江西省撫州市黎川縣黎川一中片區(qū)八校聯考期中考試2023-2024學年九年級下學期期中數學試題(含解析)

2023-2024學年度第二學期期中考試初三數學試卷一、單選題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．的倒數是（

）A． B．2024 C． D．2．如圖是由6個相同的小正方體搭成的幾何體，若去掉上層的一個小正方體，則下列說法正確的是（

）．A．主視圖一定變化 B．左視圖一定變化C．俯視圖一定變化 D．三種視圖都不變化3．春節(jié)期間，貼春聯，送祝福一直是我們的優(yōu)良傳統(tǒng)．我國傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個圖案構成．這四個圖案中是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．4．下列運算中，結果正確的是（

）A． B． C． D．5．烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（當碳原子數目超過10個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為，其分子結構模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學式為（

）A． B． C．

D．6．如圖，拋物線的對稱軸為直線，且過點．現有以下結論：①；②；③對于任意實數，都有；④若點是圖象上任意兩點，且，則，其中正確的結論是（

）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．分解因式：．8．某細菌的直徑米，米用科學計數法表示為米．9．若，是方程的兩個根，則的值為．10．如圖，電路上有3個開關、、和1個小燈泡，任意閉合電路上2個開關，小燈泡發(fā)光的概率為．11．把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為．12．在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（0，-4）．C（4，-4），點D在直線BC上，BD=1，點P是y軸上一動點，若AP⊥DP，則點P的坐標是．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）計算：（2）如圖，在中，，D、E、F分別是、、的中點連接、，求證：四邊形是菱形．

14．先化簡，再求值：，其中．15．如圖，點A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，請僅用無刻度的直尺，按照下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖（1）中，AB＞BC，作一個度數為30°的圓周角；（2）在圖（2）中，AB＝BC，作一個頂點均在⊙O上的等邊三角形．16．一個不透明的口袋中裝有四個完全相同的小球，上面分別標有數字1，2，3，4．(1)從口袋中隨機摸出一個小球，求摸出小球上的數字是奇數的概率（直接寫出結果）；(2)先從口袋中隨機摸出一個小球，將小球上的數字記為x，在剩下的三個小球中再隨機摸出一個小球，將小球上的數字記為y．請用列表或畫樹狀圖法，求由x，y確定的點在函數的圖象上的概率．17．如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=?的圖象相交于A(?1，m)和B(n，?1)兩點．(1)m=______，n=______；(2)求出一次函數的解析式，并結合圖象直接寫出不等式kx+b>?的解集．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．中國自古就是禮儀之邦，平輩行禮，上半身前彎，晚輩行禮，上半身前彎．小賢同學路遇李老師，面向李老師行了一個的作揖禮，李老師面向小賢回了一個的作揖禮（如圖1）．現將其簡化成如圖2所示，已知李老師身高，上半身身高，小賢身高，上半身身高．

(1)求當李老師回禮時，其頭部距地面的高度．(2)行禮之時，人與人之間應該保持以上的距離（指頭與頭之間的水平距離）最為適宜．行禮前，小賢距李老師，請問同時行禮、回禮時，李老師與小賢之間的距離是否適宜？（參考數據：，，）19．去年夏天，全國多地出現了極端高溫天氣，某商場抓住這一商機，先用3200元購進一批防紫外線太陽傘，很快就銷售一空，商場又用8000元購進了第二批這種太陽傘，所購數量是第一批的2倍，但單價貴了4元，商店在銷售這種太陽傘時，每把定價都是50元，每天可賣出20把．(1)求兩次共購進這種太陽傘多少把；(2)商場為了加快資金的回籠速度，打算對第二批太陽傘進行降價銷售，經市場調查，如果這種太陽傘每把降價1元，則每天可多售出2把，這種太陽傘降價多少元時，才能使商場每天的銷售額最大？每天最大的銷售額是多少元？20．某學校要調查學生關于“新冠肺炎”防治知識的了解情況，從七、八年級各隨機抽取了10名學生進行測試（百分制），測試成績整理、描述和分析如下：（成績得分用x表示，共分成四組：A．80≤x<85，B．85≤x<90，C．90≤x<95，D．95≤x≤100），七年級10名學生的成績是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．八年級10名學生的成績在C組中的數據是：94，90，92．七、八年級抽取的學生成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數9292中位數93b眾數c100方差5250.4根據以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出上述圖表中a，b，c的值；（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握“新冠肺炎”知識較好？請說明理由.（3）該校七、八年級共1200人參加了此次調查活動，估計參加此次調查活動成績優(yōu)秀（x≥90）的學生人數是多少？五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．課本再現（1）在圓周角和圓心角的學習中，我們知道了：圓內接四邊形的對角互補．課本中先從四邊形一條對角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再從對角線是非直徑的一般情形進一步論證其正確性，這種數學思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內接四邊形的對角線不是的直徑，如圖2、圖3，請選擇一個圖形證明：圓內接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點．點是線段的中點，連接，求證：是的切線．

