遼寧省八市八校2024屆度高三第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

遼寧省八市八校2024屆度高三第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.集合/,集合8={x|0<x<3},則()

A.{x|0<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{1,2}D.{0,1,2)

2.在概率論和統(tǒng)計學(xué)中用協(xié)方差來衡量兩個變量的總體誤差，對于離散型隨機變量X,

九定義協(xié)方差為Cov(x,y)=E(xy)-￡(x)E(y),已知x,丫的分布列如下表所示,

其中O<P<I,則Cov(x,Q的值為()

X12

PP1-P

Y12

P1-。P

A.0B.1C.2D.4

3.已知函數(shù)/(x)=sin/x+，(o>0)相鄰兩個對稱軸之間的距離為2萬，若/(x)在

(-m,m)上是增函數(shù)，則冽的取值范圍是()

A.(0,~^\B.(0,~^\C.(0,^-]D.(0,^-]

4.已知等差數(shù)列{與}的前“項和為"，若…，當%+?！?=生時，有%+%=g,

mn

則黑小()

A.(加+〃)2B.一(加+〃)2C.m2-n2D.n2-m2

5.英國著名數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒(TaylorBrook)以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的

定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一

N57.

個函數(shù)，如：sinx=x-----+----------+...,其中〃!=lx2x3x…x〃.根據(jù)該展開式可知，

3!5!7!

357

與2-22+二?-二2+…的值最接近的是()

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

試卷第1頁，共6頁

C.cos24.6°D.cos65.4°

6.已知二面角。一/一夕的平面角為e[o<￡￡,C_L/,AB與

平面，所成角為g.記A/CD的面積為S1,△BCD的面積為邑，則亮的取值范圍為（）

3?

P1

7.已知函數(shù)〃x）的定義域為R,對任意xeR,有/'（無）-〃x）>0,則“x<2”是

“e"（x+l）>eV（2x-3）”的（）

A.充分不必要條件必要不充分條件

C.既不充分又不必要條件充要條件

8.已知點川尤。,比）是雙曲線C：1-g=l（a>0,b>0）上位于第一象限內(nèi)的一點，耳,工分

ab

別為。的左、右焦點，。的離心率和實軸長都為2,過點A的直線/交x軸于點“工,0,

交了軸于點N,過耳作直線的垂線，垂足為7/,則下列說法錯誤的是（）

2

A.。的方程為——匕=i

3

點N的坐標為|0,

C.?！ǖ拈L度為1,其中。為坐標原點

D.四邊形么耳人好面積的最小值為4百

二、多選題

9.在棱長為2的正方體力BCD-44G。中，"為8c邊的中點，下列結(jié)論正確的有（）

A.與。內(nèi)所成角的余弦值為巫

B.過三點/、M、2的截面面積為？

7T

c.四面體4G2。的內(nèi)切球的表面積為:

D.E是cq邊的中點，尸是邊的中點，過￡、M、下三點的截面是六邊形.

10.定義：若數(shù)列｛4｝滿足，存在實數(shù)M,對任意力eN*,都有。則稱M是數(shù)

試卷第2頁，共6頁

列｛%｝的一個上界.現(xiàn)已知｛6｝為正項遞增數(shù)列，b?=—(n>2),下列說法正確的是

an

()

A.若｛%｝有上界，則包｝一定存在最小的上界

B.若｛4｝有上界，則｛%｝可能不存在最小的上界

,、〃1

C.若｛4｝無上界，則對于任意的〃eN*,均存在左eN*,使得一^<而去

an+k

D.若｛4｝無上界，則存在左eN*,當〃>后時，恒有打+4+L+4<”2023

11.已知函數(shù)〃x)=x(l-lnx),下列選項正確的是()

A./(x)有最大值

C.若xNe時,/(x)-a(e-x)W0恒成立，則aWl

D.設(shè)3為兩個不相等的正數(shù)，且箋-詈=；-；，貝m

12.2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行.在“一帶一

路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文

化、茶文化、酒文化.這次晚宴菜單中有“全家福”“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰

花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”.假設(shè)在上菜的過程中服務(wù)員隨機上這八道菜

(每次只上一道菜)，貝！)“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為.

