科學(xué)計(jì)算課件

科學(xué)計(jì)算？

計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，使越來越多的復(fù)雜計(jì)算成為可能。利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算帶來了巨大的經(jīng)濟(jì)效益。

科學(xué)計(jì)算即是數(shù)值計(jì)算，是指應(yīng)用計(jì)算機(jī)

處理科學(xué)研究和工程技術(shù)中所遇到的數(shù)學(xué)計(jì)算。

主要包括建立數(shù)學(xué)模型、構(gòu)造求解的計(jì)算方法

和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)三個(gè)階段。

建立數(shù)學(xué)模型就是依據(jù)有關(guān)學(xué)科理論對(duì)所研究的對(duì)象確立一系列數(shù)量關(guān)系；然后尋找求解方法；計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)包括編制程序、調(diào)試、運(yùn)算和分析結(jié)果等。

11/7/20231計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院實(shí)用計(jì)算方法

全書共分8章，內(nèi)容包括：數(shù)值計(jì)算基本概念，插值與數(shù)據(jù)擬合方法，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及近似計(jì)算，定積分應(yīng)用及近似計(jì)算，方程求根數(shù)值方法，線性方程組數(shù)值解法，線性規(guī)劃問題及解法，矩陣特征值與特征向量計(jì)算。

本書從歷史背景，知識(shí)回顧，實(shí)際應(yīng)用，求解方法，算法實(shí)現(xiàn)（用C語言）等5個(gè)方面介紹了各章的相關(guān)內(nèi)容。11/7/20232計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院課程主要考核：科學(xué)計(jì)算的實(shí)際能力

優(yōu)秀：具有實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容中絕大多數(shù)問題的科學(xué)計(jì)算能力者

良好：具有實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容中80%的問題的科學(xué)計(jì)算能力

中等：具有實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容中70%的問題的科學(xué)計(jì)算能力

及格：具有實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容中60%的問題的科學(xué)計(jì)算能力

不及格：具有實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容中50%及以下的問題的科學(xué)計(jì)算能力者。

課程成績構(gòu)成：平時(shí)20%+課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告80%。

實(shí)驗(yàn)報(bào)告模板(A4打印）11/7/20233計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院第一章

數(shù)值計(jì)算基本概念

2011年3月11/7/20234計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院內(nèi)容提要用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的過程誤差及其表示算法和算法分析

用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的過程:第一步：建立問題的數(shù)學(xué)模型第二步：構(gòu)造（或選擇）求解數(shù)學(xué)模型的算法（或稱計(jì)算方法）第三步：編寫程序（即用計(jì)算機(jī)語言描述算法）第四步：編輯、調(diào)試、編譯和運(yùn)行程序，獲得計(jì)算結(jié)果第五步：分析計(jì)算結(jié)果。誤差及其表示

誤差：設(shè)x*是精確值x的一個(gè)近似值，記

e=x*﹣x，則稱e為x*的誤差，簡稱誤差。絕對(duì)誤差：誤差的絕對(duì)值即|e|。絕對(duì)誤差限：若|e|≤ε，則稱ε為絕對(duì)誤差限.

顯然，絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限可用于表示一個(gè)近似數(shù)與精確數(shù)之間的差距。由于精確值x往往是未知的，所以e也無法計(jì)算，但可根據(jù)情況估計(jì)出ε。例1.2設(shè)一個(gè)物體的重量為x，當(dāng)稱其重量時(shí)，重量界于量器的倆個(gè)刻度6和7之間，若計(jì)其重量為6.5并作為x的近似值，則|x﹣6.5|≤1/2。誤差及其表示雖然絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限可以表明一個(gè)近似數(shù)與精確數(shù)之間的差距，但不足以表明一個(gè)近似數(shù)的精確程度。例1.3設(shè)有精確數(shù)x=100，y=10。而x*=99，y*=9分別是x和y的近似值，則|x﹣x*|=|y-y*|=1，即x*和y*有相同的絕對(duì)誤差。然而相對(duì)而言，x*的精確程度明顯要比y*的精確程度高。相對(duì)誤差：設(shè)x*是精確值x的一個(gè)近似值，e是x*的誤差，記e*=|e/x|，則稱e*為近似值x*的相對(duì)誤差，簡稱為相對(duì)誤差。相對(duì)誤差限：若e*≤ε*，則稱ε*為相對(duì)誤差限。由相對(duì)誤差的概念可知，例1.3中x*和y*的相對(duì)誤差分別為0.01和0.1。誤差及其表示類似于絕對(duì)誤差，當(dāng)精確值x未知時(shí)，無法計(jì)算出e*，但可根據(jù)情況估計(jì)出ε*。應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的過程中的第五步：分析計(jì)算結(jié)果，就是對(duì)計(jì)算結(jié)果的誤差進(jìn)行分析。一般情況下，在設(shè)計(jì)算法時(shí)就要對(duì)計(jì)算結(jié)果的誤差進(jìn)行分析，以保證計(jì)算能獲得滿足精度要求的結(jié)果。反映一個(gè)近似數(shù)準(zhǔn)確程度的另一個(gè)常用概念是有效數(shù)字。計(jì)算的結(jié)果是否可靠，前提是參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)的每一位數(shù)字是否可靠。可靠的數(shù)字越多，這個(gè)近似數(shù)就越精確。在計(jì)算機(jī)上不可能取無限多位數(shù)字。具有多位乃至無窮位的準(zhǔn)確值，需要用前有限位來近似時(shí)，是按照四舍五入規(guī)則進(jìn)行截取和進(jìn)位的，按此規(guī)則可保證其絕對(duì)誤差最小。算法和算法分析

算法是求解問題的方法的步驟序列。一個(gè)算法應(yīng)該具有下列特性：⑴有窮性：一個(gè)算法必須在有窮步之后結(jié)束。⑵確定性：算法的每一步必須有確切的定義。⑶可行性：算法中的每一步都可以通過基本運(yùn)算得以實(shí)現(xiàn)。⑷輸入：一個(gè)算法具有零個(gè)或多個(gè)輸入。⑸輸出：一個(gè)算法具有一個(gè)或多個(gè)輸出，輸出同輸入之間存在某種特定的關(guān)系。用程序設(shè)計(jì)語言描述的一個(gè)算法就是一個(gè)程序。

