人教版【初中數(shù)學】知識點總結(jié)-全面+九年級上冊數(shù)學全冊教案

人教版【初中數(shù)學】

知識點總結(jié)-全面整理十九上數(shù)學全冊教案

人教版初中數(shù)學知識點總結(jié)

目錄

七年級數(shù)學（上）知識點..................................1

第一章有理數(shù)........................................1

第二章整式的加減....................................3

第三章一元一次方程...................................4

第四章圖形的認識初步.................................5

七年級數(shù)學（下）知識點..................................6

第五章相交線與平行線...............................6

第六章平面直角坐標系................................8

第七章三角形.......................................9

第八章二元一次方程組...............................12

第九章不等式與不等式組.............................13

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述.......................13

八年級數(shù)學（上）知識點.................................14

第十一章全等三角形.................................14

第十二章軸對稱.....................................15

第十三章實數(shù)......................................16

第十四章一次函數(shù)...................................17

第十五章整式的乘除與分解因式.......................18

八年級數(shù)學（下）知識點.................................19

第卜六章分式......................................19

第十七章反比例函數(shù).................................20

第十八章勾股定理...................................21

第十九章四邊形.....................................22

第二十章數(shù)據(jù)的分析.................................23

九年級數(shù)學（上）知識點.................................24

第二卜一章二次根式.................................24

第二十二章一元二次根式.............................25

第二十三章旋轉(zhuǎn).....................................26

第二十四章圓......................................27

第二十五章概率.....................................28

九年級數(shù)學（下）知識點.................................30

第二十六章二次函數(shù).................................30

第二十七章相似.....................................32

第二十八章銳角三角函數(shù).............................33

第二十九章投影與視圖...............................34

七年級數(shù)學（上）知識點

人教版七年級數(shù)學上冊主要包含了有理數(shù)、整式的加減、一元一次方

程、圖形的認識初步四個章節(jié)的內(nèi)容.

第一章有理數(shù)

一.知識框架

二.知識概念

1.有理數(shù)：

⑴凡能寫成9（p.q為整數(shù)且p*0）形式的數(shù)，都是有理數(shù),正整數(shù)、0、負整

P

數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù),注

意：0即不是正數(shù)，也不是負數(shù)；-a不一定是負數(shù)，+a也不一定是正

數(shù)；兀不是有理數(shù)；

I正有理數(shù)催慧I整數(shù)正整數(shù)

零

⑵有理數(shù)的分類：①有理數(shù)（零②有理數(shù).負整數(shù)

負有理數(shù)｛看慧,數(shù)i正分數(shù)

?負分數(shù)

2.數(shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度的一條直線.

3.相反數(shù)：

⑴只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；。的

相反數(shù)還是0；

⑵相反數(shù)的和為0oa+b=0oa、b互為相反數(shù).

4.絕對值：

⑴正數(shù)的絕對值是其本身，。的絕對值是0,負數(shù)的絕對值是它的相

反數(shù)；注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的距離；

(a>0)

（2）絕對值可表示為：同(a=0)或同（秋；絕對值的問題

(a<0)

經(jīng)常分類討論；

5.有理數(shù)比大?。海?）正數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越大；（2）正數(shù)永

遠比。大，負數(shù)永遠比。小；（3）正數(shù)大于一切負數(shù)；（4）兩個負數(shù)

比大小，絕對值大的反而小；（5）數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左

邊的數(shù)大；（6）大的數(shù)-小的數(shù)＞0,小的數(shù)-大的數(shù)V0.

6.互為倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒有倒數(shù)；若a

W0,那么。的倒數(shù)是L若ab二loa、b互為倒數(shù)；若ab=loa、b

a

互為負倒數(shù).

7.有理數(shù)加法法則：

（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去

較小的絕對值；

（3）一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).

8.有理數(shù)加法的運算律：

（1）加法的交換律：a+b=b+a；（2）加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+

(b+c).

9.有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+

(-b).

10有理數(shù)乘法法則：

(1)兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘；

(2)任何數(shù)同零相乘都得零；

(3)幾個數(shù)相乘，有一個因式為零，積為零；各個因式都不為零，

積的符號由負因式的個數(shù)決定.

11有理數(shù)乘法的運算律：

(1)乘法的交換律：ab二ba；(2)乘法的結(jié)合律：(ab)c=a(be)；

(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.

12.有理數(shù)除法法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；注意：零

不能做除數(shù)，即仁無意義.

