第9章 整式乘法與因式分解（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊章節(jié)知識講練1.掌握整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2.會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算，掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項式的因式分解.知識點(diǎn)01：冪的運(yùn)算【高頻考點(diǎn)精講】1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.6.負(fù)指數(shù)冪：(，為正整數(shù)).任何不等于0的數(shù)的－次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù).【易錯點(diǎn)剖析】公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡潔.知識點(diǎn)02：整式的乘法【高頻考點(diǎn)精講】1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.【易錯點(diǎn)剖析】運(yùn)算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應(yīng)用比較廣泛的公式：.知識點(diǎn)03：乘法公式【高頻考點(diǎn)精講】1.平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 【易錯點(diǎn)剖析】在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.【易錯點(diǎn)剖析】公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.知識點(diǎn)04：因式分解【高頻考點(diǎn)精講】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.【易錯點(diǎn)剖析】落實好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.54一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?長沙期末）下列計算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)+a2＝a3 B．2a6÷a2＝2a3 C．2a2?3a3＝6a6 D．（3a3）2＝9a6解：A、a與a2不能合并，故A不符合題意；B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合題意；C、2a2?3a3＝6a5，故C不符合題意；D、（3a3）2＝9a6，故D符合題意；故選：D．2．（2分）（2023秋?惠安縣期末）已知（2023+x）（2024+x）＝25，則（2023+x）2+（2024+x）2的值為（）A．49 B．51 C．55 D．65解：∵（2023+x）（2024+x）＝25，∴（2023+x）2+（2024+x）2＝[（2023+x）﹣（2024+x）]2+2（2023+x）（2024+x）＝（2023+x﹣2024﹣x）2+2（2023+x）（2024+x）＝（﹣1）2+2×25＝1+50＝51．故選：B．3．（2分）（2023秋?晉江市期末）若等式（3x+1）（2x﹣1）＝6x2+px﹣1成立，則p的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1解：（3x+1）（2x﹣1）＝6x2﹣3x+2x﹣1＝6x2﹣x﹣1，∵（3x+1）（2x﹣1）＝6x2+px﹣1，∴p＝﹣1，故選：C．4．（2分）（2023秋?惠安縣期末）若x2+mxy+25y2是一個完全平方式，那么m的值是（）A．±10 B．﹣5 C．5 D．±5解：∵x2+mxy+25y2是一個完全平方式，∴mxy＝±2?x?5y，解得m＝±10．故選：A．5．（2分）（2023秋?偃師區(qū)期末）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構(gòu)成，各部分的面積數(shù)據(jù)如圖所示．右邊場地為長方形，長為2（a+b），則寬為（）A． B．1 C． D．a(chǎn)+b解：左邊場地面積＝a2+b2+2ab，∵左邊場地的面積與右邊場地的面積相等，∴寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝，故選：C．6．（2分）（2024?邵陽模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．3a+a2＝3a3 B．（﹣3a3）2＝6a6 C．a(chǎn)2?a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2解：∵3a與a2不是同類項，不能合并，∴A不正確，不符合題意；∵（﹣3a3）2＝（﹣3）2a3×2＝9a6，∴B不正確，不符合題意；∵a2?a3＝a2+3＝a5，∴C正確符合題意；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴D不正確，不符合題意；故選：C．7．（2分）（2023秋?南安市期末）要使（x+m）（x﹣1）的結(jié)果不含x的一次項，則m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2解：（x+m）（x﹣1）＝x2﹣x+mx﹣m＝x2+（m﹣1）x﹣m，∵（x+m）（x﹣1）的結(jié)果不含x的一次項，∴m﹣1＝0，m＝1，故選：A．8．（2分）（2023秋?鄰水縣期末）如圖，點(diǎn)D、C、H、G分別在長方形ABJI的邊上，點(diǎn)E、F在CD上，若正方形ABCD的，面積等于15，圖中陰影部分的面積總和為6，則正方形EFGH的面積等于（）A．3 B．4 C．5 D．6解：設(shè)大、小正方形邊長為a、b，則有a2＝15，陰影部分面積為：，即a2﹣b2＝12，可得b2＝3，即所求面積是3．故選：A．9．（2分）（2023秋?