算法和算法分析作為一個(gè)算法，通常要滿足以下要求：⑴正確：算法的執(zhí)行結(jié)果應(yīng)當(dāng)滿足預(yù)先規(guī)定的功能和性能要求。⑵可讀：一個(gè)算法應(yīng)當(dāng)思路清晰、層次分明、簡單明了、易讀易懂。⑶健壯：當(dāng)輸入不合法數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)能作適當(dāng)處理，不至引起嚴(yán)重后果。⑷高效：有效使用存儲(chǔ)空間和有較高的時(shí)間效率。算法和算法分析:算法描述用自然語言描述算法:優(yōu)點(diǎn)是便于人們對(duì)算法的閱讀和理解。缺點(diǎn)是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。用算法流程圖、N-S圖等算法描述工具。其特點(diǎn)是描述過程簡潔、明了。用程序設(shè)計(jì)語言描述算法，其特點(diǎn)是接近于程序但不直觀。用偽碼語言的描述方法來描述算法。偽碼語言介于高級(jí)程序設(shè)計(jì)語言和自然語言之間，它比程序設(shè)計(jì)語言更容易描述和被人理解，而比自然語言更接近程序設(shè)計(jì)語言。算法的復(fù)雜度

一般情況下，算法中原操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是規(guī)模n的某個(gè)函數(shù)T(n)。定義：設(shè)問題的規(guī)模為n，算法執(zhí)行的原操作的次數(shù)為g(n)，如果存在f(n)和正常數(shù)c，使得：當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，f(n)/g(n)的極限為c。則稱T(n)=cf(n)

為算法的時(shí)間復(fù)雜度，記為：

T(n)＝Ο(f(n))

讀為：算法的時(shí)間復(fù)雜度與f(n)是同階的。多數(shù)情況下精確地計(jì)算T(n)是困難的，只能給出它的一個(gè)估計(jì)。算法的空間復(fù)雜度算法的空間復(fù)雜度與算法的時(shí)間復(fù)雜度類似，算法的空間復(fù)雜度（Spacecomplexity）是指在實(shí)現(xiàn)算法時(shí)所需的存儲(chǔ)量。同算法的時(shí)間復(fù)雜度一樣是評(píng)價(jià)一個(gè)算法好壞的重要標(biāo)志。算法的穩(wěn)定性

由于獲取的原始數(shù)據(jù)有可能是近似的，而且在每一步的計(jì)算過程中都可能產(chǎn)生舍入誤差，所以，完全有可能出現(xiàn)這樣一種情況，即在計(jì)算的過程中，前一步產(chǎn)生的誤差不斷被放大，以至于最終算出錯(cuò)誤的結(jié)果。例1.9計(jì)算積分：解：利用分部積分法可得：從而有遞推公式：

（1-1）取E*1=0.367879，利用上式計(jì)算，得計(jì)算結(jié)果如表1-2：

nEnnEn123450.3678790.2642420.2072740.17090401271200.1101600.118720-0.068480表1-2取E*1=0.367879計(jì)算所得結(jié)果

由于е是無理數(shù)，所以，

E1=1/е只能取E1的近似值E*1。設(shè)E*1-E1=ε，則有E*1＝E1+ε。代入遞推式計(jì)算E2有計(jì)算結(jié)果：

E*2=1-2E*1

＝1-2(E1+ε)=1-2E1-2ε=E2-2ε把E*2代入遞推式計(jì)算E３有計(jì)算結(jié)果：

E*3=1-3E*2=1-3(E2-2ε)=1-3E2+6ε=E3+6ε同理有：E*4=E4-4!ε當(dāng)n=9時(shí)，有E*９=E９+9!ε即E*９-E９=9!ε=362880ε。上述分析說明：用遞推式計(jì)算Eｎ，當(dāng)算到E９時(shí)，第一步產(chǎn)生的誤差已被放大了362880倍！由表1-2知，當(dāng)n=9時(shí)，計(jì)算結(jié)果E9=－0.06848，這與積分性質(zhì)：被積函數(shù)非負(fù)則積分非負(fù)相矛盾，即計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的。算法分析：

如果采用新的算法,把上述遞推關(guān)系改寫成

（1-2）從后向前計(jì)算，則En-1的誤差是En的1/n倍。所以，若取n足夠大，誤差逐步減小，其影響愈來愈小。為了得到出發(fā)值，可考慮關(guān)系：當(dāng)取n=20，E20=0.0時(shí)，按(1-2)式計(jì)算的結(jié)果如表1-3。

nEnnEn2019181716150.00000000.05000000.05100000.05277780.05571900.0590176141312111090.06273220.06694770.07177330.07735230.08387710.0916123表1-3取n=20，E20=0.0，按(1-2)式計(jì)算的結(jié)果

算法（1-1）式與（1-2）式的區(qū)別在于，（1-1）在計(jì)算的過程中，初始產(chǎn)生的誤差不斷被放大，而（1-2）則沒有。對(duì)于一個(gè)算法而言，如果像算法（1-1）一樣，在計(jì)算的過程中，初始產(chǎn)生的誤差不斷被放大，則稱該算法是不穩(wěn)定的，否則稱該算法是穩(wěn)定的（像算法（1-2）就是穩(wěn)定的）。由例1.9知，一個(gè)不穩(wěn)定的算法可以導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。所以，在設(shè)計(jì)算法時(shí)，要分析算法的穩(wěn)定性，只有穩(wěn)定的算法才是可靠的。第二章

插值與數(shù)據(jù)擬合方法

11/7/202319計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院內(nèi)容提要插值問題插值方法數(shù)據(jù)擬合問題數(shù)據(jù)擬合方法插值問題舉例設(shè)有函數(shù)

的取值表如表，計(jì)算

(1.014)解法1:先對(duì)自變量作近似，

1.0141.01，查表得到

(1.01)=0.8438

所以

(1.014)

(1.01)=0.8438。解法2:函數(shù)值取二者的中點(diǎn)：

(1.014)

[

(1.01)+

(1.02)]/2

=[0.8438+

0.8461]/2

=0.84495插值問題

插值問題：已知函數(shù)((x)的解析表達(dá)式可能十分復(fù)雜，也可以未知）在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)：

xj(j=0,1,2,…,n)處的函數(shù)值分別是：

yj

(j=0,1,2,…,n)其中xj互不相同。求滿足條件f(xj)=yj(j=0,1,2,…,n)的函數(shù)。若要求是n次代數(shù)多項(xiàng)式即：則稱問題為代數(shù)插值問題，稱為插值多項(xiàng)式。

拉格朗日（Lagrange）插值多項(xiàng)式

：

先構(gòu)造一組基函數(shù)：

是n次多項(xiàng)式，且滿足：顯然是滿足條件fn(xj

)=yj

(j=0,1,2,…,n)的n次多項(xiàng)式。令例2.1已知函數(shù)y=g(x)的觀察數(shù)據(jù)如表2-3。表2-3函數(shù)y=g(x)的觀察數(shù)據(jù)xk－2045yk51－31試構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式fn(x)，并計(jì)算g(-1)的近似值。解：先構(gòu)造基函數(shù)則f3(x)==g(-1)

f3(-1)＝11/7插值余項(xiàng)(Remainder)若在[a，b]上用fn(x)近似f(x)，則其截?cái)嗾`差為

Rn(x)=f(x)-fn(x)稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。

定理：設(shè)f(n)(x)在[a，b]上連續(xù)，

f(n+1)(x)在(a，b)內(nèi)存在，則節(jié)點(diǎn)為的插值多項(xiàng)式fn(x)

