高中數(shù)學(xué)人教A版選修21講義第三章3.1空間向量及其運(yùn)算副本

eq\a\vs4\al(空間向量及其運(yùn)算)3．1.1空間向量及其加減運(yùn)算預(yù)習(xí)課本P84～85，思考并完成以下問題1．空間向量、零向量、單位向量、相反向量及相等向量的定義分別是什么？2．空間向量的加法和減法是怎樣定義的？滿足交換律及結(jié)合律嗎？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量的有關(guān)概念(1)定義：在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度：向量的大小叫做向量的長度或模．(3)表示法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(①幾何表示法：空間向量用有向線段表示.,②字母表示法：用字母表示，若向量a,的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也,可以記作，其模記為|a|或||.))2．幾類特殊向量特殊向量定義表示法零向量長度為0的向量0單位向量模為1的向量|a|＝1或||＝1相反向量與a長度相等而方向相反的向量稱為a的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或＝3.空間向量的加法和減法運(yùn)算空間向量的運(yùn)算加法＝＋＝a＋b加法Z＝－＝a－b運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同()(2)零向量沒有方向()(3)空間兩個向量的加減法運(yùn)算與平面內(nèi)兩向量的加減法運(yùn)算完全一致()答案：(1)√(2)×(3)√2．化簡－＋所得的結(jié)果是()A． B．C．0 D．答案：C3．在四邊形ABCD中，若＝＋，則四邊形ABCD的形狀一定是()A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案：A4．在空間中，把所有單位向量的起點(diǎn)移到一點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)組成的圖形是________．答案：球面空間向量的概念辨析[典例]下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，一定有＋＝[解析]|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有＋＝，只有在平行四邊形中才能成立．故選B.[答案]B(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件．(2)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問題的關(guān)鍵．[活學(xué)活用]給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，＝；③兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的序號是________．解析：①正確；②正確，因?yàn)榕c的大小和方向均相同；③錯誤，當(dāng)兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同時兩向量相等，但兩向量相等不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；④錯誤，單位向量只是它們的模相等，方向不一定相同．綜上可知，正確命題為①②.答案：①②空間向量的加法、減法運(yùn)算[典例]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡－＋＋＋，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．[解]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四邊形AA1F1F是平行四邊形，所以＝.同理＝，＝，＝，所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如圖．[一題多變]1．[變設(shè)問]若本例條件不變，化簡＋＋＋，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：根據(jù)六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C，DD1E1E都是平行四邊形，所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝.2．[變條件、變設(shè)問]若本例中的六棱柱是底面為正六邊形的棱柱，化簡－＋，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以BC∥EF，BC＝EF，又因?yàn)镋1F1∥EF，E1F1＝EF，所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，所以BCE1F1是平行四邊形，所以－＋＝＋＝.在進(jìn)行減法運(yùn)算時，可將減去一個向量轉(zhuǎn)化為加上這個向量的相反向量，而在進(jìn)行加法運(yùn)算時，首先考慮這兩個向量在哪個平面內(nèi)，然后與平面向量求和一樣，運(yùn)用向量運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法則來求即可．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則－＋＝()A．2 B．3C．3 D．2解析：選B－＋＝＋＝＋2＝3.2．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且＋＝＋，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形解析：選A∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四邊形ABCD為平行四邊形．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的運(yùn)算結(jié)果為向量的共有()①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選D根據(jù)空間向量的加法法則及正方體的性質(zhì)，逐一判斷可知①②③④都是符合題意的．4．空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，則下列各式中成立的是()A．＋＋＋＝0B．＋＋＋＝0C．＋＋＋＝0D．－＋＋＝0解析：選B由于E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，所以四邊形EFGH為平行四邊形，其中＝，且＝，而E，B，F(xiàn)，G四點(diǎn)構(gòu)成一個封閉圖形，首尾相接的向量的和為零向量，即有＋＋＋＝0.5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有()①＋與＋是一對相反向量；②－與－是一對相反向量；③＋＋＋與＋＋＋是一對相反向量；④－與－是一對相反向量．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選C利用圖形及向量的運(yùn)算可知②是相等向量，①③④是相反向量．6.如圖所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，與是________向量，與是________向量(用“相等”“相反”填空)．答案：相等相反7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則＝________.解析：如圖，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b8．給出下列四個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若a，b滿足|a|>|b|且a，b同向，則a>b；③不相等的兩個空間向量的模必不相等；④對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為________．解析：對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，向量是不能比較大小的，故不正確；對于③，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故③錯；只有④正確．答案：④9．如圖，在長、寬、高分別為AB＝4，AD＝2，AA1＝1的長方體ABCD-A1B1C1D1中，以八個頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．(1)單位向量共有多少個？(2)寫出模為eq\r(5)的所有向量；(3)試寫出的相反向量．解：(1)因?yàn)殚L方體的高為1，所以長方體4條高所對應(yīng)的向量，，，，，，，共8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共8個．(2)因?yàn)殚L方體的左、右兩側(cè)的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有，，，，，，，.(3)向量的相反向量為，，，，共4個．10.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解：(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴＝＋＋＝a＋＋eq\f(1,2)＝a＋c＋eq\f(1,2)＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)＝－a＋b＋eq\f(1,2)＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．