13.有理數(shù)乘方的法則：

(1)正數(shù)的任何次累都是正數(shù)；

(2)負數(shù)的奇次累是負數(shù)；負數(shù)的偶次基是正數(shù)；注意：當n為正

奇數(shù)時：(-a)n=、n或(a-b)n=-(b-a)n,當n為正偶數(shù)時：(、尸=an或

(a-b)n=(b-a)n.

14.乘方的定義：

(1)求相同因式積的運算，叫做乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個數(shù)叫做指數(shù)，乘

方的結(jié)果叫做幕；

15.科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成aXlcr的形式，其中a是

整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫科學記數(shù)法.

16.近似數(shù)的精確位：一個近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個近

似數(shù)的精確到那一位.

17.有效數(shù)字：從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所

有數(shù)字，都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字.

請判斷下列題的對錯，并解釋.

1.近似數(shù)25.0的精確度與近似數(shù)25一樣.

2.近似數(shù)4千萬與近似數(shù)4000萬的精確度一樣.

3.近似數(shù)660萬,它精確到萬位.有三個有效數(shù)字.

4.用四舍五入法得近似數(shù)6.40和6.4是相等的.

5.近似數(shù)3.7x10的二次方與近似數(shù)370的精確度一樣.

1、錯。前者精確到十分位（小數(shù)點后面一位），后者精確到個位數(shù)。

2、錯。4千萬精確到千萬位，4000萬精確到萬位。

3、對。

4、錯。值雖然相等，但是取之范圍和精確度不同

5、錯。3.7x10八2精確到十位,370精確到個位

相關概念：有效數(shù)字：是指從該數(shù)字左邊第一個非。的數(shù)字到該數(shù)字

末尾的數(shù)字個數(shù)（有點繞口）。

舉幾個例子：3一共有1個有效數(shù)字,0.0003有一個有效數(shù)字,0.1500

有4個有效數(shù)字，1.9*10八3有兩個有效數(shù)字（不要被10八3迷惑，只

需要看1.9的有效數(shù)字就可以了，10”看作是一個單位）。

精確度：即數(shù)字末尾數(shù)字的單位。比如說：9800.8精確到十分位（又

叫做小數(shù)點后面一位），80萬精確到萬位。9*10八5精確到10萬位

（總共就9一個數(shù)字，10"看作是一個單位，就和多少萬是一個概

念）。

18.混合運算法則：先乘方，后乘除，最后加減.

本章內(nèi)容要求學生正確認識有理數(shù)的概念，在實際生活和學習

數(shù)軸的基礎上，理解正負數(shù)、相反數(shù)、絕對值的意義所在。重點利用

有理數(shù)的運算法則解決實際問題.

體驗數(shù)學發(fā)展的一個重要原因是生活實際的需要.激發(fā)學生學習數(shù)學

的興趣，教師培養(yǎng)學生的觀察、歸納與概括的能力，使學生建立正確

的數(shù)感和解決實際問題的能力。教師在講授本章內(nèi)容時，應該多創(chuàng)設

情境，充分體現(xiàn)學生學習的主體性地位。

第二章整式的加減

一.知識框架

多項式

二,知識概念

1.單項式：在代數(shù)式中，若只含有乘法（包括乘方）運算。或雖含

有除法運算，但除式中不含字母的一類代數(shù)式叫單項式.

2.單項式的系數(shù)與次數(shù)：單項式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項式的

數(shù)字系數(shù)，簡稱單項式的系數(shù)；系數(shù)不為零時，單項式中所有字母指

數(shù)的和，叫單項式的次數(shù).

3.多項式：幾個單項式的和叫多項式.

4.多項式的項數(shù)與次數(shù)：多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的

項數(shù)，每個單項式叫多項式的項；多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多

項式的次數(shù)。

通過本章學習，應使學生達到以下學習目標：

1.理解并掌握單項式、多項式、整式等概念，弄清它們之間的區(qū)別與

聯(lián)系。

2.理解同類項概念，掌握合并同類項的方法，掌握去括號時符號的變

化規(guī)律，能正確地進行同類項的合并和去括號。在準確判斷、正確合

并同類項的基礎上，進行整式的加減運算。

3.理解整式中的字母表示數(shù)，整式的加減運算建立在數(shù)的運算基礎

上；理解合并同類項、去括號的依據(jù)是分配律；理解數(shù)的運算律和運

算性質(zhì)在整式的加減運算中仍然成立。

4.能夠分析實際問題中的數(shù)量關系，并用還有字母的式子表示出來。

在本章學習中，教師可以通過讓學生小組討論、合作學習等方

式，經(jīng)歷概念的形成過程，初步培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括等

思維能力和應用意識。

第三章一元一次方程

一.知識框架

設未知數(shù)?列力?程

實際網(wǎng)監(jiān)數(shù)學口，圈

《一元一次方慳）

?9

H-

分

去

力

將

W公

現(xiàn)

林

作

合

收

系

化為

實際問購數(shù)學問期的M

的答案（m）

二.知識概念

1.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,并

且含未知數(shù)項的系數(shù)不是零的整式方程是一元一次方程.