對(duì)任何x∈(a，b)，插值余項(xiàng)為:

其中:多項(xiàng)式插值舉例

例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1利用多項(xiàng)式插值舉例解：n=2sin50=0.7660444…注:2次插值的實(shí)際誤差

0.00061注:1次插值的實(shí)際誤差

0.01Newton插值法的構(gòu)造思想：

在Lagrange插值中，若增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)

lj(x)

都需重新計(jì)算。為了克服這一缺點(diǎn)，構(gòu)造如下形式的插值多項(xiàng)式：

其中a0，a1，…，an為待定系數(shù)，可由插值條件

確定。稱為f關(guān)于點(diǎn)的k階均差。i

xif(xi)一階均差

二階均差

三階均差

…

n階均差0

x0

f(x0)1

x1

f(x1)f[x0,x1]2

x2

f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]3

x3

f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]……………

…n

xnf(xn)f[xn

?1,xn]f[xn

?2,xn

?1,xn]f[xn

?3,…,xn]

…f[x0,x1,…,xn]由定義可構(gòu)造均差表：x1234y0-5-63xif(xi)一階均差二階均差三階均差12340-5-63-5-19251例2.3已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)為：

構(gòu)造f(x)的牛頓均差插值多項(xiàng)式。解：作均差表2-6。表2-6例2-3的均差表

從而有：

P3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3埃爾米特(Hermite)插值問題

不少實(shí)際問題中不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且要求導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這一要求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特插值多項(xiàng)式。埃爾米特插值問題:設(shè)在節(jié)點(diǎn)上有:求滿足條件:且次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式:埃爾米特插值多項(xiàng)式的構(gòu)造其中:

n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)

滿足條件：

Pn(xj)=yj

,j=0,1,…,n.

n次多項(xiàng)式函數(shù)Qn(x)待定顯然:構(gòu)造埃爾米特插值多項(xiàng)式如下:埃爾米特插值多項(xiàng)式的構(gòu)造n次多項(xiàng)式函數(shù)Qn(x)的確定:由于:用插值法可確定滿足上述條件的Qn(x)Runge現(xiàn)象和分段插值

對(duì)于函數(shù)：采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：取插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n=10時(shí)的插值計(jì)算結(jié)果如右圖。由圖知：當(dāng)n=10時(shí)，插值函數(shù)出現(xiàn)劇烈的振蕩現(xiàn)象,局部誤差很大,這種現(xiàn)象稱為(Runge)現(xiàn)象。

分段插值問題

設(shè)函數(shù)g(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,…,xn處的函數(shù)值分別為y0,y1,…,yn

。求一個(gè)分段函數(shù)q(x)，滿足條件：

q(xj)=yj，

j=0，1，…，n.右圖為一分段線性函數(shù)的圖示。

xjxj-1xj+1x0xn數(shù)據(jù)擬合與最小二乘法

實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)的記錄:纖維強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)間關(guān)系纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近最小二乘法:y和x是線性關(guān)系即y=ax+b，給出合理地確定a和b的方法考慮一般的線性超定方程組：線性超定方程組的最小二乘解，即使取最小的解X.求線性超定方程組的最小二乘解即：實(shí)例對(duì)應(yīng)的最小二乘解纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似于線性關(guān)系，故可選取線性函數(shù)y=ax+b為擬合函數(shù)。對(duì)應(yīng)的方程組為:拉格朗日插值例程:

是用拉格朗日插值公式近似計(jì)算非插值節(jié)點(diǎn)x處的函數(shù)值f(x)的C程序。運(yùn)行該程序時(shí)可根據(jù)提示輸入（節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于20的）任意一組節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值xi,yi，當(dāng)輸入了非插值節(jié)點(diǎn)x后，程序輸出相應(yīng)的函數(shù)值y。

說明：(1)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于20時(shí)(例如插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是40),只要修改程序中行：floatx1,y1,c1,t,x[21],y[21],c[21];中的21(為41)既可。(2)如果需要計(jì)算的非插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值不止一個(gè)（例如需要計(jì)算10個(gè)非插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值)只要在程序行：printf(“請(qǐng)輸入非插值節(jié)點(diǎn)x：”);之前增加行：for(k=1;i<=10;k++){

并在程序的最后再加一個(gè)花括號(hào)“}”既可。(3)程序中向量x和y分別用于存放插值節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

牛頓插值例程:

該程序是用牛頓插值公式近似計(jì)算非插值節(jié)點(diǎn)x處的

函數(shù)值f(x)的C程序。運(yùn)行該程序時(shí)可根據(jù)提示輸入（節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于20的）任意一組插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值xi,yi，當(dāng)輸入了非插值節(jié)點(diǎn)x后，程序輸出相應(yīng)的函數(shù)值y。

1.說明：（1）當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于20時(shí)（例如插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是40），只要修改程序中行：floatx1,y,t,x[21],A[21][21];中的21（為41）既可。

（2）如果需要計(jì)算的非插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值不止一個(gè)（例如需要計(jì)算10個(gè)非插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值），只要在程序行：printf("請(qǐng)輸入非插值節(jié)點(diǎn)x：");之前增加：

for(k=1;i<=10;k++){

并在程序的最后再加一個(gè)花括號(hào)“}”既可。

（3）程序中向量x和矩陣A分別用于存放插值節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值以及均差表。

最小二乘曲線擬合例程

該程序是用最小二乘法進(jìn)行線性擬合的C語言程序。運(yùn)行該程序時(shí)可根據(jù)提示輸入（擬合數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)小于等于100的）任意一組數(shù)據(jù)（xi,yi），程序輸出相應(yīng)的擬合曲線的方程：y=ax+b。

1.說明：

（1）當(dāng)擬合數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)大于100時(shí)（例如插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是140），只要把程序中行：floatA,B,C,D,a1,b1,x[101],y[101];中的101（為141）既可。