13.《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹

高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座

信號塔的高度.如圖，把塔底與塔頂分別看作點C,D,CD與地面垂直，小李先在地面

上選取點/,B(點42在建筑物的同一側(cè)，且點4瓦C,。位于同一個平面內(nèi))，測得

AB=20扇，在點A處測得點C,。的仰角分別為30。,67°,在點3處測得點。的仰角為

3

335,則塔高為m.(參考數(shù)據(jù)：sin37°?-)

試卷第3頁，共6頁

D

14.已知球。的表面積為12兀，正四面體48CD的頂點2,C,。均在球。的表面上，

球心。為△BCD的外心，棱與球面交于點P若Ne平面四，Be平面4,Ce平

面里,De平面%，%+]?=1,2,3)且％與%+](，=1,2,3)之間的距離為同一定值，棱

AC,AD分別與心交于點。，R,則APQR的周長為.

四、解答題

15.已知在“BC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中

a=4,4/cosC=V3Z>-csinA.

⑴求4

(2)已知直線為/A4c的平分線，且與BC交于點若=求AA8C的周

3

長.

16.如圖，在四棱臺中，底而/BCD為平行四邊形，側(cè)棱。2,平面

ABCD,DA=45]=4,AB=8,N/DC=120°.

(1)證明：BD1AXA；

⑵若四棱臺ABCD-A^QD,的體積為變1,求平面ZDQ4與平面8CC百所成的銳二

3

面角的余弦值.

17.某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗.該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的

接觸傳染，現(xiàn)有〃只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為;，被感染的白鼠數(shù)

用隨機變量X表示，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨立

(1)若尸(X=5)=尸(X=95),求數(shù)學(xué)期望E(X)；

試卷第4頁，共6頁

(2)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為。，現(xiàn)有兩個不同的研究團隊理論研究發(fā)現(xiàn)概

率p與參數(shù)e(o<e<i)的取值有關(guān).團隊/提出函數(shù)模型為。=山。+。)-：。2,團隊8

提出函數(shù)模型為0=g(l-e-°).現(xiàn)將100只接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，

進行實驗，隨機變量X,(i=l,2,…,10)表示第i組被感染的白鼠數(shù)，將隨機變量

X,1=1,2,…,10)的實驗結(jié)果X,?=1,2,…,10)繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示.

木感染只數(shù)

6

5

4

3

2

1

I口「nI”川>

O12345678910組數(shù)

(i)試寫出事件“&=%,乙招)=%?！卑l(fā)生的概率表達式(用P表示，組合數(shù)不

必計算)；

(ii)在統(tǒng)計學(xué)中，若參數(shù)9=為時使得概率尸(&=占,工2=%,…,入。=再0)最大，稱4是

。的最大似然估計.根據(jù)這一原理和團隊/,8提出的函數(shù)模型，判斷哪個團隊的函數(shù)模

型可以求出。的最大似然估計，并求出最大似然估計.參考數(shù)據(jù)：In；=0.4055.

2

(1)4045

18.已知平面上一動點尸到定點尸J,0的距離比到定直線x=-2023的距離小二胃,

記動點尸的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)點/(2,1),MN為C上的兩個動點，若8恰好為平行四邊形腿的其中三個

頂點，且該平行四邊形對角線的交點在第一，三象限的角平分線上,記平行四邊形M4N3

的面積為S,求證：SM巫.

9

19.大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊含的價值，

數(shù)據(jù)篩選在整個數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會起到事半功倍的

效果.現(xiàn)有一個“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作〃M,N)刪去一個無窮非減正整

數(shù)數(shù)列中除以"余數(shù)為N的項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非

減正整數(shù)數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛%｝的通項公式為=3"T,〃eN+,通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對數(shù)列

｛%｝進行〃3,1)操作后得到也｝,設(shè)｛%+b\前?項和為邑.

試卷第5頁，共6頁

⑴求S.；

⑵是否存在不同的實數(shù)p,q/eN+,使得J,Sq,S,成等差數(shù)列？若存在，求出所有

的（P，4/）;若不存在，說明理由；

s

（3）若e“=dn、T，"eN+,對數(shù)列何｝進行“3,0）操作得到優(yōu)｝,將數(shù)列優(yōu)｝中下標

除以4余數(shù)為0,1的項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到｛入｝,再將｛入｝的每一

項都加上自身項數(shù)，最終得到｛g｝,證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是｛&｝中相鄰兩項

的和.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】列舉法表示出集合A,進而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.