2.一元一次方程的標準形式：ax+b=O（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù),

且a聲0）.

3.一元一次方程解法的一般步驟：整理方程……去分母……去

括號……移項……合并同類項……系數(shù)化為1……（檢驗方

程的解）.

4.列一元一次方程解應用題：

（1）讀題分析法:........多用于“和，差，倍，分問題”

仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，

是，共，合，為，完成，增加，減少，配套一」'，利用這些關鍵字列

出文字等式，并且據(jù)題意設出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關

系填入代數(shù)式，得到方程.

(2)畫圖分析法：........多用于“行程問題”

利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的體現(xiàn)，仔細讀題，

依照題意畫出有關圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找

相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量

與量之間的關系(可把未知數(shù)看做已知量)，填入有關的代數(shù)式是獲

得方程的基礎.

11.列方程解應用題的常用公式：

速度=鬻什向距離

(1)行程問題：距離:速度?時間時叱蕨；

時間

工效.工作量工時=*；

(2)工程問題：工作量=工效?工時雙一工時

工效

叱*部分令什部分

(3)比率問題：部分:全體?比率比率=至林全體=褥；

(4)順逆流問題:順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度;靜水

速度-水流速度；

(5)商品價格問題：售價二定價?折?5,利潤:售價?成本，

利潤率=但"成本X100%;

成本

2

(6)周長、面積、體積問題：CH=2nR,S^=nR,C長方形=2(a+b),S

長方形=ab，C正方形二4a，

2

S正方形二a2,S環(huán)形二n(R2-「2),V長方體二abc,V正方體二a',V明柱二nRh,V陰推二］

2

兀Rh.

本章內(nèi)容是代數(shù)學的核心，也是所有代數(shù)方程的基礎。豐富多彩

的問題情境和解決問題的快樂很容易激起學生對數(shù)學的樂趣，所以要

注意引導學生從身邊的問題研究起，進行有效的數(shù)學活動和合作交

流，讓學生在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，提升能力，體

會數(shù)學思想方法。

第四章圖形的認識初步

知識框架

平循用形

幾

何

國

形

等前的補角相等

等前的余雨相等

本章的主要內(nèi)容是圖形的初步認識，從生活周圍熟悉的物體入

手，對物體的形狀的認識從感性逐步上升到抽象的幾何圖形.通過從

不同方向看立體圖形和展開立體圖形，初步認識立體圖形與平面圖形

的聯(lián)系,在此基礎上，認識一些簡單的平面圖形一一直線、射線、線

段和角.本章書涉及的數(shù)學思想：

1.分類討論思想。在過平面上若干個點畫直線時，應注意對這些點分

情況討論；在畫圖形時，應注意圖形的各種可能性。

2.方程思想。在處理有關角的大小，線段大小的計算時，常需要通過

列方程來解決。

3.圖形變換思想。在研究角的概念時，要充分體會對射線旋轉(zhuǎn)的認識。

在處理圖形時應注意轉(zhuǎn)化思想的應用，如立體圖形與平面圖形的互相

轉(zhuǎn)化。

4.化歸思想。在進行直線、線段、角以及相關圖形的計數(shù)時，總要劃

歸到公式n(n-l)/2的具體運用上來。

七年級數(shù)學(下)知識點

人教版七年級數(shù)學下冊主要包括相交線與平行線、平面直角坐標

系、三角形、二元一次方程組、不等式與不等式組和數(shù)據(jù)的收集、整

理與表述六章內(nèi)容。

第五章相交線與平行線

一、知識框架

鄰補角、對頂角對頂用相等

乖線及慮性質(zhì)點到H線的距內(nèi)

相

交

線

兩

…

條

條

在

在

線

線同位向、內(nèi)錯角.同旁內(nèi)向

所

被

截

第

平

行

線

二、知識概念

1.鄰補角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公

共邊的兩個角是鄰補角。

2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，像這

樣的兩個角互為對頂角。

3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一

條的垂線。

4?平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

5.同位角、內(nèi)錯角、同旁為角:

兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有四對同位角，兩對

內(nèi)錯角，兩對同旁內(nèi)角。

同位角：N1與N5像這樣具有相同位置關系的一

對角叫做同位角。

內(nèi)錯角：N4與N6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

同旁內(nèi)角：N4與N5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。

MB.ZMC^Z4CDA<)

AB.”內(nèi)角

C.內(nèi)?角D.口上現(xiàn)

2IDB.ZIWZ2>

￡為主右

A■,CD

6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。

7.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的

這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。

8.對應點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點

移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。

9.定理與性質(zhì)

對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。

10垂線的性質(zhì):

性質(zhì)L過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

1L平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直

線也互相平行。

12.平行線的性質(zhì):

性質(zhì)1：兩直線平行,同位角相等。

性質(zhì)2：兩直線平行,內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3：兩直線平行,同旁內(nèi)角互補。

13,平行線的判定:

判定1：同位角相等,兩直線平行。

判定2：內(nèi)錯角相等,兩直線平行。

判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

本章使學生了解在平面內(nèi)不重合的兩條直線相交與平行的兩種位

置關系，研究了兩條直線相交時的形成的角的特征，兩條直線互相垂直

所具有的特性，兩條直線平行的長期共存條件和它所有的特征以及有

關圖形平移變換的性質(zhì)，利用平移設計一些優(yōu)美的圖案,重點:垂線和

它的性質(zhì)，平行線的判定方法和它的性質(zhì)，平移和它的性質(zhì)，以及這些

的組織運用.難點:探索平行線的條件和特征，平行線條件與特征的區(qū)

別，運用平移性質(zhì)探索圖形之間的平移關系，以及進行圖案設計。

第六章平面直角坐標系

一.知識框架

二.知識概念

1.有序數(shù)對：有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對，記做

(a,b)

2.平面直角坐標系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組

成平面直角坐標系。

3.橫軸、縱軸、原點：水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸；豎直的數(shù)軸稱為

y軸或縱軸；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

4.坐標：對于平面內(nèi)任一點P,過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足

分別在x軸，y軸上，對應的數(shù)a,b分別叫點P的橫坐標和縱坐標。

5.象限：兩條坐標軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按

逆時針方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐標軸上的點不

在任何一個象限內(nèi)。

平面直角坐標系是數(shù)軸由一維到二維的過渡，同時它又是學習函

數(shù)的基礎，起到承上啟下的作用。另外，平面直角坐標系將平面內(nèi)的

點與數(shù)結(jié)合起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。掌握本節(jié)內(nèi)容對以后學習

和生活有著積極的意義。教師在講授本章內(nèi)容時應多從實際情形出

發(fā)，通過對平面上的點的位置確定發(fā)展學生創(chuàng)新能力和應用意識。

第七章三角形

一.知識框架

叮三角

形有關

的線段

:

?

你三角形的內(nèi)向和多邊形的內(nèi)加和

形

三角形的外向即多邊形的外加和

二.知識概念

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形

叫做三角形。

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第

三邊。

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足

間的線段叫做三角形的高。

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角

形的中線。

5.角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個

角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三

角形的穩(wěn)定性。

6.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊

形。

7.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

多邊形內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角的和等于：(n-2)xl80°,則正

多邊形各內(nèi)角度數(shù)為：(n-2)xl80°4-n

多邊形內(nèi)角和定理證明

證法一：在n邊形內(nèi)任取一點0,連結(jié)0與各個頂點，把n邊

形分成n個三角形.

因為這n個三角形的內(nèi)角的和等于n?180。，以。為公共頂點

的n個角的和是360°

所以n邊形的內(nèi)角和是n?180°-2X180°=(n-2)?180°.

即n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)X180°.

證法二：連結(jié)多邊形的任一頂點Al與其他各個頂點的線段,

把n邊形分成（n-2）個三角形.

因為這（n-2）個三角形的內(nèi)角和都等于（n-2）-180°

所以n邊形的內(nèi)角和是（n-2）X180°.

證法三：在n邊形的任意一邊上任取一點P,連結(jié)P點與其它

各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，

這（n-1）個三角形的內(nèi)角和等于（n-1）-180°

以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°

所以n邊形的內(nèi)角和是（n-l）-180°-180°=（n-2）?180°.

己知正多邊形內(nèi)角度數(shù)則其邊數(shù)為：360+（180—內(nèi)角度數(shù)）

8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多

邊形的外角。

外角和=N*180?（N-2）*180=360度。

注：在不考慮角度方向的情況下，以上所述的N邊形，僅為任意‘凸'

多邊形。當考慮角度方向的時候，上面的論述也適合凹多邊形。

9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊

形的對角線。

10,正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫

做正多邊形。

1L平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋,

叫做用多邊形覆蓋平面。

鑲嵌的一個關鍵點是：在每個公共頂點處，各角的和是360。.