（2）程序中向量x和y分別用于存放擬合節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

第三章

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及近似計(jì)算11/7/202345計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院微積分的誕生，主要起源于對(duì)以下幾個(gè)問題的研究。1．已知物體移動(dòng)的距離為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度。2．曲線切線問題，運(yùn)動(dòng)物體在任一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向即切線方向。3．炮彈射程問題：求獲得最大射程的發(fā)射角。4．曲線的弧長、物體重心，引力等。為微積分學(xué)的誕生作出重要貢獻(xiàn)的是科學(xué)巨匠牛頓：伊撒克·牛頓，生于1642年12月25日，1727年3月20日病逝，墓志銘的最后一句話是：“他是人類的真正驕傲”。1661年考入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，到1664年時(shí)他對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚興趣，他的許多重要發(fā)現(xiàn)是在1665-1666兩年間完成的。1664年到1666年，牛頓提出流數(shù)理論，建立了一套求導(dǎo)數(shù)的方法，他把自己的發(fā)現(xiàn)稱為“流數(shù)術(shù)”(即導(dǎo)數(shù))。牛頓總結(jié)了先輩的思想，作出了自己獨(dú)創(chuàng)的建樹。當(dāng)人們問他如何作出他的發(fā)現(xiàn)時(shí)，他總是回答說：“經(jīng)常不斷地想它們”。牛頓最大的功績是將貌似無關(guān)的切線問題和求積問題聯(lián)系起來。經(jīng)過牛頓的工作，微積分成為一門全新的學(xué)科。由此，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的新分支：微分方程、微分幾何，變分法，復(fù)變函數(shù)等。恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”。導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)1

導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì)函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x=x0處給自變量x以增量△x，函數(shù)y相應(yīng)有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限

存在，則此極限稱為f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f’(x0)，或y|x=x0。導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率為k＝f’(x0)．所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的方程為:

y

y0=f’(x0)·(x－x0)．

導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)3導(dǎo)數(shù)的物理意義：物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時(shí)速度v就是路程s對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s’(t).

常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(C)’

0(c為常數(shù))；(xn)’

nxn

1

(sinx)’

cosx；(cosx)’

sinx(ex)’

ex；(ax)’

ax·lna

(lnx)’

；(logax)’

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)：(u±v)’＝u’±v’.2)函數(shù)的積的導(dǎo)教：(uv)’＝u’v+v’u.3)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)：

()’=4)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u＝g(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u’x＝g’(x)，函數(shù)f(u)在點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y’u=f’(u)；則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且y’x＝y(tǒng)’u·u’x導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)如果f’(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為增函數(shù)；如果f’(x)<0,則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為減函數(shù)；如果恒有f’(x)＝0，則y=f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x都有f(x)＜f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)；如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x，都有f(x)＞f(x0)，稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0).

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。函數(shù)極值的判斷法則對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)

，如果在x0附近的左側(cè)f’(x)>0，右側(cè)f’(x)<0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f’(x)<0，右側(cè)f’(x)>0，那么f(x0)是極小值．存在性：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個(gè)是最大值，較小的一個(gè)是最小值.利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)。主要是研究函數(shù)的增減性、函數(shù)的極大（?。┲怠⒑瘮?shù)的最大（?。┲狄约耙恍┡c實(shí)際相關(guān)的問題。經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的常見函數(shù)

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，主要是研究在該領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)，常見的函數(shù)有:價(jià)格函數(shù)：

一般說來，價(jià)格是銷售量的函數(shù)。例如：某批發(fā)站批發(fā)1000只杯子給零售商，批發(fā)定價(jià)是20元，若批發(fā)商每次多批發(fā)200只杯子，相應(yīng)的批發(fā)價(jià)格就降低1元，現(xiàn)在批發(fā)站杯子的存貨只有2000只，最小的銷量是1000只，求價(jià)格函數(shù)。需求函數(shù)：作為一種商品，其需求量受到很多因素影響，為了便于討論，我們先不考慮其他因素，假設(shè)商品的需求量僅受市場價(jià)格的影響。即Q=f(p)，其Q中表示商品需求量，p表示商品市場價(jià)格。例如：某廠家從促進(jìn)消費(fèi)的需求考慮，對(duì)某空調(diào)的價(jià)格從3000元/臺(tái)降到2500元/臺(tái)，相應(yīng)的需求量從3000臺(tái)增到5000臺(tái)，求需求函數(shù)。成本函數(shù)：成本包括固定成本和變動(dòng)成本兩類.固定成本是指廠房、設(shè)備等固定資產(chǎn)的折舊、管理者的固定工資等，記為C0。變動(dòng)成本是指原材料的費(fèi)用、工人的工資等，記為C1。這兩類成本的總和稱為總成本，記為C，即C=C0+C1

。假設(shè)固定成本不變（C0為常數(shù)），變動(dòng)成本是產(chǎn)量q的函數(shù)（C1=C1(q)），則成本函數(shù)為C=C(q)=C0+C1(q)。

收益函數(shù)：在商業(yè)活動(dòng)中，一定時(shí)期內(nèi)的收益，就是指商品售出后的收入，記為R.銷售某商品的總收入取決于該商品的銷售量和價(jià)格。因此，收入函數(shù)為R=PQ，其中Q表示銷售量，P表示價(jià)格。利潤函數(shù)：利潤是指收入扣除成本后的剩余部分，記為L。則L=R-C，其中R表示收入，C表示成本?？偸杖霚p去變動(dòng)成本稱為毛利潤，再減去固定成本稱為純利潤。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用舉例

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，稱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)為f(x)的邊際函數(shù)，記作My。設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)為C=C(q)，則稱MC=C’(q)為邊際成本。邊際成本的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本為C'(q)。類似可定義其它概念，如邊際收入，邊際產(chǎn)量，邊際利潤，邊際銷量等。例1

某種產(chǎn)品的總成本C（萬元）與產(chǎn)量q（萬件）之間的函數(shù)關(guān)系式（即總成本函數(shù)）為：求產(chǎn)量為q=10（萬件）時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，是否可提高產(chǎn)量？解當(dāng)q=10時(shí)的總成本為C(10)=100+4*10-0.2*102+0.01*103=130（萬元）平均成本為C(10)/10=130/10=13（元/件）邊際成本MC=C'(q)=4-0.4q+0.03q2MC│q=10=4-0.4*10+0.03*102=3（元/件）

因此在生產(chǎn)水平為10萬件時(shí)，每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加3元，遠(yuǎn)低于當(dāng)前的單位成本，從降低成本角度看，應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量!C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3例2

某公司總利潤L（萬元）與日產(chǎn)量q（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為L=L(q)=2q-0.005q2-150