下列命題中，正確的個數(shù)為()①若a＝b，b＝c，則a＝c；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分條件；③＝的充要條件是A與C重合，B與D重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：選C①正確，∵a＝b，∴a，b的模相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的模相等且方向相同，∴a＝c.②正確，a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/a＝b.③不正確，由＝，知||＝||，且與同向．故選C.2．已知空間中任意四個點(diǎn)A，B，C，D，則＋－等于()A． B．C． D．解析：選D法一：＋－＝(＋)－＝－＝.法二：＋－＝＋(－)＝＋＝.3．如果向量，，滿足||＝||＋||，則()A．＝＋B．＝－－C．與同向D．與同向解析：選D∵||＝||＋||，∴A，B，C共線且點(diǎn)C在AB之間，即與同向．4．已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則等于()A．a(chǎn)＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c解析：選C＝＋＋＝－＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c.5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，E是A1B的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表示)解析：＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．答案：eq\f(1,2)(a＋b＋c)6．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝________.解析：＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,2)(－＋)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c7．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．(1)＋－；(2)－－.解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝(如圖)．(2)－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝(如圖)．8.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，請化簡以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果．(1)＋－；(2)－－.解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如圖中向量.(2)－－＝＋＋＝＋＋＝＋＝，如圖中向量.3．1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算預(yù)習(xí)課本P86～89，思考并完成以下問題1．實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa的方向如何確定？2．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？3．共線向量(平行向量)、方向向量及共面向量的定義分別是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λ<0λa與向量a的方向相反λa的長度是a的長度的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的運(yùn)算律分配律λ(a＋b)＝λa＋λb結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a[點(diǎn)睛]對空間向量數(shù)乘運(yùn)算的理解(1)λa是一個向量．(2)λa＝0?λ＝0或a＝0.(3)因?yàn)閍，b可以平移到同一平面內(nèi)，所以λa，μb，a＋b，λa＋μb都在這個平面內(nèi)，因而平面向量的數(shù)乘運(yùn)算律適用于空間向量．2．共線、共面向量共線(平行)向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb若兩個向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.推論如果l為經(jīng)過點(diǎn)A平行于已知非零向量a的直線，那么對于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋ta，①其中a叫做直線l的方向向量，如圖所示．若在l上?。絘，則①式可化為＝＋t如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使＝x＋y，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O來說，有＝＋x＋y[點(diǎn)睛]對共線、共面向量的理解(1)共線向量、共面向量不具有傳遞性．(2)共線向量定理及其推論是證明共線(平行)問題的重要依據(jù)．定理中的條件b≠0不可遺漏．(3)直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量．一條直線的方向向量有無限多個，它們的方向相同或相反．(4)空間任意兩個向量總是共面的，空間任意三個向量可能共面，也可能不共面．(5)向量p與a，b共面的充要條件是在a與b不共線的前提下才成立的，若a與b共線，則不成立．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a與b共線，b與c共線，則a與c共線()(2)若向量a，b，c共面，即表示這三個向量的有向線段所在的直線共面()(3)若a∥b，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb()答案：(1)×(2)×(3)×2．化簡：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.答案：3a－2b3．點(diǎn)C在線段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，＝λ，則λ＝________.答案：－eq\f(5,3)空間向量的線性運(yùn)算[典例]已知正四棱椎P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝＋y＋z；(2)＝x＋y＋.[解](1)如圖，∵＝－＝－eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)，∴y＝z＝－eq\f(1,2).(2)∵O為AC的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)，∴＋＝2，＋＝2，∴＝2－，＝2－，∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.利用向量的加減運(yùn)算是處理此類問題的基本方法，一般地可以找到的封閉圖形不是惟一的，但無論哪一種途徑，結(jié)果應(yīng)是惟一的．應(yīng)用向量的加減法法則和數(shù)乘運(yùn)算表示向量是向量在幾何中應(yīng)用的前提，一定要熟練掌握．[活學(xué)活用]如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．(1)化簡：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且＝eq\f(2,3)，若＝x＋y＋z，試求實(shí)數(shù)x，y，z的值．解：(1)－eq\f(1,2)(＋)＝－＝.(2)＝－＝eq\f(1,2)(＋)－－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(2,3)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).空間向量共線問題[典例]如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線．[解]因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2).又因?yàn)椋剑剑璭q\f(1,2)＋－－eq\f(1,2)，以上兩式相加得＝2，所以∥，即與共線．判斷向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)成立，同時要充分運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合空間圖形，化簡得出a＝λb，從而得出a∥b.[活學(xué)活用]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在A1D1上，且＝2，點(diǎn)F在對角線A1C上，且＝eq\f(2,3).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．證明：設(shè)＝a，＝b，＝c.