1.全等的任意三角形能鑲嵌平面

把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個全等的三角

形.用這些全等的三角形可鑲嵌平面.這是因為三角形的內(nèi)角和是

180°,用6個全等的三角形即可鑲嵌出一個平面.如圖1.用全等

的三角形鑲嵌平面，鑲嵌的方法不止一種，如圖2.

2.全等的任意四邊形能鑲嵌平面。

仿上面的方法可剪出多個全等的四邊形，用它們可鑲嵌平

面.這是因為四邊形的內(nèi)角和是360。，用4個全等的四邊形即可鑲

嵌出一個平面.如圖3.其實四邊形的平面鑲嵌可看成是用兩類全

等的三角形進行鑲嵌.如圖4.

3.全等的特殊五邊形可鑲嵌平面

圣地亞歌一位家庭婦女，五個孩子的母親瑪喬里?賴斯，對平面

鑲嵌有很深的研究，尤其對五邊形的鑲嵌提出了很多前所未有的結(jié)

論.1968年克什納斷言只有8類五邊形能鑲嵌平面，可是瑪喬里?賴

斯后來又找到了5類五邊形能鑲嵌平面，在圖5的五邊形ABCDE

中，ZB=ZE=90°,2Z/A+ZD=2ZC+ZD=360°,a=e,a+e=d.圖

6是她于1977年12月找到的一種用此五邊形鑲嵌的方法.用五邊

形鑲嵌平面，是否只有13類，還有待研究.

圖5

4.全等的特殊六邊形可鑲嵌平面

1918年，萊因哈特證明了只有3類六邊形能鑲嵌平面.圖7

是其中之一.在圖7的六邊形4BCDEF中，ZA+ZB+ZC=360°,

a=d.

5.七邊形或多于七邊的凸多邊形，不能鑲嵌平面.

只有正三角形、正方形和正六邊形可鑲嵌平面，用其它正多邊

形不能鑲嵌平面.

例如：用正三角形和正六形的組合進行鑲嵌.設在一個頂點周

圍有m個正三角形的角，有〃個正六邊形的角.由于正三角形的每

個角是60。，正六邊形的每個角是120。.所以有

m-60°+<7-120°=360°,即m+2n=6.

這個方程的正整數(shù)解

w=4,=2,

?<

3=1；或［閥=2.

可見用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型，一種是在一個頂點

的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，另一種是在一個頂點的周

圍有2個正三角形和2個正六邊形.

埃舍爾一百度百科

12.公式與性質(zhì)

三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°

三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

性質(zhì)2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）?180°

多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360。。

多邊形對角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）

條對角線，把多邊形分詞（n-2）個三角形。

（2）n邊形共有皿①條對角線。

2

三角形是初中數(shù)學中幾何部分的基礎圖形，在學習過程中，教師

應該多鼓勵學生動腦動手，發(fā)現(xiàn)和探索其中的知識奧秘。注重培養(yǎng)學

生正確的數(shù)學情操和幾何思維能力。

第八章二元一次方程組

一.知識結(jié)構(gòu)圖

二、知識概念

L二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1,像這

樣的方程叫做二元一次。方程，一般形式是ax+by=c(aWO,bWO)。

2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二

元一次方程組。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知

數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。

4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共

解叫做二元一次方程組。

5.消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再

代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這

種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

7.加減消元法：當兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩

個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做

加減消元法，簡稱加減法。

本章通過實例引入二元一次方程，二元一次方程組以及二元一次

方程組的概念，培養(yǎng)學生對概念的理解和完整性和深刻性，使學生掌握

好二元一次方程組的兩種解法.重點:二元一次方程組的解法,列二元

一次方程組解決實際問題.難點:二元一次方程組解決實際問題

第九章不等式與不等式組

一.知識框架

數(shù)學阿?