試求每天生產(chǎn)150噸，200噸，350噸時(shí)的邊際利潤，并說明經(jīng)濟(jì)含義。解:邊際利潤ML=L'(q)=2-0.01qML│q=150=2-0.01*150=0.5；ML│q=200=2-0.01*200=0；ML│q=350=2-0.01*350=-1.5結(jié)果表明，日產(chǎn)量為150噸時(shí)，每增加1噸產(chǎn)量可增加利潤0.5萬元；日產(chǎn)量為200噸時(shí)，再增加產(chǎn)量，總利潤已經(jīng)不會(huì)增加；日產(chǎn)量在350噸時(shí)，每增加1噸反而使總利潤減少1.5萬元，可見，日產(chǎn)量定在200噸時(shí)，總利潤最大為：L(25)=2*200-0.005*2002-150=50（萬元）從上例可以發(fā)現(xiàn)，公司獲利最大的時(shí)候，邊際利潤為零。例3某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)和收入函數(shù)依次為，C(q)=3000+200q+(1/5)q2，R(q)=350q+(1/20)q2，其中:q為產(chǎn)品的月產(chǎn)量，每月的產(chǎn)品均能全部銷完，求利潤最大的月產(chǎn)量應(yīng)為多少？解L(q)=R(q)-C(q)=150q-(3/20)q2-3000L'(q)=150-(3/10)q令L'(q)=0，得q=500即當(dāng)月產(chǎn)量為500生產(chǎn)單位時(shí)，利潤最大。從上例我們可以證明，利潤最大的必要條件是邊際收入等于邊際成本。即由L‘(q)=0且L(q)=R(q)-C(q)得L’(q)=R‘(q)-C’(q)=0，即R‘(q)=C’(q)，也即MR=MC。例4

某企業(yè)生產(chǎn)過程中需使用某種原材料。到外地采購一次這種原材料，要開銷采購人員的工資、旅差費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)等，但每次采購的總的采購費(fèi)用基本相同。原材料被采購回來后，除了被使用外，存放在倉庫里，要開銷保管費(fèi)用，保管費(fèi)用通常是采購批量、采購價(jià)格、保管費(fèi)率三者乘積的一半，試求總費(fèi)用最小的采購批量。解設(shè)每年使用原材料的總量為Q，每次采購的批量為q，每次采購費(fèi)用為k，則年采購次數(shù)為(Q/q)，每年的采購費(fèi)用為(Q/q)k。又設(shè)該原材料的價(jià)格為p，保管費(fèi)率是i，則庫存費(fèi)用為(1/2)qpi，因此總費(fèi)用為C(q)=(Q/q)k+(1/2)qpi

C‘(q)=-(Q/q)k+(1/2)pi，令C’(q)=0，解出的q即總費(fèi)用最小的每次采購批量。例5

某企業(yè)生產(chǎn)使用某原材料100噸/年，每次采購的費(fèi)用是1000元，每噸原材料的年庫存費(fèi)（材料價(jià)格與保管費(fèi)率之積）為500元，如果材料消耗是均勻的，問應(yīng)分幾批采購，使總費(fèi)用最??？解設(shè)每次采購原材料q噸，則總費(fèi)用為C(q)=(100/q)1000+(1/2)q500C'(q)=-(100000/q2)+(1/2)500令C‘(q)=0，可解得q=20（噸）即每年分(100/20)=5（次）時(shí)，總費(fèi)用最小。插值型數(shù)值微分問題：已知f(x)

在節(jié)點(diǎn)x0,…,xn

上的函數(shù)值，何計(jì)算在這些節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的近似值？方法：構(gòu)造出f(x)

的插值多項(xiàng)式pn(x)，用pn(x)

的導(dǎo)數(shù)近似f(x)

的導(dǎo)數(shù)。兩點(diǎn)公式：n=1，節(jié)點(diǎn)x0，

x1

，步長h=x1-x0

三點(diǎn)公式：n=2，步長h

，節(jié)點(diǎn)xi

=x0

+

ih

，i

=0,1,2三點(diǎn)公式：n=2，步長h，節(jié)點(diǎn)xi=x0

+ih

，i=0,1,2例：已知函數(shù)y=ex

的函數(shù)值表試用兩點(diǎn)和三點(diǎn)公式計(jì)算x=2.7處的一階、二階導(dǎo)數(shù)。解：兩點(diǎn)公式：取x0=2.6，x1=2.7，得

三點(diǎn)公式：取x0=2.6，x1=2.7，x2=2.8，得

求導(dǎo)公式例程該程序是用等距兩點(diǎn)公式、三點(diǎn)公式、四點(diǎn)公式計(jì)算給定點(diǎn)各點(diǎn)處1階或2階導(dǎo)數(shù)的C語言程序。運(yùn)行該程序時(shí)可根據(jù)提示輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)任意一組節(jié)點(diǎn)（xi,yi），選擇計(jì)算公式后，程序輸出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值。1.說明：（1）當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于20時(shí)（例如是40），只要修改程序行：doublex[21],y[21],y1[21],h,t;中的21（為41）既可。（2）計(jì)算公式均為等距節(jié)點(diǎn)公式，即。xi+1-xi=h,i=1,2,…。（3）所選公式與節(jié)點(diǎn)數(shù)間具有關(guān)系：若選兩點(diǎn)公式則節(jié)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，選三點(diǎn)公式則節(jié)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)，選四點(diǎn)公式則節(jié)點(diǎn)數(shù)為4的倍數(shù)。(4)由于計(jì)算公式的誤差均和h有關(guān)，實(shí)際計(jì)算時(shí)h越小越好。

第四章

定積分應(yīng)用及近似計(jì)算

11/7/202370計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院為微積分學(xué)的誕生作出重要貢獻(xiàn)的另一位舉世罕見的科學(xué)天才是萊布尼茨，他和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人，他們彼此獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分。戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨(1646年7月1日～1716年11月14日）德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家。他6歲時(shí)父親去世，1661年萊布尼茨(15歲)進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1664年1月萊布尼茨(18歲)完成了論文《論法學(xué)之艱難》，獲哲學(xué)碩士學(xué)位。是年母親不幸去世。1667年2月，阿爾特多夫大學(xué)授予他(21歲)法學(xué)博士學(xué)位，還聘請(qǐng)他為法學(xué)教授。1684年，萊布尼茨發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。他的研究成果遍及力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等。他是最早研究中國文化和中國哲學(xué)的德國人，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。定積分的基本知識(shí)定積分的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義且有界，任取一組分點(diǎn)a=x0<x1<x2<...<xn=b，把區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)小區(qū)間的長度記為

xi=xi－xi－1，(i=1，2，...，n)．在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi](i=1，2，...，n)，上任取一點(diǎn)

i作和式，稱為f(x)在[a，b]上的積分和．記||

x||=

xi．如果當(dāng)||

x||

0時(shí)，積分和的極限存在且相同，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，并稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作，即

=其中[a，b]稱為積分區(qū)間，a為積分下限，b為積分上限，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式．定積分的幾何幾何意義:

由曲線y=f(x)、直線x=a，x=b和x軸圍成的曲邊梯形面積為A=；定積分的物理意義:

以速度v(t)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)刻t0到T通過的路程為s=．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

若f(x)在[a，b]上可積，則|f(x)|可積．性質(zhì)2=0，=b－a．性質(zhì)3=－．性質(zhì)4=

，

=k，(任意k

R)，性質(zhì)5=+，

性質(zhì)6

如果在區(qū)間[a，b]上有f(x)

g(x)，則

．

性質(zhì)7

設(shè)函數(shù)m

f(x)