【詳解】因為Z={0,1,2},所以/口8={1,2},

故選：C

2.A

【分析】

根據(jù)題意可得打的分布列，￡(打)，E(X)和后⑺的值，再根據(jù)Cov(X,y)的公式計算即

可.

【詳解】

Cov(X,y)=-7?2+77+2-(2-77)(1+77)=0.

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)題意可得周期，進而求出0,再求出/(X)的單調(diào)區(qū)間，即可求出.

【詳解】因為"X)=sin[ox+j(0>0)相鄰兩個對稱軸之間的距離2兀,

則17=2/，即7=4〃，則。=生=1,則/(x)=sin[!x+f],

24兀24J

由24左一事vg無+：<2左打+w,得4k兀一芳Wx<4左乃+：(4eZ),

所以/⑺在卡卷上是增函數(shù)，由(-見相)1-y,|得0<加昌.

故選：B.

4.B

答案第1頁，共19頁

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列通項及前n項和公式計算化簡即可求解.

…到、2n22m2

【詳解】*.*Q]+Ct------，%+%-------,

mmn

制In22m22(

人Jam—an==，

mnnm

-2(m-n}\m2+n2+nm]-2(m2+n2+nm]

：.(m-n)d=」——-----------，則d='--------L

nmnm

所以S=(切+")(%+。)=(〃2+磯4+4"+時

^m+n-c-c

，c/2?P

/、2\n+m+nm

(m+n\-------n?—------------------

mmn

6m-n)2

2

故選：B.

5.C

【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即

可.

【詳解】原式=sin2”in(2x57.3°)=sin(90°+24.6°)=cos24.6°,

故選：C.

6.C

【分析】

2兀

作出二面角的平面角以及與平面月所成角，并表示出=與■-0,結(jié)合三角形面積

公式以及正弦定理表示出?=嚷=?-.二夕,結(jié)合。范圍確定sin2氏4E范圍，即可求

S2BE2smZBAE

得答案.

【詳解】

作4E_LCD,垂足為E,連接8E,

答案第2頁，共19頁

1

因為N5_U,即/3_LCr>,/￡口/8=4，后,/8(=平面月￡'3,

故CD_L平面AEB,BEu平面AEB,故CD_LBE,

又CDu/,故平面平面NEBA6=3￡,

qr

則48在月內(nèi)的射影在BE上，則N/2E為與平面尸所成角，即=

由于/E_LCD,CDVBE,故乙4仍為二面角0一/一〃的平面角，即//匹

岳；AExCDAE

邑-BExCDBE

2

AEBEAB

在A48E中,

sin/ABEsinZBAEsinZAEB

則AE_sin/ABE_6]

、BE~sinZBAE~2sin/.BAE

TT7T7IT

而o<e<—,則/5/月=?！猠=——o,

233

則/BAEe.\sin/BAEG(^-,1],

—AEsin/ABE百16仄

故——=--------=-------------G——,V3

BEsinZBAE2sinZBAE2

故選：C

7.A

【分析】

根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=qd，可得函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解得

x>4,由充分性必要性的定義，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為/'(X)-/(x)>0,則/'(x)〃x)>0,

e

令g(x)=竽，則g'(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

e"(x+l)>e4〃2x_3)o/'：1)>"昌>0g(x+l)>g(2x—3)

ox+l>2x-3<=>x<4,

答案第3頁，共19頁

所以“x<2”是氣了（計1）>e了（2》-3），，的充分不必要條件，

故選：A.

8.B

【分析】對A,根據(jù)條件列式計算可得解；對B,求出直線的方程，令x=0,求得其

與V軸的交點可判斷；對C,求出直線片”的方程與直線的方程聯(lián)立解得點〃的坐標,

并求出川可判斷；對四邊形/哂的面積內(nèi)引（圖+|焉）=；陽引

D,gyo+~利用

基本不等式求解判斷.