實際向期談表羯效?月不等大（但）

（?元?次不等式或

（包含不笠關系）

?元次不等式組）

數(shù)學問題的解

實際同涵的解答

（不等式的解集）

二、知識概念

1.用符號“V”“W”“2”表示大小關系的式子叫做不等

式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等

式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個未知數(shù),

并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等

式合在一起，就組成6,了一個一元一次不等式組。

7.定理與性質(zhì)

不等式的性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或

式子），不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，

不等號的方向不變。

不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，

不等號的方向改變。

本章內(nèi)容要求學生經(jīng)歷建立一元一次不等式（組）這樣的數(shù)學模型并

應用它解決實際問題的過程，體會不等式（組）的特點和作用，掌握

運用它們解決問題的一般方法，提高分析問題、解決問題的能力，增

強創(chuàng)新精神和應用數(shù)學的意識。

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

一.知識框架

二.知識概念

1.全面調(diào)查：考察全體對象的調(diào)查方式叫做全面調(diào)查。

2.抽樣調(diào)查：調(diào)查部分數(shù)據(jù)，根據(jù)部分來估計總體的調(diào)查方式稱為抽

樣調(diào)查。

3.總體：要考察的全體對象稱為總體。

4.個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。

5.樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。

6.樣本容量：樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量。

7.頻數(shù)：一般地，我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)。

8.頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。

9,組數(shù)和組距：在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)按照一定的范圍分成若干各組,

分成組的個數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個端點的差叫做組距。

本章要求通過實際參與收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，經(jīng)

歷統(tǒng)計的一般過程，感受統(tǒng)計在生活和生產(chǎn)中的作用，增強學習統(tǒng)計

的興趣，初步建立統(tǒng)計的觀念，培養(yǎng)重視調(diào)查研究的良好習慣和科學

態(tài)度。

八年級數(shù)學（上）知識點

人教版八年級上冊主要包括全等三角形、軸對稱、實數(shù)、一次函數(shù)和

整式的乘除與分解因式五個章節(jié)的內(nèi)容。

第十一章全等三角形

一.知識框架

等腰三角形等邊三角賬

點

中

的

對

稱

時應邊相等,對應俗相等

全等形I全等：角影解決問期

邊邊邊.邊角邊.角邊角.

向向邊,斜邊、M角邊

二.知識概念

1.全等三角形：兩個三角形的形狀、大小、都一樣時，其中一個可以

經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運動(或稱變換)使之與另一個重合，這兩

個三角形稱為全等三角形。

2.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應角相等、對應邊相等。

3.三角形全等的判定公理及推論有：

(1)“邊角邊〃簡稱“SAS〃

(2)〃角邊角〃簡稱"ASA”

(3)〃邊邊邊"簡稱"SSS"

(4)〃角角邊〃簡稱〃AAS〃

(5)斜邊和直角邊相等的兩直角三角形(HL)。

除了邊邊角和角角角。

4.角平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線

上。

5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

①、確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角

平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系），②、回顧

三角形判定，搞清我們還需要什么，③、正確地書寫證明格式（順序

和對應關系從已知推導出要證明的問題）.

在學習三角形的全等時，教師應該從實際生活中的圖形出發(fā)，引

出全等圖形進而引出全等三角形。通過直觀的理解和比較發(fā)現(xiàn)全等三

角形的奧妙之處。在經(jīng)歷三角形的角平分線、中線等探索中激發(fā)學生

的集合思維，啟發(fā)他們的靈感，使學生體會到集合的真正魅力。

第十二章軸對稱

一.知識框架

等腰三角形等邊三角賬

信作圖形的對稱軸

中

的

對

稱作軸對稱圖形

二.知識概念

1.對稱軸：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互

相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。

2.性質(zhì)：（工）軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的

垂直平分線。

（2）角平分線上的點到角兩邊距離相等。

（3）線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離

相等。

（4）與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂

直平分線上。

（5）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。

3.等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，（等邊對等角）

4.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，

簡稱為“三線合一北

5.等腰三角形的判定：等角對等邊。

6.等邊三角形角的特點：三個內(nèi)角相等，等于60°,

7.等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等慢三角形。

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。

8.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

9.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

本章內(nèi)容要求學生在建立在軸對稱概念的基礎上，能夠?qū)ι钪?/p>

的圖形進行分析鑒賞，親身經(jīng)歷數(shù)學美，正確理解等腰三角形、等邊

三角形等的性質(zhì)和判定，并利用這些性質(zhì)來解決一些數(shù)學問題。

第十三章實數(shù)

1.算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即X?二a,那

么正數(shù)x叫做a的算術(shù)不方根.，記作石。0的算術(shù)平方根為0；從定

義可知，只有當a20時,a才有算術(shù)平方根。

2.平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方根等于a,即x2=a,那么數(shù)x

就叫做a的土方根。

3.正數(shù)有兩個平方根(一正一負)它們互為相反數(shù)；0只有一個平方

根，就是它本身；負數(shù)沒有平方根。

4.正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)。

加鼎」自然數(shù)(0,1,2,3…)

[負整數(shù)(T,-2,-3…)

有理數(shù)<正分數(shù)C1，;2…)(整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小麴

分數(shù)(小數(shù)乂\3

實數(shù)

負分數(shù)(―上，---??)