M，x

[a，b]，則

m(b－a)

M(b－a)．性質(zhì)8

設(shè)函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a，b之間至少存在一個(gè)

，使

=f(

)(b－a)．積分基本定理及公式

定理2(原函數(shù)存在定理)如果f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上的原函數(shù)一定存在，且其中的一個(gè)原函數(shù)為:

(x)=

定理3(牛頓－萊布尼茲公式)設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

=F(b)－F(a)

1.若平面圖形

D被夾在直線

x=a與x=b之間,且其上下邊界的方程分別為

y=?(x)和

y=g(x)則圖形的面積為oyy=?(x)aby=g(x)xD定積分應(yīng)用2.旋轉(zhuǎn)體的體積oxyy=?(x)ab

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

由連續(xù)曲線y=?(x)、直線x=a

、直線x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.定積分應(yīng)用3.由邊際函數(shù)求原函數(shù)解已知邊際成本為固定成本為1000,求總成本函數(shù)。定積分應(yīng)用4.由變化率求總量例

某工廠生產(chǎn)某商品在時(shí)刻的總產(chǎn)量變化率為(單位/小時(shí))。求由到這兩小時(shí)的總產(chǎn)量。

解定積分應(yīng)用定積分的近似計(jì)算

設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)，且已知函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的值，作插值函數(shù)，我們?nèi)?/p>

作為積分的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式稱為插值型的.由插值余項(xiàng)定理可知，對(duì)于插值型的求積公，其余項(xiàng)

常用公式

當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的求積公式是下列梯形公式:當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的求積公式也稱為拋物線公式:當(dāng)時(shí)，公式為:

常用公式的誤差估計(jì)

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形公式的截?cái)嗾`差為:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則拋物線公式的截?cái)嗾`差為:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)，則科茲公式的截?cái)嗾`差為:復(fù)化求積公式

把積分區(qū)間[a，

b]分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上使用梯形公式或拋物線公式，然后把結(jié)果加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這種求積公式稱為復(fù)合求積公式。復(fù)化梯形公式:把積分區(qū)間等分，步長節(jié)點(diǎn)在每個(gè)子區(qū)間上使用梯形公式得:相加后得:復(fù)化梯形公式的幾何解釋復(fù)化拋物線公式:把積分區(qū)間2n等分，步長，節(jié)點(diǎn)在每個(gè)子區(qū)間上使用拋物線公式:相加后得2212210)]()(4)([3)(222++-=++=?ò+iiinixxxfxfxfhdxxfii?ò++-=++=2212210)]()(4)([3)(iiinibaxfxfxfhdxxf復(fù)化拋物線公式的幾何解釋求積公式的代數(shù)精確度為了保證數(shù)值求積公式的精度，我們自然希望求積公式能夠?qū)ΡM可能多的函數(shù)f(x)都準(zhǔn)確成立，這在數(shù)學(xué)上常用代數(shù)精確度這一概念來說明。定義:如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過n的一切多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對(duì)某個(gè)n+1次多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精確度為n。顯然，梯形公式具有一次代數(shù)精確度。數(shù)值積分例程變步長復(fù)化梯形公式例程該程序是用變步長復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分的C語言程序。被積函數(shù)為sin(x)/x,積分區(qū)間可取[0,1]，誤差限可取為1e-6（0.000001）。1.說明：當(dāng)被積函數(shù)改變時(shí)，只要修改程序中函數(shù)定義部分：floatf(floatx){floatsum=0;

if(x==0)return1;sum=sin(x)/x;returnsum;}既可。變步長復(fù)化拋物線公式例程該程序是用變步長復(fù)化拋物線公式計(jì)算定積分的C語言程序。被積函數(shù)為sin(x)/x,積分區(qū)間可任取，誤差限可取為1e-6。1.說明：當(dāng)被積函數(shù)改變時(shí)，只要修改程序中函數(shù)定義部分：floatf(floatx){floatsum=0;

if(x==0)return1;sum=sin(x)/x;returnsum;}既可。函數(shù)名:sqrt

功能:返回指定數(shù)字的平方根.

用法:sqrt(x);函數(shù)名:log功能:自然對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x)

用法:log(x);函數(shù)名:fabs

功能:求浮點(diǎn)數(shù)x的絕對(duì)值.

用法:fabs(x);函數(shù)聲明:cos(x);用途:用來返回給定的X的余弦值。

算術(shù)運(yùn)算符:加(+)、減(-)、乘(*)、除(/)、當(dāng)被積函數(shù)改變時(shí)，只要修改程序中紅色部分：floatf(floatx){floatsum=0;

if(x==0)return1;sum=sin(x)/x;returnsum;}第五章

方程求根數(shù)值方法

公元前1700年的古巴比倫人已有1、2次方程的解法。1535年意大利數(shù)學(xué)家坦特格里亞發(fā)現(xiàn)了3次方程的解法:后來卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生弗瑞里又提出了4次方程的解法:以后的倆個(gè)世紀(jì)中沒有新成果，人們對(duì)高次代數(shù)方程解的存在性產(chǎn)生了懷疑。1799年，德國數(shù)學(xué)家高斯證明了代數(shù)方程必有一個(gè)實(shí)根或復(fù)根，由此可推得n次代數(shù)方程必有n個(gè)實(shí)根或復(fù)根。到18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日統(tǒng)一了2、3、4次方程的解法。在探索5次以上方程解的第一個(gè)重大突破是挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾1824年發(fā)表了“五次方程代數(shù)解法不可能存在”的論文，但未受到重視，連數(shù)學(xué)大師高斯也未理解該成果的重要意義。阿貝爾是19世紀(jì)挪威出現(xiàn)的最偉大數(shù)學(xué)家，一生在貧窮的環(huán)境掙扎，他在生之日希望能有一個(gè)固定的職業(yè)使他能安定生活和做研究，并且希望能和他喜愛的一個(gè)女郎結(jié)婚。可是命運(yùn)像是要和他作對(duì)，他所期望的東西全落空，最后肺病奪去了他的生命，死時(shí)才26歲！翻開近代數(shù)學(xué)的教科書和專門著作，阿貝爾這個(gè)名字是屢見不鮮的：阿貝爾積分、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾積分方程、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾基本定理、阿貝爾極限定理、阿貝爾可和性，等等。為了紀(jì)念挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾誕辰200周年，挪威政府于2003年撥款２億挪威克郎（約合２２００萬美元）設(shè)立了一項(xiàng)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)——阿貝爾獎(jiǎng)。1828年17歲的法國數(shù)學(xué)家伽羅華寫出論文“關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問題”，指出即使在公式中容許用n次方根，用類似算法求五次或更高次代數(shù)方程的根是不可能的。文章呈交法蘭西科學(xué)院后，遭到冷遇且文稿丟失。1830年伽羅華再進(jìn)科學(xué)院遞稿，得到法國數(shù)學(xué)家泊松院士的判詞“完全不能理解”。后來伽羅華投考名校巴黎工科大學(xué)落榜，屈就高等師院，并卷入政事兩次入獄，被開除學(xué)籍，又決斗受傷，死于1832年。決斗前他把關(guān)于五次代數(shù)求解的研究成果寫成長信留了下來。十四年后，法國數(shù)學(xué)家劉維爾整理并發(fā)表了伽羅華的遺作，人們才意識(shí)到這項(xiàng)近代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要成果的寶貴。