∵＝2，＝eq\f(2,3)，∴＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,5)，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)b，＝eq\f(2,5)(－)＝eq\f(2,5)(＋－)＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴＝－＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又＝＋＋＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴＝eq\f(2,5).又∵EF∩EB＝E.∴E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.空間向量共面問題[典例]已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外一點(diǎn)M滿足＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3).(1)判斷，，三個向量是否共面；(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi)．[解](1)∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋＝－－，∴向量，，共面．(2)由(1)知向量，，共面，而它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．(1)證明向量共面，可以利用共面向量的充要條件，也可直接利用定義，通過線面平行或直線在平面內(nèi)進(jìn)行證明．(2)向量共面向量所在的直線不一定共面，只有這些向量都過同一點(diǎn)時向量所在的直線才共面(向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)共面)．[活學(xué)活用]已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)BD∥平面EFGH.證明：如圖，連接EG，BG.(1)因?yàn)椋剑剑玡q\f(1,2)(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)椋剑絜q\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，則x的值為()A．1 B．0C．3 D.eq\f(1,3)解析：選D∵＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，∴x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝1，x＝eq\f(1,3).2．已知空間向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：選A∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三點(diǎn)共線．3．若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則()A．P∈AB B．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對解析：選A因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以與共線．又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.4．在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A．＝3－2－B．＋＋＋＝0C．＋＋＝0D．＝eq\f(1,4)－＋eq\f(1,2)解析：選C∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M與A，B，C必共面．5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，＝eq\f(1,4)，若＝x＋y(＋)，則()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)解析：選D因?yàn)椋剑剑玡q\f(1,4)＝＋eq\f(1,4)(＋)，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．化簡：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，則λ＝________.解析：＝－＝－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)(－)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又＝eq\f(1,3)＋λ，所以λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．有下列命題：①若∥，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；②若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線；③若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，則a∥b；④若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.其中是真命題的序號是________(把所有真命題的序號都填上)．解析：根據(jù)共線向量的定義，若∥，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，故①錯；因?yàn)椤吻?，有公共點(diǎn)A，所以②正確；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4－e1＋eq\f(1,10)e2＝－4b，所以a∥b.故③正確；易知④也正確．答案：②③④9.在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點(diǎn)，試化簡＋eq\f(1,3)－eq\f(1,2)，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴＝eq\f(1,3).又eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－＝，∴＋eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝＋－＝(如圖所示)．10.如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．解：(1)證明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，∴＝＝＝，∴＝eq\f(1,3)，＝eq\f(2,3)，∴＝＋＋＝＋＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(2,3)))＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要條件知A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋eq\f(2,3)－－eq\f(1,3)＝－＋＋eq\f(1,3)，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③若，共線，則AB∥CD；④對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．其中不正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C顯然①正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯誤；若，共線，則直線AB，CD可能重合，故③錯誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故④錯誤．故選C.2．若a，b是平面α內(nèi)的兩個向量，則()A．α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0C．若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共線，則α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)解析：選D當(dāng)a與b共線時，A項(xiàng)不正確；當(dāng)a與b是相反向量，λ＝μ≠0時，λa＋μb＝0，故B項(xiàng)不正確；若a與b不共線，則平面α內(nèi)任意向量可以用a，b表示，對空間向量則不一定，故C項(xiàng)不正確，D項(xiàng)正確．3．已知i與j不共線，則存在兩個非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若i與j不共線，則k與i，j共面?存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故選A.4．若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有＝α＋β，則α＋β＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C若α＋β＝1，則－＝β(－)，即＝β，顯然A，B，C三點(diǎn)共線；若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，則α＋β＝1，故選C.5.如圖，已知空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則＝______(用向量a，b，c表示)．