【詳解】對于A,因為—―"一?，解得。=1,。=6,所以其方程為/一匕=],故A

__3

2a=2

正確；

k:%X。%3%/1

對于B,■一、.1一只一「%,所以/"的方程為了=」x-一

3

所以令x=0得直線/交了軸于點0,,故B錯誤;

Iyj

對于C,直線耳〃的方程為了=等卜+2）,與直線的方程聯(lián)立解得H[蕓

1777~、2(_y

所以I。*=J上迎+二^=1,故c正確;

V12x0—1J12x0—1?

對于D,四邊形明明的面積為杷可為+』=2%+<■卜475,當且僅當為=有時

zIy（）J<y（））

等號成立，故D正確.

故選：B.

答案第4頁，共19頁

9.AD

【分析】

對于A,建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解；對于B,作出過三點/、河、

2的截面，即可求其面積；對于C,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求解；對于D,

利用幾何作圖，作出過￡、M、尸三點的截面，即可判斷.

【詳解】對于A,以4為坐標原點，以4。，44，44所在直線為蒼-2軸，建立空間直角坐

/(0,0,2),M(l,2,2),4(0,2,0),〃(2,0,0),則痂=(1,2,0),函=(-2,2,0),

AM-DB2Vio

貝！Jcos(AM,D\Bj=X{

V5-2V2-10

與所成角的范圍為（0,中，故與所成角的余弦值為X3,A正確；

210

對于B,設(shè)N為C4的中點，連接ACV,則〃/3，且=

則梯形/跖\@即為過三點/、M、2的截面,

MN=C,AD[=2貶,AM=D、N=后，則梯形高為j（石『-叵=孚

故梯形面積為為5='30乂迪="B錯誤；

222

答案第5頁，共19頁

對于c,如圖，四面體4c3。的體積等于正方體體積減去四個角上的直三棱錐的體積,

該四面體的棱長為2亞，其表面積為S=4x；x2&'x2"xsin/=8G,

設(shè)四面體內(nèi)球球半徑為r,貝八x8&xr，

333

故四面體4G8。的內(nèi)切球的表面積為4b2=$47r,c錯誤；

對于D,如圖，延長Affi1和耳q的延長線交于J,則GE,

則JG=MC,設(shè)〃為4A的中點，則JG=D",

連接即，則“GG*"TO。，則GG=，G,

故G為AG的中點，WHG//AC\〃AC〃FM,

同理延長交于連接交44］于K,

K即為441的中點，則K,￡在尸確定的平面內(nèi)，

則六邊形回化6上次即過￡、M、尸三點的截面，是六邊形，D正確,

故選：AD

【點睛】難點點睛：本題綜合考查了空間幾何中的線線角、截面、以及內(nèi)切球問題，難度較

大，解答時要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間向量以及等體積法和幾何

答案第6頁，共19頁

作圖解決問題.

10.ACD

【分析】AB選項，由｛4｝有上界判斷；C.根據(jù)｛%｝無上界，且為正項遞增數(shù)列，可得上匚->0

an+k

判斷；D.用反證法判斷.

【詳解】A.若｛4｝有上界，則｛%｝一定存在最小的上界，故正確;

B.若｛%｝有上界，則｛七｝一定存在最小的上界，故錯誤;

C.若｛%｝無上界，又｛與｝為正項遞增數(shù)列，則〃f+00時，%—+00,

1

則2-0,所以巫<函面，故正確;

a,a

n+kn+k

D.假設(shè)對任意"〉左時，恒有H+4+L+6“2”-2023,

九一1

不妨設(shè)?！?2〃,則仇+4+L+bn=2

取左=4047,當左>4047時，b+b,+L+b=n-2023,

2：2

與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立,

所以若｛%｝無上界，則存在左eN*,當">無時，恒有4+&+L+”<”-2023,故正確;

故選：ACD

11.ACD

【分析】

對于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；對于B：利用作差法比較大??；對于

C：利用定點分析判斷；對于D：利用極值點偏離分析證明.