濱海新區(qū)校級期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2＝1+1+4＝6，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；故選：D．10．（2分）（2023春?市中區(qū)校級期中）如果m2﹣2m﹣3＝0，那么代數(shù)式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．3解：（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2＝m2﹣9+m2﹣4m+4＝2m2﹣4m﹣5，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，當(dāng)m2﹣2m＝3時，原式＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023秋?江漢區(qū)期末）已知a2+a＝1，則（3+a）（2﹣a）＝5．解：（3+a）（2﹣a）＝6﹣3a+2a﹣a2＝6﹣a﹣a2，∵a2+a＝1，∴原式＝6﹣（a2+a）＝6﹣1＝5．故答案為：5．12．（2分）（2023秋?龍山區(qū)期末）已知a2+b2＝13，ab＝6，則a+b的值是±5．解：∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，＝13+12，＝25，∴a+b＝±5．13．（2分）（2023秋?雙遼市期末）如圖，長方形ABCD的周長為12，分別以BC和CD為邊向外作兩個正方形，且這兩個正方形的面積和為20，則長方形ABCD的面積是8．解：設(shè)長方形的長為x，寬為y，由題意得：，∴x+y＝6，∴（x+y）2＝36，∴x2+2xy+y2＝36∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，∴xy＝8，∴長方形ABCD的面積是8，故答案為：8．14．（2分）（2023秋?浦東新區(qū)期末）如果二次三項式x2+mx+16是一個完全平方式，那么常數(shù)m的值是±8．解：∵二次三項式x2+mx+16是一個完全平方式，∴x2+mx+16＝x2±2?x?4+42，即mx＝±2?x?4，解得：m＝±8，故答案為：±8．15．（2分）（2023秋?瑤海區(qū)期末）給等式中的某些字母賦予一定的特殊值，可以解決一些問題．比如對于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝0時，可得32＝c，計算得c＝9；請你再給工賦不同的值，可計算得4a+2b＝16．解：當(dāng)x＝2時，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，化簡得4a+2b+c＝25，∵c＝9，∴4a+2b＝16，故答案為：16．16．（2分）（2023秋?南寧期末）某農(nóng)戶租兩塊土地種植沃柑．第一塊是邊長為am的正方形，第二塊是長為（a+10）m，寬為（a+5）m的長方形，則第二塊比第一塊的面積多了（15a+50）m2．解：由題意得：（a+10）（a+5）﹣a2＝a2+5a+10a+50﹣a2＝a2﹣a2+5a+10a+50＝（15a+50）m2，∴第二塊比第一塊的面積多了（15a+50）m2，故答案為：（15a+50）．17．（2分）（2023秋?浦東新區(qū)期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，則x2+y2＝10．解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，則x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案為：10．18．（2分）（2023秋?雙遼市期末）一個正方形的邊長增加了3cm，面積相應(yīng)增加了39cm2，則原來這個正方形的邊長為5cm．解：設(shè)原來正方形的邊長是xcm．根據(jù)題意得：（x+3）2﹣x2＝39，∴（x+3+x）（x+3﹣x）＝3（2x+3）＝39，解得x＝5．19．（2分）（2023秋?興文縣期中）若規(guī)定符號的意義是：＝ad﹣bc，則當(dāng)m2﹣2m﹣3＝0時，的值為9．解：由題意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以當(dāng)m2﹣2m﹣3＝0時，的值為9．故答案為：9．20．（2分）（2022秋?濟(jì)寧期末）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是對于多項x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9時，則各個因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是104020（答案不唯一）（寫出一個即可）．解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），當(dāng)x＝10，y＝10時，密碼可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?東莞市期末）計算：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．解：原式＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣4）＝x2﹣4x+4﹣x2+4＝﹣4x+8．22．（6分）（2023秋?番禺區(qū)期末）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．解：（1）3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）＝（m﹣2）（x2﹣y2）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．23．（8分）（2023秋?龍山區(qū)期末）兩個邊長分別為a和b的正方形（a＜b＜a），如圖1所示放置，其未重合部分（陰影）的面積為S1，若在圖1的右下角再擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形重合部分（陰影）面積為S2．（1）用含a，b的代數(shù)式分別表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）當(dāng)S1+S2＝64時，求出圖3中陰影部分的面積S3．