解析：設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，則＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(a－2c)＋eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c6.如圖所示，在四面體O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________(用a，b，c表示)．解析：＝＋＝a＋eq\f(1,2)＝a＋eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c7.如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點(diǎn)共線．證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝＋＝＋eq\f(3,4)＝－a＋eq\f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，＝＋＝＋eq\f(1,3)(＋)＝－a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c＝eq\f(4,3)，∴∥.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三點(diǎn)共線．8.如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．(1)試用向量方法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量方法證明你的判斷．證明：(1)分別連接PE，PF，PG，PH并延長，交對邊于點(diǎn)M，N，Q，R，連接MN，NQ，QR，RM，∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在邊的中點(diǎn)，且＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3).由題意知四邊形MNQR是平行四邊形，∴＝＋＝(－)＋(－)＝eq\f(3,2)(－)＋eq\f(3,2)(－)＝eq\f(3,2)(＋)．又＝－＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(3,2).∴＝＋，由共面向量定理知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)平行．證明如下：由(1)得＝eq\f(3,2)，∴∥，∴∥平面ABCD.又＝－＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)，∴∥.即EF∥平面ABCD.又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH與平面ABCD平行．3．1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算預(yù)習(xí)課本P90～91，思考并完成以下問題1．空間向量的數(shù)量積的定義是什么？2．空間向量的數(shù)量積滿足哪些運(yùn)算律？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量的夾角(1)如圖，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)向量a，b的夾角〈a，b〉的范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么稱向量a，b互相垂直，記作a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)運(yùn)算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)序號性質(zhì)①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e為單位向量)②若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0③a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)④若a，b為非零向量，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)⑤|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時等號成立)[點(diǎn)睛](1)兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即a·b＝a·c?b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對于非零向量a，b，a，b與a，－b相等()(2)對于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)()(3)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c()(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若向量a與b滿足|a|＝1，|b|＝2且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則a·b＝________.答案：13．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則a，b＝________.答案：eq\f(2π,3)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算[典例]如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求值：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.[解](1)·＝eq\f(1,2)·＝eq\f(1,2)||||·cos〈，〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)·＝eq\f(1,2)·＝eq\f(1,2)||2＝eq\f(1,2).(3)·＝eq\f(1,2)·＝eq\f(1,2)||·||cos〈，〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos60°－cos60°＝0.求向量的數(shù)量積的關(guān)鍵是求兩個向量的模和夾角，而該題目所給的四面體各棱長均為1，每個面都是正三角形，每個角都是60°，因此可結(jié)合這一特點(diǎn)進(jìn)行分解，然后再具體求解數(shù)量積的值．[活學(xué)活用]1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.2．在四面體OABC中，棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則·(＋＋)＝________.解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝eq\f(＋＋,3)，故·(＋＋)＝eq\f(1,3)(＋＋)2＝eq\f(1,3)(||2＋||2＋||2)＝eq\f(1,3)(1＋4＋9)＝eq\f(14,3).答案：eq\f(14,3)利用空間向量的數(shù)量積求夾角[典例]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求與夾角的大小．[解]不妨設(shè)正方體的棱長為1，則·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1，又∵||＝eq\r(2)，||＝eq\r(2)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝eq\f(π,3).即與夾角的大小為eq\f(π,3).(1)求幾何體中兩個向量的夾角可以把其中一個向量起點(diǎn)平移到與另一個向量的起點(diǎn)重合轉(zhuǎn)化為求平面中的角的大小．(2)由兩個向量的數(shù)量積定義得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，轉(zhuǎn)化為求兩個向量的數(shù)量積及兩個向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，進(jìn)而求〈a，b〉的大?。谇骯·b時注意結(jié)合空間圖形，把a(bǔ)，b用基向量表示出來，進(jìn)而化簡得出a·b的值．[活學(xué)活用]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．解：∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，∴·A＝－＝－1.又||＝eq\r(2)，||＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(－1,\r(6))＝－eq\f(\r(6),6)，則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).利用空間向量的數(shù)量積證明垂直[典例]已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC.[證明]∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴·＝0，·＝0.∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－－·＝·－－·＝·(－－)＝·＝0.