引言在科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中,經(jīng)常會(huì)遇到的一大類問題是非線性方程

f(x)=0

的求根問題，其中f(x)為非線性函數(shù)。方程f(x)=0的根，亦稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

如果f(x)可以分解成,其中m為正整數(shù)且,則稱x*是f(x)的m重零點(diǎn),或稱方程f(x)=0的m重根。當(dāng)m=1時(shí)稱x*為單根。若f(x)存在m階導(dǎo)數(shù),則是方程f(x)的m重根(m>1)當(dāng)且僅當(dāng)非線性方程求根問題實(shí)例

問題1.養(yǎng)老保險(xiǎn)問題養(yǎng)老保險(xiǎn)是保險(xiǎn)中的一種重要險(xiǎn)種，保險(xiǎn)公司將提供不同的保險(xiǎn)方案供以選擇，分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。也就是說，保險(xiǎn)公司需要用你的保費(fèi)至少獲得多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險(xiǎn)收益？（1）模型分析假設(shè)每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時(shí)養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時(shí)月養(yǎng)老金1056元；試求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實(shí)際收益率。非線性方程求根問題實(shí)例

（2）模型假設(shè)整個(gè)過程可以按月進(jìn)行劃分，因?yàn)榻毁M(fèi)是按月進(jìn)行的。假設(shè)投保人到第k月后所交保費(fèi)及收益的累計(jì)總額為Fk，每月收益率為r，用p,q分別表示60歲之前和之后每月交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險(xiǎn)費(fèi)的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。（3）模型建立在整個(gè)過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足：（5-1）實(shí)際上Fk表示從保險(xiǎn)人開始交納保險(xiǎn)費(fèi)以后，保險(xiǎn)人賬戶上的資金數(shù)值。我們關(guān)心的是，在第M月時(shí)，F(xiàn)k

能否為非負(fù)數(shù)？如果為正，則表明保險(xiǎn)公司獲得收益；如為負(fù)，則表明保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)為零時(shí)，表明所有的收益全歸保險(xiǎn)人。由遞推關(guān)系式(5-1)可推得：

（5-2）在(5-2)中取，k=N和k=M，并利用F0=FM=0可的關(guān)于r的非線性方程：

（5-3）非線性方程求根問題實(shí)例

問題2.購房貸款問題現(xiàn)有一房產(chǎn)廣告內(nèi)容如下：建筑面面積總價(jià)30%首付

86.98平方米36萬10.8萬

70%按揭月還款

30年1436元不難算出：應(yīng)向銀行借款25.2萬，30年內(nèi)共需還款51.696萬，還款額是借款兩倍多。問：該貸款的年利率是多少？非線性方程求根問題實(shí)例

模型建立設(shè)：xk為第k個(gè)月的欠款數(shù)，a為月還款數(shù)，r為月利率（年利率=12r），則可得遞推關(guān)系式：

Xk+1=(1+r)xk-ak=0,1,2,…,360（5-4）從而有：

xk=(1+r)kx0-a[(1+r)k-1]/r(5-5)由于a=0.1436,xo=25.2,x360=0，代入（5-5）有

25.2(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1)]/r=0是關(guān)于月利率r的非線性方程。非線性方程求根問題實(shí)例

問題3.平方根的計(jì)算問題我國古代數(shù)學(xué)的成就燦爛輝煌，早在公元前一世紀(jì)問世的我國經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》里，就在世界數(shù)學(xué)史上第一次介紹了筆算開平方方法．據(jù)史料記載，國外直到公元五世紀(jì)才有對(duì)于開平方法的介紹．這表明，古代對(duì)于開方的研究我國在世界上是遙遙領(lǐng)先的．計(jì)算步驟如下：1．將被開方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每隔兩位劃為一段，分成幾段，表示所求平方根是幾位數(shù)；2．根據(jù)左邊第一段的數(shù)，求得平方根的最高位數(shù)；3．從第一段的數(shù)減去最高位上數(shù)的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數(shù)組成第一個(gè)余數(shù)；非線性方程求根問題實(shí)例

4．把求得的最高位數(shù)乘以20去試除第一個(gè)余數(shù)，所得的最大整數(shù)作為試商；5．用商的最高位數(shù)的20倍加上這個(gè)試商再乘以試商．如果所得的積小于或等于余數(shù)，試商就是平方根的第二位數(shù)；如果所得的積大于余數(shù)，就把試商減小再試；6．用同樣的方法，求平方根的其他各位上的數(shù)．如遇開不盡的情況，可根據(jù)所要求的精確度求出它的近似值．事實(shí)上，平方根的計(jì)算問題可轉(zhuǎn)化為方程求根問題：設(shè)ｘ是ａ的平方根，則有：ｘ２＝ａ即有：ｘ２－ａ＝０是關(guān)于ｘ的非線性方程。記筆記非線性方程的數(shù)值解法通常方程根的數(shù)值解法大致分為三個(gè)步驟進(jìn)行①

判定根的存在性。即方程有沒有根？如果有根，有幾個(gè)根？②確定根的分布范圍。即將每一個(gè)根用區(qū)間隔離開來，這個(gè)過程實(shí)際上是獲得方程各根的初始近似值。③根的精確化。將根的初始近似值按某種方法逐步精確化，直到滿足預(yù)先要求的精度為止。

二分法

二分法又稱二分區(qū)間法,是求解方程的近似根的一種常用的簡單方法。設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0,由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)必有實(shí)根,稱區(qū)間[a,b]為有根區(qū)間。二分法的基本思想是:首先確定有根區(qū)間,將區(qū)間二等分,通過判斷f(x)的符號(hào),逐步將有根區(qū)間縮小,直至有根區(qū)間足夠地小,便可求出滿足精度要求的近似根。①取有根區(qū)間[a,b]之中點(diǎn)，