【詳解】對于選項A：由題意可得:函數(shù)“X)的定義域為(0,+司，且f(x)=1-Inx-l=-lnx,

令H(x)>0,解得0<x<l；令/3<0,解得x>l；

則函數(shù)/(尤)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+動上單調(diào)遞減，

所以“X)有最大值/⑴=1，故A正確；

對于選項B：因為/(g]=3]]_ln3]=3(2ln3),/pq='(]_[n,]=2,

e)eve)e\e)e

/I)3(2-ln3)24-31n31.e4

則/_---------=-------=-ln—>0n,

)[ejeeee27

答案第7頁，共19頁

所以/g>C，故B錯誤；

對于選項C：構(gòu)建b(x)=/(x)-〃(e-x),則F(x)=-lnx+〃,

因為廠(e)=0,且當時，尸(x)40恒成立，

則/(e)=-l+aVO,解得

若a<1,貝[J尸'(x)=-lnx+a<0當xNe時恒成立，

則尸卜)在[e,+8)上單調(diào)遞減，貝小⑴〈尸(e)=0,符合題意

綜上所述：。(1符合題意，故C正確；

,，一,In%.Inx.11

對于選項D：因為---------=------,

再4、2再

|l-ln—|=--|1-ln-W|=/|—|，

X1VX1)X2\X2)Ix"\X2J

由選項A可知：函數(shù)/(無)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+⑹上單調(diào)遞減，

當x趨近于0時，〃x)趨近于0,且令/'(x)>0,解得0<x<e,

C111

不妨設(shè)0<一<1<一<e，

再x2

構(gòu)建g(x)=/(l+x)—/(I—X),X￡(O,1),

因為8'(')=/'(1+1)+/'(1—%)=—加(1+X)—111《—1)=—In(—x20在(0,1)上恒成立,

則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,可得g(x)〉g(0)=0,

所以/(l+x)〉/(l—x),x￡(o,l),即〃2—X)〉/(X),X￡(0,1),

可得//=//<42一口,

('JI

注意到了(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，且1<2一:<2』<1<e,

所以，>2-工，即工+工>2,故D正確；

xX[X]

2x2

故選：ACD.

答案第8頁，共19頁

方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟

(1)作差或變形；

(2)構(gòu)造新的函數(shù)MH；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究力卜)的單調(diào)性或最值；

(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩

個函數(shù)的最值問題.

12.-/0.25

4

【分析】根據(jù)元素相鄰關(guān)系進行捆綁并結(jié)合排列問題得出結(jié)果.

【詳解】

服務(wù)員隨機上這八道菜有A；種排法，

“沙蔥牛肉”，“北京烤鴨”相鄰有A；種排法，

A.A，1

所以所求概率尸/

A；4

故答案為：—.

4

13.24

【分析】

在A/CD中，求出力。=20力，ZCAD=iT,ZACD=\2(T,利用正弦定理求解即可.

【詳解】如圖，延長DC與8/的延長線交于點￡,

則NDAE=67°,NCAE=30°/DBA=33.5°,

所以NAD5=67°-33.5°=335,/CAE=90°-30°=60°,

答案第9頁，共19頁

所以ND=AB=20G.

在A/CA中，=67-30°=37°,^CZ)=180°-60°=120°,

o

Aj-y-20>/3X—

「八力Z)sin37s、

由正弦定理，得CD=工—寧a=24(m).

smlzO<3

14.1+V7/V7+1

【分析】

結(jié)合球的表面積公式，根據(jù)正三角形外接圓的性質(zhì)求得邊長，利用三點共線及數(shù)量積的運算

13

律求得4尸=知=1,然后利用平行平面的性質(zhì)求得4R=1,AQ=~,再利用余弦定理求

32

得PQ=RQ],即可求解AP0R的周長.

【詳解】設(shè)/與%@=1,2,3)之間的距離為d,設(shè)球O的半徑為R,則由題意得4位2=12兀，

解得R=e，

所以。5=0P=G，所以N8=3C=百03=3,所以==在，

由4,P,3三點共線，故存在實數(shù)幾使得而=203+(1-2)礪(0<2<1),

所以赤2=22況2+(]_2)2礪2+22(]_2囚.礪，所以3=63+3(1_；1)2,即

2—2—1—AP11

解得力=—，所以。尸=—GM+—O3,所以——=-,所以N尸=—/8=1,

333PB23

又見〃aM{i=1,2,3)且%與%(i=1,2,3)之間的距離為d,則空=二=：,梨=二=1,

AD3a3AC2a2

所以NR=1,AQ=—,所以PQ=RQ={l+\—2xlxgxg=,

又PR=/D=1,所以AP。及的周長為I+2X正=1+J7.