22．已知拋物線：．

(1)下列有關拋物線的結論正確的有（填序號）．①開口向下；②對稱軸在y軸的左側；③與y軸的交點坐標為；④函數值y有最小值；(2)當時，拋物線的頂點坐標為，將拋物線沿直線翻折得到拋物線，則拋物線的表達式為；(3)如圖，設拋物線與y軸相交于點C，將拋物線沿直線翻折，得到拋物線，拋物線，的交點為A，拋物線的頂點為P．是否存在實數m，使得∠PCA＝90°？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．六、解答題（本大題共12分）23．（1）【問題發(fā)現】如圖1，在中，，，點為的中點，以為一邊作正方形，點恰好與點重合，則線段與的數量關系為_______；

（2）【拓展探究】在（1）的條件下，如果正方形繞點順時針旋轉，連接，，，線段與的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）【問題解決】當，且（2）中的正方形繞點順時針旋轉到，，三點共線時，求出線段的長．

參考答案與解析

1．C【分析】本題考查了倒數定義，根據題意利用倒數定義（互為倒數的兩個數乘積為1）即可得出本題答案．【詳解】解：∴的倒數為，故選：C．2．A【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解:去掉最上面的小正方體，其左視圖與俯視圖不變，即左視圖兩層下層兩個小正方形，上層一個小正方形,俯視圖依然還是兩層，底層中間有一個正方形，上層有1個正方形；變化的是正視圖上層有兩個，拿走一個，由兩個小正方形組成長方形變?yōu)橐粋€小正方形．故答案為：A．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，掌握簡單組合體的三視圖是解題關鍵．3．B【分析】根據中心對稱圖形的定義：在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，逐一判斷即可．【詳解】解：根據中心對稱圖形的定義可得：B選項圖為中心對稱圖形，A，C，D都不是．故選：B．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，充分理解中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．4．C【分析】本題考查了合并同類項、同底數冪的乘法運算和除法運算、積的乘方運算．根據合并同類項、同底數冪的乘法運算和除法運算、積的乘方運算逐項分析，即可求解．【詳解】解：，故A選項不符合題意；，故B選項不符合題意；，故C選項符合題意；，故D選項不符合題意．故選：C．5．C【分析】本題考查數字的變化類，根據圖形，可以寫出和的個數，然后即可發(fā)現和的變化特點，從而可以寫出十二烷的化學式．【詳解】由圖可得，甲烷的化學式中的有1個，有（個，乙烷的化學式中的有2個，有（個，丙烷的化學式中的有3個，有（個，，十二烷的化學式中的有12個，有（個，即十二烷的化學式為，故選：C．6．C【分析】根據題意和函數圖象，利用二次函數的性質，可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】由圖象開口向上可得：由于圖像與軸交于負半軸，可知：根據對稱軸公式：可知：，故①正確拋物線過點即：，故②正確當時，取得最小值（為任意實數），故③錯誤拋物線開口向上，對稱軸為直線，若點是圖象上任意兩點，且則點到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離根據圖像可知：，故④正確．故選：C．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系、拋物線與軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．7．【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，然后根據平方差公式因式分解，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．8．【分析】絕對值小于1的負數也可以利用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．9．7【分析】先利用根與系數的關系得，，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．10．【分析】本題考查了概率的求解，根據題意畫出樹狀圖即可求解．【詳解】解：畫出樹狀圖如下：共有6種等可能結果，其中小燈泡發(fā)光的結果有①②，①③，②①，③①4種，∴若任意閉合電路上2個開關，則小燈泡發(fā)光的概率為：，故答案為：．11．12【分析】由菱形的性質得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，設OA=x，OB=y，由題意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面積．【詳解】解：如圖1所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，設OA=x，OB=y，由題意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面積=；故答案為12．【點睛】本題考查了菱形的性質、正方形的性質、二元一次方程組的應用；熟練掌握正方形和菱形的性質，由題意列出方程組是解題的關鍵．12．或或【分析】根據題意設，點的坐標為或，根據勾股定理求解即可．【詳解】如圖，點D在直線BC上，BD=1，B（0，-4）．C（4，-4），點的坐標為或，設，又A（4，0），①當時，，AP⊥DP，即解得②當時，，AP⊥DP，即解得綜上所述，點的坐標為或或故答案為：或或【點睛】本題考查了利用勾股定理求兩點距離，掌握勾股定理是解題的關鍵．13．（1）6；（2）見解析【分析】（1）首先計算零指數冪，特殊角的三角函數，負整數指數冪，然后計算加減；（2）首先根據中位線的性質得到，，，，然后證明出四邊形是平行四邊形，然后結合得到，即可證明出四邊形是菱形．【詳解】（1）；（2）∵D、E、F分別是、、的中點連接、，∴，，，∴四邊形是平行四邊形∵∴∴四邊形是菱形．【點睛】此題考查了零指數冪，特殊角的三角函數，負整數指數冪，三角形中位線的性質，菱形的判定，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．14．，【分析】按照分式運算法則，先將小括號內的式子進行通分計算，然后再算括號外面的，接著解一元二次方程，最后代入求值．【詳解】解：原式解得：，原式【點睛】本題考查分式的混合運算、化簡求值和二次根式分母有理化以及求解一元二次方程等知識點，熟練掌握運算法則是解題關鍵．15．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作直徑AD，連接CD，AC，則∠ADC＝60°，∠DAC＝30°；（2）作直徑BE，連接EC，AE，AC，△ACE即為所求．【詳解】（1）如圖1中，∠CAD即為所求；（2）如圖2中，△ACE即為所求．【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，等邊三角形的判定等知識，掌握圓內接四邊形的性質是關鍵．16．(1)P（奇數）(2)P（點在函數的圖象上）【分析】（1）直接利用簡單事件的概率公式計算可得；（2）首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與由x，y確定的點在函數的圖象上的的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】（1）解：P（奇數）（2）解：列表得：xy12341234共有12種等可能的結果，其中點在函數的圖象上的有2種，∴.P（點在函數的圖象上）【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意區(qū)分所摸球是放回實驗還是不放回實驗是解題的關鍵．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．17．(1)2，2(2)一次函數的解析式為y=-x+1，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．【分析】（1）先把A（-1，m），B（n，-1）分別代入反比例函數解析式可求出m、n，于是確定A點坐標為（-1，2），B點坐標為（2，-1），然后利用待定系數法求直線AB的解析式；（2）根據A、B的坐標，利用待定系數法求得一次函數的解析式，觀察圖象即可求得不等式的解集．【詳解】（1）解：把A（-1，m），B（n，-1）分別代入y=-得m=2，-1=-，解得m=2，n=2；故答案為：2，2；（2）解：∵A（-1，2），B（2，-1），∴，解得：，∴一次函數的解析式為y=-x+1，觀察圖象，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求函數解析式，函數與不等式的關系，數形結合是解題的關鍵．18．(1)當李老師回禮時，其頭部距地面的高度約為(2)行禮時，李老師與小賢之間的距離適宜【分析】（1）過點C作于點P，構造直角三角形求出，再加上下半身即可；（2）分別求出兩人行禮時的水平長度，用減去兩個水平長度，與比較大小即可.【詳解】（1）解：如圖，過點C作于點P．