∴⊥，從而AD⊥BC.當(dāng)直接證明線線垂直但條件不易利用時，常?？紤]證明兩線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零．利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算以及數(shù)量積和垂直條件來完成位置關(guān)系的判定．[活學(xué)活用]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD.證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，＝－＝b－a，＝＋＝eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·b－c·a＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b·a＝eq\f(1,2)(b2－a2)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD.同理可證⊥，即A1O⊥OG.于是有A1O⊥平面GBD.利用空間向量數(shù)量積求距離(即線段長度)[典例]在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點(diǎn)，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.[解]∵＝＋＋＝eq\f(2,3)＋(－)＋eq\f(1,3)(－)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3).∴·＝－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)·－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)2－eq\f(2,9)·－eq\f(4,9)·＋eq\f(4,9)·＋eq\f(1,9)2＋eq\f(4,9)2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故||＝eq\r(·)＝eq\f(\r(5),3)a.即|MN|＝eq\f(\r(5),3)a.求兩點(diǎn)間的距離或線段長度的方法(1)將此線段用向量表示；(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；(3)利用|a|＝eq\r(a2)，通過計(jì)算求出|a|，即得所求距離．[活學(xué)活用]如圖所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長．解：∴＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49.∴||＝7，即PC＝7.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．已知向量a，b是平面α內(nèi)兩個不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B若l⊥平面α，則c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，則c⊥a，c⊥b，并不能保證l⊥平面α.2．已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角是()A．60° B．120°C．30° D．90°解析：選Ba·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝eeq\o\al(2,1)－e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝1－1×1×eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e1－2e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)－4e1·e2＋4e\o\al(2,2))＝eq\r(1－2＋4)＝eq\r(3).∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(3,2),3)＝－eq\f(1,2).∴〈a，b〉＝120°.3.如圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A．2·B．2·C．2·D．2·解析：選C2·＝－a2，故A錯；2·＝－a2，故B錯；2·＝－eq\f(1,2)a2，故D錯，只有C正確．4．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是()A．與 B．與C．與 D．與解析：選A用排除法，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因?yàn)锳D⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有下列命題：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③與的夾角為60°；④正方體的體積為|··|.其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B如圖所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；與的夾角是與夾角的補(bǔ)角，而與的夾角為60°，故與的夾角為120°；正方體的體積為||||||.綜上可知，①②正確．6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，如圖，則PC等于________．解析：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos60°＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144.∴PC＝12.答案：128．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a，b所成的角是________．解析：＝＋＋，∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,2)，∴異面直線a，b所成角是60°.答案：60°9．已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，求異面直線OE與BF所成角的余弦值．解：如圖所示，設(shè)＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).∵＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a＋b)，＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)c－b，又||＝||＝eq\f(\r(3),2)，∴·＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝－eq\f(2,3).∴異面直線OE與BF所成角的余弦值是eq\f(2,3).10.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側(cè)棱的長．解：(1)證明：＝＋，＝＋.∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.又△ABC為正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝eq\r(2＋2)＝eq\r(2＋2)＝||，∴cos〈，〉＝eq\f(2－1,2＋2)＝eq\f(1,2)，∴||＝2，即側(cè)棱長為2.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知在正四面體A-BCD中，所有棱長都為1，△ABC的重心為G，則DG的長為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：選D如圖，連接AG并延長交BC于點(diǎn)M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴＝eq\f(2,3)，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝＋eq\f(2,3)eq\f(1,2)(＋)－＝eq\f(1,3)(＋＋)，而(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝eq\f(\r(6),3).2．已知空間四邊形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，則AB與CD所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C根據(jù)已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos，＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,2)，∴AB與CD所成的角為60°.3．設(shè)a，b，c是任意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b一定不與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的是()A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：選D根據(jù)向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)，可知a·b和c·a是實(shí)數(shù)，而c與b不共線，故(a·b)c與(c·a)b不一定相等，故①錯誤；③因?yàn)閇(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以當(dāng)a⊥b，且a⊥c或b⊥c時，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b與c垂直，故③錯誤；易知②④正確．