32

故答案為：1+V?

答案第10頁，共19頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查學(xué)生的空間想象能力，解題關(guān)鍵是找到點尸,。，尺的位置.本

題中應(yīng)用正四面體的性質(zhì)結(jié)合球的半徑，求出邊長，利用平行平面的距離，得到所求三角形

的邊長即可求解.

71

15.⑴4=§

(2)2指+4

【分析】

(1)利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式即可得解；

(2)利用三角形面積公式與余弦定理得到關(guān)于仇。的方程組，結(jié)合整體法即可得解.

【詳解】(1)根據(jù)題意可得、回“05。+。5詁4=血？，

由正弦定理得GsinNcosC+sin4sinC=樞sinB，

又Gsin5=6sin(/+C)=3"sin/cosC+J_cos4sinC,

故sinAsinC=V5cos/sinC,

又sinCW0,所以sin/=GcosA,貝!Jtan4=8，

因為北(0,兀)，所以4g

(2)因為+，

所以工6csinZBAC=-AM-c-sinZBAM+X-AM?6?sinZCAM,

222

答案第11頁，共19頁

\兀

又/河平分/5/C,所以/A4M=/C4M=—一

26

所以4cx"=L迤cxL+L馮X」

22232232

貝1J百兒=逑（6+。），即6c=萃（6+c）

33V3

由余弦定理得“2=/+02-2bccosNBAC,即16=/+c?一隊，

所以16=(6+4-36c=0+cf-半@+c),解得6+c=2灰(負值舍去),

故“8c的周長為2指+4.

16.（1）證明見解析

【分析】

（1）利用余弦定理求出。2=46，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可證明；

（2）利用臺體體積公式求出。2=1,再建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量法求出

面面角余弦值即可.

【詳解】（1）

底面ABCD為平行四邊形，

ZADC=120°,ZDAB=60°.

DA=4,AB=8,

由余弦定理可得：DB2=AB2+AD2-2ABxADcos6QP=48,:.DB=A6

貝UDA2+DB2=AB2，DA1DB,

側(cè)棱_L平面/BCD,D3u平面/BCD,■.DDiLDB,

又?.?ZX4u平面NDA4，ORu平面/Z）A4，且zwnz）n=。，

DB1平面ADDXAX,

又AAtu平面ADDH,DB±AAX.

(2)

答案第12頁，共19頁

四棱臺中/BCD-48GA的體積為空",

3

/=~^(^ABCD+^AXBXCXD}+-\JABCD'AXBXCXDX)，

.'.~DD」(/￡>.DB+42.+&D.DB-g.DR)，

:.^^=LDD1.286,解得：DD[=1.

33

如圖，以點。為原點，DA,DB,所在直線為x軸，>軸，z軸,

建立如圖的空間直角坐標系,

則/(4,0,0),5(0,4^,0),C(-4,4^,0),耳(0,26』),

.-.5C=(-4,0,0),西=(0,-2用)，

設(shè)平面3CG4的法向量為力=(x/，z),

n-BC=-4x=Q

則有＜所以萬=(0,1,2石)

n?BBX=-2y/3y+z=0

平面ADD^的法向量為灰=(0,1,0),

設(shè)平面ADD.A,與平面BCCA所成銳二面角為0,

m-n1V13

則cos0=|cos/n,w|=

|m||?|V1313

17.(1)50

325

(2)(i)(C；0)3(cy(C：0)2(C：J7(1-pf；(ii)團隊8可以求出。的最大似然估計，4=In2

【分析】

(1)由題意可得X?再根據(jù)尸(X=5)=尸(X=95)求解即可;

(2)⑴設(shè)4f=再,瑞=均…,乂。="',依題意得

答案第13頁，共19頁

即可;

(ii)記g(p)=ln(C；°)3(盤,)3(%)2(墨)2+25In0+75ln(l-p),求導(dǎo)分析單調(diào)性可得最大值,

分別在團體4,2中提出函數(shù)模型即可得答案.

【詳解】(1)

由題知，隨機變量X服從二項分布，X?