23

’正有理數(shù)

無理數(shù)(無限不循環(huán)小黝

負有理數(shù)

5.數(shù)a的相反數(shù)是.a,一個正實數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕

對值是它的相反數(shù)，。的絕對值是0

4axy[b=4ab(ci>0,/?>0)先存NO,b>0)

實數(shù)部分主要要求學生了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)和數(shù)

軸上的點一一對應，能估算無理數(shù)的大小；了解實數(shù)的運算法則及運

算律，會進行實數(shù)的運算。重點是實數(shù)的意義和實數(shù)的分類；實數(shù)的

運算法則及運算律。

第十四章一次函數(shù)

一.知識框架

二.知識概念

。>0（I）僅.>0（1）

k>0^=0（2）k<0^=0（2）

…⑶'①施）1.一次函數(shù)：若兩個變量x,y間的關系

式可以表示成y=kx相務就式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變

量,y為因變量）。特另血Ib=0時，稱y是x的正比例函數(shù)。

2.正比例函數(shù)一般式：y=kx（kWO）,其圖象是經(jīng)過原點。0）的一條直

線。

3.正比例函數(shù)y=kx（kWO）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，當k>0時,

直線戶kx經(jīng)過第一、三象限"隨x的增大而增大，當k<0時，直線

y=kx經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小，在一次函數(shù)y=kx+b中:

當k>0時,y隨x的增大而增大；當k<0時隨x的增大而減小。

4.已知兩點坐標求函數(shù)解析式：待定系數(shù)法

一次函數(shù)是初中學生學習函數(shù)的開始，也是今后學習其它函數(shù)知

識的基石。在學習本章內(nèi)容時，教師應該多從實際問題出發(fā)，引出變

量，從具體到抽象的認識事物。培養(yǎng)學生良好的變化與對應意識，體

會數(shù)形結(jié)合的思想。在教學過程中，應更加側(cè)重于理解和運用，在解

決實際問題的同時，讓學習體會到數(shù)學的實用價值和樂趣。

第十五章整式的乘除與分解因式

L同底數(shù)塞的乘法法則：都是正數(shù)）

2..哥的乘方法則：（優(yōu)“）”=。"'"（團,〃都是正數(shù)）

/（當〃為偶數(shù)時％

一般地

-4〃（當〃為奇數(shù)時）.

3.整式的乘法

（1）單項式乘法法則:單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相

乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個

因式。

（2）單項式與多項式相乘:單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的

分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就

是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

（3）.多項式與多項式相乘

多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式

的每一項，再把所得的積相加。

22

4.平方差公式:（a+b\a-b）=a-b

5.完全平方公式：（?！姥?/±2"+〃

6.同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即

產(chǎn)”（awo,m、n都是正數(shù)，且m>n）.

在應用時需要注意以下幾點：

①法則使用的前提條件是〃同底數(shù)基相除，而且0不能做除數(shù),所以法

則中aWO.

②任何不等于0的數(shù)的0次基等于1,即=1（。二°）,如1?！?1,（-2.5。=1）,

則00無意義.

③任何不等于0的數(shù)的-p次幕（p是正整數(shù)）,等于這個數(shù)的p的次幕的

a~p=-

倒數(shù)，即/（a#0,p是正整數(shù)），而0］。3都是無意義的;當a>0

時的值一定是正的；當a<0時尸中的值可能是正也可能是負的，如

（-2）-2=-（-2）-3=-1

4/8

④運算要注意運算順序.

7.整式的除法

單項式除法單項式:單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為

商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的

一個因式；

多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除

以單項式，再把所得的商相加.

8.分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把

這個多項式分解因式.

分解因式的一般方法：1.提公共因式法2.運用公式法3.十字相乘法

分解因式的步驟：（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

⑵再看能否使用公式法；

⑶用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到

分解的目的；

⑷因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解；

⑸因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解

為止.