故選D.4．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD()A．是鈍角三角形 B．是銳角三角形C．是直角三角形 D．形狀不確定解析：選B∵＝－，＝－，∴·＝(－)(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，∴cos∠CBD＝cos，＝eq\f(·,||·||)>0，∴∠CBD為銳角．同理，∠BCD與∠BDC均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．5．已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cosa，b＝________.解析：將|a－b|＝eq\r(7)兩邊平方，得(a－b)2＝7.因?yàn)閨a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cosa，b，故cosa，b＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)6.如圖所示，在一個直二面角α-AB-β的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為________．解析：∵＝＋＋＝－＋，∴＝(－＋)2＝＋＋－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2eq\r(29).答案：2eq\r(29)7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E為CC1上的點(diǎn)，且CE＝1，求異面直線AB1，BE所成角的余弦值．解：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋0＋3＝3.依題意，易知||＝eq\r(10)，||＝eq\r(5)，∴cos，＝eq\f(·,||||)＝eq\f(3,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),10).8．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B，D間的距離．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵＝＋＋，∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．當(dāng)〈，〉＝60°時，＝4；當(dāng)〈，〉＝120°時，2＝2.∴||＝2或eq\r(2)，即B，D間的距離為2或eq\r(2).3．1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示預(yù)習(xí)課本P92～94，思考并完成以下問題1．空間向量基本定理的內(nèi)容是什么？2．在空間向量中，基底的定義是什么？應(yīng)滿足什么條件？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(1)單位正交基底：三個有公共起點(diǎn)O的兩兩垂直的單位向量e1，e2，e3稱為單位正交基底．(2)空間直角坐標(biāo)系：以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.(3)空間向量的坐標(biāo)表示：對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作p＝(x，y，z)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間向量的一組基底()(2)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致()(3)對于三個不共面向量a1，a2，a3，不存在實(shí)數(shù)組{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知A(2,3－μ，－1＋ν)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是A′(λ，7，－6)，則λ，μ，ν的值為()A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7答案：D3．已知向量a，b，c是空間的一個基底，下列向量中可以與p＝2a－b，q＝a＋b構(gòu)成空間的另一個基底的是______(填序號)．①2a；②－b；③c；④a＋c答案：③④空間向量基本定理的理解[典例]已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底？[解]假設(shè)，，共面，由向量共面的充要條件知存在實(shí)數(shù)x，y，使＝x＋y成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1))此方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)x，y，使＝x＋y成立．∴，，不共面．故{，，}能作為空間的一個基底．判斷給出的某一向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面．如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進(jìn)行判斷．[活學(xué)活用]設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底．給出下列向量組：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的基底的向量組有________個．解析：如圖所設(shè)a＝，b＝，c＝，則x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底．答案：3空間向量基本定理的應(yīng)用[典例]如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示：，，，.[解]連接BO，則＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝－a＋eq\f(1,2)＝－a＋eq\f(1,2)(＋)＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a.用基底表示向量時：(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．(2)若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．[活學(xué)活用]如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝x＋y＋z；(2)＝x＋y＋z.解：(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋，又＝x＋y＋z，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.空間向量的坐標(biāo)表示[典例]如圖所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AB＝1.試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)．[解]∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴，，是兩兩垂直的單位向量．設(shè)＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.法一：如圖所示，∵＝＋＋＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e3，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).法二：如圖所示，連接AC，BD交于點(diǎn)O.則O為AC，BD的中點(diǎn)，連接MO，ON，∴＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，＝eq\f(1,2)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e3.∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).用坐標(biāo)表示空間向量的方法步驟[活學(xué)活用]在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求，的坐標(biāo)．解：(1)∵＝－＝－(＋)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))))＝－－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－4e3－eq\f(1,2)×4e1－eq\f(1,2)×2e2＝－2e1－e2－4e3，∴＝(－2，－1，－4)．(2)∵＝－＝－(＋)＝－＋－＝－4e1＋2e2－4e3，∴＝(－4,2，－4)．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．