將它分為兩半。通過比較f(x0)、f(a)和f(b)的符號(hào)，獲得新的有根區(qū)間（其長度是原區(qū)間的一半）。二分法求根過程圖示②

重復(fù)①直到有根區(qū)間[a,b]長度足夠小時(shí)，取其中點(diǎn)作為方程的根的近視值。

二分法算法流程圖切線法

方程f(x)=0的根x*是曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),設(shè)xk是根x*的某個(gè)近似值,過曲線y=f(x)的橫坐標(biāo)為xk的點(diǎn)Pk=(xk,f(xk))引切線交x軸于xk+1,并將其作為x*新的近似值,重復(fù)上述過程,可見一次次用切線方程來求解方程f(x)=0的根,所以稱為切線法。切線法對(duì)初值x0的選取要求比較高。x0必須充分靠近x*才能保證可計(jì)算出方程的一個(gè)根。定理

如果在有根區(qū)間［a,b］上連續(xù)且不變號(hào)，在［a,b］上取初始近似根x0滿足，則牛頓迭代法產(chǎn)生的迭代序列：

xk+1=xk-f(xk)/f’(xk)k=1,2,…n,…單調(diào)收斂于方程

f(x)=0在該區(qū)間上的唯一解。切線法的收斂性yx0b=x0f′′(x)>0ayx0bf′′(x)>0a=x0yx0b=x0f′′(x)<0ayx0bf′′(x)<0a=x0牛頓迭代法的收斂性圖解

牛頓迭代法的算法流程圖例用牛頓迭代法求x=e-x的根,ε=10-4解：因f(xk)=xex–1,f′(xk)=ex(

x+1)

建立迭代公式

取x0=0.5,逐次計(jì)算得

x1=0.57102,x2=0.56716，

x3=0.56714弦截法牛頓迭代法雖然具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但每迭代一次都要計(jì)算導(dǎo)數(shù),當(dāng)比較復(fù)雜時(shí),不僅每次計(jì)算帶來很多不便，而且還可能十分麻煩，如果用不計(jì)算導(dǎo)數(shù)的迭代方法，往往只有線性收斂的速度。本節(jié)介紹的弦截法便是一種不必進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的求根方法。弦截法在迭代過程中不僅用到前一步處的函數(shù)值，而且還使用處的函數(shù)值來構(gòu)造迭代函數(shù)，這樣做能提高迭代的收斂速度。弦截法為避免計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使用差商

替切線法公式中的導(dǎo)數(shù),便得到迭代公式

稱為弦截迭代公式，相應(yīng)的迭代法稱為弦截法。弦截法幾何意義弦截法也稱割線法,其幾何意義是用過曲線上兩點(diǎn)、的割線來代替曲線,用割線與x軸交點(diǎn)的橫座標(biāo)作為方程的近似根再過P1點(diǎn)和點(diǎn)作割線求出,再過P2點(diǎn)和點(diǎn)作割線求出,依此類推，當(dāng)收斂時(shí)可求出滿足精度要求的例

用弦截法求方程在初始值鄰近的一個(gè)根。要求解：取,,令利用弦截迭代公式計(jì)算結(jié)果見P34列表，易見取近似根則可滿足精度要求。

弦截法算法流程圖

二分法例程

該程序是用二分法求方程：2x3-4x2+3x-6=0根的C語言程序。運(yùn)行該程序時(shí)可輸入有根區(qū)間[-10,10]的端點(diǎn)-10和10以及精度要求1e-6即求該方程在有根區(qū)間[-10,10]內(nèi)的一個(gè)根，誤差小于10-6。

1.說明：

（1）當(dāng)方程f(x)=0的f(x)在有根區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0時(shí)，程序計(jì)算出方程在有根區(qū)間[a,b]上的一個(gè)根。

（2）如果要求另一方程的根，則只要在程序中替換相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式既可，也就是程序中的行：f=x*((2*x-4)*x+3)-6;。

切線法例程該程序是用切線法求方程：2x3-4x2+3x-6=0根的C語言程序。運(yùn)行該程序時(shí)可輸入初始值x0=1.5精度要求為1e-6即求該方程在1.5附近的根，誤差小于10-6。1.說明：（1）在迭代收斂時(shí)，程序計(jì)算出方程在初始值x0附近的根。（2）如果要求另一方程的根，則只要在程序中替換相應(yīng)的函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式既可，也就是程序中的f=x*((2*x-4)*x+3)-6;和f=(6*x-8)*x+3;兩行。這個(gè)現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？

他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一

試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙

已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問題

的證明請(qǐng)教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾

根，摩爾根也沒有能找到解決這個(gè)問題的途

徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈

密頓爵士請(qǐng)教。哈密頓接到摩爾根的信后，

對(duì)四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

19世紀(jì)末，德國有位天才的數(shù)學(xué)教授叫閔可夫斯基，他曾是愛因斯坦的老師。愛因斯坦因?yàn)榻?jīng)常不去聽課，便被他罵作“懶蟲”。萬萬沒想到，就是這個(gè)“懶蟲”后來創(chuàng)立了著名的狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論。閔可夫斯基受到很大震動(dòng)，他把相對(duì)論中的時(shí)間和空間統(tǒng)一成“四維時(shí)空”，這是近代物理發(fā)展史上的關(guān)鍵一步。閔可夫斯基把愛因斯坦罵作“懶蟲”恐怕還算不上是最尷尬的事.

一天，閔可夫斯基剛走進(jìn)教室，一名學(xué)生就遞給他一張紙條，上面寫著：“如果把地圖上有共同邊界的國家涂成不同顏色，那么只需要四種顏色就足夠了，您能解釋其中的道理嗎？”

閔可夫斯基微微一笑，對(duì)學(xué)生們說：“這個(gè)問題叫四色問題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。其實(shí)，它之所以一直沒有得到解決，僅僅是由于沒有第一流的數(shù)學(xué)家來解決它?！睘樽C明紙條上寫的不是一道大餐，只是小菜一碟，閔可夫斯基決定當(dāng)堂掌勺，問題就會(huì)變成定理……

下課鈴響了，可“菜”還是生的。一連好幾天，他都掛了黑板。后來有一天，閔可夫斯基走進(jìn)教室時(shí)，忽然雷聲大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在責(zé)備我狂妄自大呢，我解決不了這個(gè)問題?！?/p>

1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。

1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。

11年后，即1890年，在牛津大學(xué)就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計(jì)算指出了肯普在證明上的漏洞。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發(fā)現(xiàn)他們實(shí)際上證明了一個(gè)較弱的命題——五色定理。就是說對(duì)地圖著色，用五種顏色就夠了。

后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。

1939年美國數(shù)學(xué)家富蘭克林證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國?？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問世以后，美國伊利諾大學(xué)哈肯與阿佩爾合作編制一個(gè)很好的程序。1976年6月，他們?cè)诿绹晾Z斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億次判斷，完成了四色定理的證明。

這是數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事