解：（1）由圖可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，∴當(dāng)a+b＝15，ab＝5時，S1+S2＝225﹣3×5＝210；（3）由圖可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），∴當(dāng)S1+S2＝64時，S3＝（S1+S2）＝×64＝32．24．（8分）（2023秋?綏陽縣期末）閱讀材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．根據(jù)以上材料，利用多項式的配方解答下列問題．（1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（2）當(dāng)x為何值時，多項式x2+6x﹣9有最小值，并求出這個最小值；（3）已知正數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，求a+b+c．解：（1）x2﹣6x﹣27＝（x2﹣6x+9）﹣36＝（x﹣3）2﹣36＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）＝（x+3）（x﹣9）；（2）x2+6x﹣9＝（x2+6x+9）﹣18＝（x+3）2﹣18≥﹣18，此時x+3＝0，即x＝﹣3，那么當(dāng)x＝﹣3時，多項式x2+6x﹣9有最小值，最小值為﹣18；（3）a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，則a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a+b+c＝3+4+5＝12．25．（8分）（2023秋?碑林區(qū)校級期末）探究與實踐問題發(fā)現(xiàn)：（1）用四個長為a、寬為b的長方形拼成如圖①所示的正方形ABCD，由此可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量關(guān)系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；問題探究：（2）如圖②，將邊長為a的正方形APCD和邊長為b正方形BPEF拼在一起，使得A、P、B共線，點(diǎn)E落在PC上，連接AE，若AB＝8，△APE的面積為7.5，求CE的長度；問題解決：（3）如圖③，某小區(qū)物業(yè)準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)規(guī)劃設(shè)計一塊休閑娛樂區(qū)，其中BE、CF為兩條互相垂直的道路，且BG＝CG，EG＝FG，四邊形ABGF與四邊形CDEG為長方形，現(xiàn)計劃在兩個三角形區(qū)域種植花草，兩個長方形區(qū)域鋪設(shè)塑膠地面，按規(guī)劃要求，道路BE的長度為80米，若種植花草每平方米需要100元，鋪設(shè)塑膠地面每平方米需要30元，若物業(yè)為本次修建休閑娛樂區(qū)籌集了25萬元，請你通過計算說明該物業(yè)籌集的資金是否夠用？（道路的寬度均不計）解：（1）根據(jù)題意得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）設(shè)AP＝m，BP＝n，∴AB＝AP+BP＝m+n＝8，∵△APE面積為7.5，∴mn＝7.5，即mn＝15，∵（m+m）2＝（m﹣n）2+4mn，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4ab＝64﹣60＝4，∴m﹣n＝2（負(fù)值舍去），則CE＝PC﹣PE＝m﹣n＝2；（3）該物業(yè)籌集的資金不夠用，說明如下：設(shè)BG＝CG＝sm，EG＝FG＝tm，由題意得：BE＝BG+EG＝s+t＝80（m），兩個三角形區(qū)域的面積之和為BG?CG+FG?EG＝（s2+t2）（m2），∴一共需要的資金為100（s2+t2）+30?2st＝（50s2+50t2+60st）元，∵s+t＝80，∴s2+t2＝（s+t）2﹣2st＝6400﹣2st，∴50s2+50t2+60st＝50（6400﹣2st）+60st＝（320000﹣40st）元，∵（s﹣t）2≥0，∴（s+t）2﹣4st≥0，即st≤＝1600，∴40st≤64000，即320000﹣40st≥256000＞250000，∴該物業(yè)籌集的資金不夠用．26．（8分）（2023秋?湖里區(qū)期末）有五組整式①x2+x，x2+2，x﹣2；②x2+x﹣5，x2+x﹣8，3；③2x2+4x﹣3，2x2+1，4x﹣4；④3x2+x+7，3x2﹣4x+6，5x+1；⑤x2﹣x+1，x2﹣x﹣2，﹣2x+3．這五組整式都具有一些共同特征，我們把具有這種特征的一個整式組稱為“平移整式組”．（1）若某個“平移整式組”中的第一個整式為4x2+3x﹣2，第二個整式為ax2+2（a≠0）．①直接寫出a的值：4；②請求出該“平移整式組”中的第三個整式；（2）若a（x﹣5）2+b（a≠0），2x2﹣8x+8+c，（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8（m為常數(shù)）是一個“平移整式組”，求b﹣c的值．解：（1）①根據(jù)“平移整式組”的定義得：a＝4；故答案為：4；②該“平移整式組”的三個整式分別為4x2+3x﹣2，第二個整式為4x2+2，第三個整式為3x﹣4；（2）∵a（x﹣5）2+b（a≠0）＝ax2﹣10ax+25a+b，2x2﹣8x+8+c，（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8（m為常數(shù)）是一個“平移整式組”，∴a＝2，﹣10ax+25a+b﹣（﹣8x+8+c）＝（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8，整理得：（8﹣10a）x+（25a+b﹣c﹣8）＝（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8，∴8﹣10a＝﹣2m﹣2，25a+b﹣c﹣8＝2（m﹣5）2﹣8，把a(bǔ)＝2代入得：﹣2m﹣2＝﹣12，解得：m＝5，∴50+b﹣c﹣8＝﹣8，整理得：b﹣c＝﹣50．27．（8分）（2023秋?沈丘縣期末）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是a2﹣b2（寫成平方差的形式）（2）將圖1中