已知A(3,2，－3)，則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－3，－2,3) B．(－3,2，－3)C．(－3,2,3) D．(－3，－2，－3)解析：選C由對稱定義知．2．設(shè)p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底．當(dāng){a，b，c}為基底時，一定有a，b，c為非零向量．因此p?/q，q?p.3．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，下列說法正確的是()A．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同B．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同C．向量與向量的坐標(biāo)相同D．向量與向量－的坐標(biāo)相同解析：選D因?yàn)锳點(diǎn)不一定為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A不正確；同理B，C都不正確；由于＝－，所以D正確．4．已知空間四邊形OABC，其對角線為AC，OB，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，則等于()A.eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)(＋＋)C.eq\f(1,3)(＋＋)D.eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)解析：選B如圖，＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(＋＋)．5．空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且＝2，N為BC中點(diǎn)，則為()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：選B＝＋＋＝eq\f(1,3)＋－＋eq\f(1,2)(－)＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.6．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a，b的坐標(biāo)分別為________．解析：由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)7．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))答案：2－28．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，則λ＝________.解析：如圖，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，易知EF綊eq\f(1,2)A1D，∴＝eq\f(1,2)，即－eq\f(1,2)＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．(1)用向量a，b，c表示，；(2)若＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．解：(1)如圖，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(－＋)＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)，求證：EF⊥AB1.證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝＋＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋－)＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，＝＋＝＋＝a＋b.∴·＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.∴⊥，即EF⊥AB1.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量，，成為空間的一個基底的關(guān)系是()A．＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)B．＝＋C．＝＋＋D．＝2－解析：選C對于選項(xiàng)A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，知，，共面；對于選項(xiàng)B，D，易知，，共面，故選C.2．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面；④已知{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底．顯然②正確．③中由，，不能構(gòu)成空間的一個基底，知，，共面．又，，過相同點(diǎn)B，知A，B，M，N四點(diǎn)共面．下面證明①④正確：假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面，與條件矛盾，∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．于是①②③④四個命題都正確，故選D.3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，則向量在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(1,5)))C．(3,2,5) D．(3,2，－5)解析：選C＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(3,2,5)，故選C.4．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)分別為(3,4,5)和(0,2,1)，若＝eq\f(2,5)，則向量在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))解析：選A∵＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴＝eq\f(2,5)＝－eq\f(6,5)a－eq\f(4,5)b－eq\f(8,5)c，∴向量在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))，故選A.5．若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．解析：若x≠0，則a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a與b，c共面．由{a，b，c}是空間的一個基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.答案：x＝y(tǒng)＝z＝06．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，當(dāng)d＝αa＋βb＋γc時，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3.答案：37．設(shè)A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點(diǎn)，且M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點(diǎn)．求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．證明：依題意，有＝2，＝2.＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋＋)＋＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)．(*)∵A，B，C及A1，B1，C1分別共線，∴存在λ，ω∈R，使得＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.代入(*)式，得＝eq\f(1,2)(2λ＋2ω)＝λ＋ω，∴，，共面．∴M，N，P，Q四點(diǎn)共面．8．已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.證明：如圖，取向量，，為空間基底，則＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(＋)．∴＝－＝eq\f(1,2)(＋)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋－)，＝－＝eq\f(1,2)(＋)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋－)．又∵＝－，∴＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(－)，∴·＝eq\f(1,2)(＋)·eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,4)(||2－||2)，又∵||＝||，∴·＝0，即PM⊥QN.3．1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示預(yù)習(xí)課本P95～97，思考并完成以下問題1．類比平面向量，在空間向量中，a∥b，a⊥b的充要條件分別是什么？2．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則||如何表示？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(