整式的乘除與分解因式這章內(nèi)容知識點較多，表面看來零碎的概

念和性質(zhì)也較多，但實際上是密不可分的整體。在學習本章內(nèi)容時，

應多準備些小組合作與交流活動，培養(yǎng)學生推理能力、計算能力。在

做題中體驗數(shù)學法則、公式的簡潔美、和諧美，提高做題效率。

八年級數(shù)學（下）知識點

人教版八年級下冊主要包括了分式、反比例函數(shù)、勾股定理、四邊形、

數(shù)據(jù)的分析五章內(nèi)容。

第十六章分式

一.知識框架

頭比分關比分

列A殷性質(zhì)

實分式分式基本性質(zhì)分式的運算

際

問

R

實際

問題

的X

二.知識概念

1.分式：形如A/B,A、B是整式，B中含有未知數(shù)且B不等于。的整

式叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

2.分式有意義的條件：分母不等于0

3.約分：把一個分式的分子和分母的公因式（不為1的數(shù)）約去，這種

變形稱為約分。

4,通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。

分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0

的整式，分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A+C/B+C

（A,B,C為整式，且00）

5.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡

分式.約分時，一般將一個分式化為最簡分式.

6.分式的四則運算：1.同分母分式加減法則:同分母的分式相加減，分母

不變，把分子相加減,用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c

2,異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分，化為同分母

的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算,用字母表示為：

a/b±c/d=ad±cb/bd

3.分式的乘法法則:兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子,

把分母相乘的積作為積的分母用字母表示為：a/b*c/d=ac/bd

4.分式的除法法則:(1).兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位

置后再與被除式相乘.a/b+c/d=ad/bc

(2).除以一個分式，等于乘以這個分式的倒

數(shù):a/b+c/d=a/b*d/c

7.分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

8.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分

式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③

驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方

程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根).

分式和分數(shù)有著許多相似點。教師在講授本章內(nèi)容時，可以

對比分數(shù)的特點及性質(zhì)，讓學生自主學習。重點在于分式方程解

實際應用問題。

第十七章反比例函數(shù)

一.知識框架

二.知識概念

1.反比例函數(shù)：形如y=A（k為常數(shù)，kWO）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。

X

其他形式xy=ky=kx'y=k-

x

葉yt

x0--x

\r

k>0k<02.圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函

數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線

y=x和y=-Xo對稱中心是：原點

-

\IP3.性質(zhì):當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,

在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小；

當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象

限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。

4.|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線

段與兩坐標軸圍成的矩形的面積。

在學習反比例函數(shù)時，教師可讓學生對比之前所學習的一次函數(shù)

啟發(fā)學生進行對比性學習。在做題時，培養(yǎng)和養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思想。

第十八章勾股定理

一.知識框架

2二

L勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,

那么a2+b2=c2o

AB^CD.ADZ/BC

AB=CD,AD=BC

ZX-ZCiZB-ZP

3。30勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,C滿足a2+b2=c2。,

那么這個三角形是直角三角形。

2.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。

3.我們把題設、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中

一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾

股定理逆定理）

勾股定理是直角三角形具備的重要性質(zhì)。本章要求學生在理解勾

股定理的前提下，學會利用這個定理解決實際問題?？梢酝ㄟ^自主學

習的發(fā)展體驗獲取數(shù)學知識的感受。

第十九章四邊形

一.知識框架

二.知識概念

1.平行四邊形定義:有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊

形。

2.平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相

等。平行四邊形的對角線互相平分。

3.平行四邊形的判定①,兩組對邊分別相等的

四邊形是平行四邊形

②.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;

。.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

④一組對邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形。

4.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

5,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

6.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。

7.矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線平分且相

等。AC=BD

8.矩形判定定理：①.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

③.有三個角是直角的四邊形是矩形。

——9.菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

10.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直,

并且每一條對角線平分一組對角。

11.菱形的判定定理：①.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

O對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

①四條邊相等的四邊形是菱形。

12.S菱形=V2Xab（a、b為兩條對角線）

13.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

14.正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩

形，又是菱形。

15.正方形判定定理：L鄰邊相等的矩形是正方形。2.有一個

角是直角的菱形是正方形。

16.梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯

形。

17.直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形

18.等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。

19.等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形

的兩條對角線相等。

20.等腰梯形判定定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。

本章內(nèi)容是對平面上四邊形的分類及性質(zhì)上

的研究，要求學生在學習過程中多動手多動腦，把自己的發(fā)現(xiàn)和知識

帶入做題中。因此教師在教學時可以多鼓勵學生自己總結(jié)四邊形的特

點，這樣有利于學生對知識的把握。

第二十章數(shù)據(jù)的分析

一.知識框架

平均教用

數(shù)據(jù)的代表樣

中位數(shù)用樣本平均數(shù)估

本

計總體平均數(shù)

眾數(shù)估

計

總用樣本方差怙

怵