(SAS),得出CE=CH,ZBCE=ZDCH,得出NECH=/BCD=90°,證明△￡?!!是等腰直角

三角形，得出CG=-EH=EG,EG1CG；延長(zhǎng)EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,同理可證CG」EH=EG,

22

EG±CG；

(3)作EM垂直于CB的延長(zhǎng)線與M,先求出BM,EM的值，即可根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)度，從而求出CG的

長(zhǎng)，即可求出面積.

【題目詳解】

解：(1)EG=CG,EG±CG；理由如下：

過(guò)E作EM_LAD交AD的延長(zhǎng)線于M,如圖1所示:

則NM=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

，AB=AD=CD,NBAD=ND=90°,

/.ZBAM=90",

???ABEF是等腰直角三角形，

歷

；.NBAE=45°,AE=—AB,

2

/.ZMAE=45°,

：.AAME是等腰直角三角形，

AM=EM=—AE=-AB,

22

；G是DF的中點(diǎn)，

1

DG=AG=-AD=AM=EM,

2

.\GM=CD,

在△GEM和ACGD中，

EM=DG

<ZM=ZD=90,

GM=CD

.,.△GEM^ACGD(SAS),

；.EG=CG,ZEGM=ZGCD,

VZGCD+ZDGC=90°,

.?.ZEGM+ZDGC=90°,

.,.ZCGE=180°-90°=90°,

.\EG±CG；

(2)當(dāng)點(diǎn)F在AB上(不與點(diǎn)A重合)時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下:

延長(zhǎng)EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,如圖2所示：

?；G是DF的中點(diǎn)，

/.FG=DG,

EG=HG

在aFFG和aIIDG中，<ZEGF=ZHGD,

FG=DG

/.△EFG^AHDG(SAS),

；.EF=HD,ZEFG=ZHDG,

ABEF是等腰直角三角形，

.\EF=BE,ZBFE=ZFBE=45°,

；.BE=DH,

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,ZABC=ZBCD=90°,BC=CD,

.,.ZAFD=ZCDG,

.\ZAFE=ZCDH=135°,

VZCBE=90°+45°=135°,

.\ZCBE=ZCDH,

在和△CDH中，

BE=DH

<ZCBE=ZCDH,

BC=CD

.,.△CBE^ACDH(SAS),

/.CE=CH,ZBCE=ZDCH,

.?.ZECH=ZBCD=90°,

...AECH是等腰直角三角形，

VEG=HG,

1

.\CG=-EH=EG,EG±CG；

2

E

圖2

點(diǎn)F在AB的左側(cè)時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

延長(zhǎng)EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,如圖3所示：

；G是DF的中點(diǎn)，

?\FG=DG,

在4EFG和△HDG中，

EG=HG

<ZEGF=ZHGD,

FG=DG

.,.△EFG^AHDG(SAS),

；.EF=HD,ZEFG=ZHDG,

ABEF是等腰直角三角形，

；.EF=BE,ZBEF=90°,

.\BE=DH,

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,ZABC=ZBCD=90°,BC=CD,

；.NBNF=NCDG,

■:ZEFG+ZBNF+ZBEF+ZABE=ZHDG+ZCDG+ZCDH=360°,

:.ZBEF+ZABE=ZCDH,

ZABC+ZABE=ZCDH,即NCBE=NCDH,

在ACBE和△CDH中，

BE=DH

<ZCBE=ZCDH,

BC=CD

/.△CBE^ACDH(SAS),

/.CE=CH,ZBCE=ZDCH,

/.ZECH=ZBCD=90°,

AECH是等腰直角三角形,

VEG=HG,

1

,\CG=-EH=EG,EG1CG；

2

圖3

(3)如下圖所示：作EM垂直于CB的延長(zhǎng)線與M,

?.?△BEF為等腰直角三角形，BF=3,

3J2

,BE=^—,ZABE=45°,

2

VEM1BM,AB±CM,

.\ZEBM=45°,

???AEMB為等腰直角三角形,

.3

/.EM=BM=—,

2

VBC=4,

由(2)知，△GEC為等腰直角三角形,

，CG=EG=^i^,

2

.aV65V65165

??^ACEG-----x----x———?

2228

【題目點(diǎn)撥】

本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練

掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于壓軸題型.

22、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【解題分析】

(1)根據(jù)等量代換得到BE=CF,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=DC.利用“SSS”得△ABF也4DCE.

(2)平行四邊形的性質(zhì)得到兩邊平行，從而/B+NC=180。.利用全等得NB=NC,從而得到一個(gè)直角，問(wèn)題得證.

【題目詳解】

(1),/BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,

；.BF=CE.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB=DC.

在^ABF^DADCE中，

VAB=DC,BF=CE,AF=DE,

/.△ABF^ADCE.

(2)VAABF^ADCE,

AZB=ZC.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB//CD.

.,.ZB+ZC=180°.

:.NB=NC=90。.

二平行四邊形ABCD是矩形.

23、(1)出發(fā)1秒后，AP3Q的面積等于60加2；(2)出發(fā)0秒或2.8秒后，PQ的長(zhǎng)度等于7cm.

【解題分析】

(1)設(shè)x秒后，AP5Q的面積等于6°加2,根據(jù)路程=速度X時(shí)間，即可用x表示出AP、BQ和BP的長(zhǎng)，然后根據(jù)

三角形的面積公式列一元二次方程，并解方程即可；

(2)設(shè)V秒后，P。的長(zhǎng)度等于7。"，根據(jù)路程=速度X時(shí)間，即可用y表示出AP、BQ和BP的長(zhǎng)，利用勾股定理

列一元二次方程，并解方程即可.

【題目詳解】

解：(1)設(shè)x秒后，AP3Q的面積等于60加2，

點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A3邊向點(diǎn)3以1s/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)3開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以2cM/s的速度移動(dòng)

/.AP=x,BQ=2x

:.BP=7-x

則有g(shù)(7—x)x2x=6

西=1,々=6(此時(shí)2X6=12>BC,故舍去)

答：出發(fā)1秒后，AP3Q的面積等于60加2

(2)設(shè)V秒后，PQ的長(zhǎng)度等于7c機(jī)

?.?點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A3邊向點(diǎn)3以1勿/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)3開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以2c加/s的速度移動(dòng)

AAP=y,BQ=2y

:.BP=1—y

(7-y)2+(2y)2=72

解得％=0,%=2.8

答：出發(fā)0秒或2.8秒后，PQ的長(zhǎng)度等于7cm.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，掌握幾何問(wèn)題中的等量關(guān)系和行程問(wèn)題公式是解決此題的關(guān)鍵.

24、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)1

【解題分析】

（1）利用平行線的性質(zhì)得到NCE4=90，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，

（2）利用平行四邊形的判定定理判定四邊形尸G為平行四邊形，再利用（1）得結(jié)論即可得證，

（3）設(shè)GF=x,則AF=5—%,利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到C尸、A尸和AC之間的關(guān)系，解出x即可.

【題目詳解】

（1）證明：AG//BD,CF±BD,

.-.CF±AG.

又D為AC的中點(diǎn)，

.-.DF=-AC,

2

又BD=-AC,

2

..BD=DF,

（2）證明：BD//GF,BD=FG,

四邊形BDFG為平行四邊形，

又BD=DF,

二四邊形BDFG為菱形，

（3）解：設(shè)GF=x,則AF=5—x,AC=2x,

在Rt_AFC中，（2x）2=（">+（5—x）2,

解得：X]=2,X2=-W（舍去），

.?.GF=2,

???菱形BDFG的周長(zhǎng)為1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識(shí)，正確掌握這些定義性質(zhì)