2021-2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）49

試卷第1頁(yè)，共SECTIONPAGES1頁(yè)2021-2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）49姓名：___________班級(jí)：___________一．單選題1．【2022-天津數(shù)學(xué)高考真題】“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要2．【2021-全國(guó)甲卷（理）】設(shè)集合，則（）A. B.C. D.3．【2022-全國(guó)II卷數(shù)學(xué)高考真題】已知集合，則（）A. B. C. D.4．【2022-天津數(shù)學(xué)高考真題】化簡(jiǎn)的值為（）A.1 B.2 C.4 D.65．【2023-新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷真題】過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.6．【2021-北京數(shù)學(xué)高考真題】函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值（）A.奇函數(shù)，最大值為2 B.偶函數(shù)，最大值為2C.奇函數(shù)，最大值為 D.偶函數(shù)，最大值為7．【2022-全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)高考真題】橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.8．【2023-北京數(shù)學(xué)乙卷高考真題】坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）A. B.C. D.二．多選題9．【2021-全國(guó)新高II卷】下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)10．【2021-全國(guó)新高II卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A. B.C. D.11．【2021-全國(guó)新高II卷】設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.三．填空題12．【2021-浙江卷】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.13．【2023-北京數(shù)學(xué)乙卷高考真題】已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．14．【2021-浙江卷】袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.四．解答題15．【2022-浙江卷數(shù)學(xué)高考真題】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．16．【2022-全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)高考真題】在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．17．【2023-新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷真題】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．18．【2023-全國(guó)數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．19．【2023-天津卷數(shù)學(xué)真題】已知函數(shù)．（1）求曲線在處切線的斜率；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）證明：．答案第1頁(yè)，共SECTIONPAGES1頁(yè)2021-2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）49【參考答案】1．答案:A解析：由題意，若為整數(shù)，則為整數(shù)，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，整數(shù)，但不為整數(shù)，故必要性不成立；所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2．答案:B解析：因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.3．答案:B解析：，故，故選：B.4．答案:B解析：詳解】原式，故選：B5．答案:B解析：方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)椋瑒t，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.6．答案:D解析：由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.

7．答案:A解析：解：，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.8．答案:C解析：如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，所有棱長(zhǎng)之和為.故選：C9．答案:AC解析：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；故選：AC.10．答案:BC解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．答案:ACD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．答案:25解析：由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.13．答案:①.②.解析：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)?，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.14．答案:(1).1(2).解析：，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．15．答案:（1）；（2）．解析：（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【小問1詳解】由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．【小問2詳解】因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．16．答案:（1）證明見解析；（2）.解析：（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小?詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.17．答案:（1）答案見解析（2）證明見解析解析：（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【小問1詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.18．答案:（1）在上單調(diào)遞減（2）解析：（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)椋?，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個(gè)區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.19．答案:（1）（2）證明見解析（3）證明見解析解析：（2）問題化為時(shí)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對(duì)作放縮處理