由尸(X=5)=尸(X=95),

得〃=100,所以磯用=吵=50；

(2)

(i)A=iiX]=項,X[=%Xio=石o，

尸⑷

=[c：°p(l—p)][cQ2(l_p)[[cM3(i_p)7]2g04(i_p)6gop6(1/4],

所以尸(4)=(C；J(C；J(C：°y(C：°)?5(l-7f；

(ii)記gS)=ln(C；：y(C；J(C：J(C：J+251np+751n(-p),

當0<"：時，g'(p)>0,g(p)單調(diào)遞增；

當:<°<1時，g'(p)<0,g(。)單調(diào)遞減；

當p時，g(p)取得最大值，即P取得最大值，

在團隊A提出的函數(shù)模型p=ln(l+O)0。(0<6<1)中，

o]4—4丫2—4Y+3

記函數(shù)工(x)=ln(l+x)―￡x2,(0<x<l),----5工=―T7-——,

31十XJJI1十XI

當0<x<g時，<'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

答案第14頁，共19頁

當g<x<l時，<'(x)<0,工(x)單調(diào)遞減，

當》=:時，工(x)取得最大值In彳-w<：ln4B0.4055,則。不可以估計，

226412J

在團體B提出的函數(shù)模型p=；(l-e")中，

記函數(shù)人(x)=，l-ef),力(x)單調(diào)遞增，

令人(%)=；，解得x=ln2，

則團隊3可以求出。的最大似然估計，且％=In2是。的最大似然估計.

【點睛】求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：

(1)根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；

(2)求出隨機變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；

(3)根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望

(在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等,

可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算).

18.(1)/=2%；

(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)距離公式列等量關(guān)系即可求解，或者利用拋物線的定義求解，

(2)根據(jù)點差法可得斜率關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，即可根據(jù)弦長公式求

解長度，由點到直線的距離公式表達面積，即可利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.

【詳解】(1)解法一：設(shè)尸(xj),易知x>-2023,

根據(jù)題意可得=x+2023-曹，化簡得/=2x,

所以C的方程為y=2x.

解法二：因為點P到定點方J的距離比到定直線x=-2023的距離小f,

所以點尸到定點尸的距離與到定直線的距離相等，

答案第15頁，共19頁

由拋物線的定義可知，點尸的軌跡是以定點尸為焦點，定直線x=-g為準線的拋物線,

所以C的方程為了2=2X.

（2）證明：設(shè)M（XQJ,N（X2/2），直線九W的斜率為左（左WO）,線段MN的中點為

因為平行四邊形M4g對角線的交點在第一、三象限的角平分線上,

所以線段跖V的中點。在直線了=尤上，

設(shè)0（九冽）（〃件0）,所以[必2一?

[%=2%,

所以（%-％）（必+）2）=2（%一馬）,

又M+%=2見,％=k,

再~X2

所以而=1,即4=’.

m

設(shè)直線MTV的方程為〉-冽=，（%-加）,

m

Wflx-my+m2-m=0,

聯(lián)立『「加…~二°,整理得/一2吵+2--2加=0,

[y=2x,

所以△=8加一4加之＞o,解得0＜加＜2,

%+%=2加,%%=2加2-2加，

則\MN\=J1+加2,一刃=J1+加2]（必+8）2一4凹已

=Jl+m2^4m2—4^2m2—2m^=2\J1+m2,2加-加2.

答案第16頁，共19頁

\l—2m+m2|

又點A到直線MN的距離為d=??，

y/l+m2

____________22tn+in?<_______

2J22

所以S=2SAMN=\MN\'d=+m-f'=2yj2m-m\2-2m+m\,

V1+/M2

記/=y/2m—m2>

因為0(加<2,所以/e(O,l],

所以S=212-〃)=-2/3+M/e(O,l].

4/(0=一2戶+4/Je(0』，則f'(t)=-6t2+4,

令仆)=0,可得才=乎,

當,「0卓時，/⑺>0,/■⑺在區(qū)間(0,當內(nèi)單調(diào)遞增，當/e怦,1時，

\77\

在區(qū)間,1上單調(diào)遞減,

所以當仁如，即加=1土立時，/■?)取得最大值，即半，

33V)

所以

9

【點睛】

方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)

題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作

用.另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點的坐標之間的

關(guān)系，進