由題意可知，，∴，∵李老師身高，上半身身高，∴下半身身高，∴．答：當李老師回禮時，其頭部距地面的高度約為．（2）解：如圖，過點H作于點Q．

由題意可知，小賢身高，上半身身高，∴，∵，，∴，∴．∵，，∴行禮時，李老師與小賢之間的距離適宜．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，輔助線構造直角三角形是解題關鍵．19．(1)兩次共購進這種太陽傘600把(2)太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元【分析】本題考查的是分式方程的應用，二次函數的應用，理解題意，確定相等關系建立方程與函數關系式是解本題的關鍵；（1）設第一次購進x把這種太陽傘，則第二次購進把這種太陽傘．利用所購數量是第一批的2倍，但單價貴了4元，再建立方程求解即可；（2）設商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價x元．由總利潤等于每件利潤乘以銷售量建立函數關系式，再利用二次函數的性質解決問題即可．【詳解】（1）解：設第一次購進x把這種太陽傘，則第二次購進把這種太陽傘．由題意得，，解得，經檢驗是原方程的解，則，答：兩次共購進這種太陽傘600把；（2）設商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價x元．由題意得，化簡得：，當時y有最大值，y最大值，答：太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元．20．（1）a=40，b=93，c=96；（2）八年級掌握得更好，見解析；（3）780名【分析】（1）先根據扇形統(tǒng)計圖求解組的學生人數，結合組人數，求解組人數，可得的值，再根據八年級學生成績的中位數落在組，可得的值，由七年級學生成績中分有個，出現的次數最多，可得的值；（2）因為兩個年級的平均數與中位數相同，所以從眾數與方差兩個分面分析可得結論；（3）分別統(tǒng)計出七年級、八年級成績大于或等于分的人數，利用樣本的百分率估計總體即可得到答案．【詳解】解：（1）因為八年級組有人，組有人，組有人，所以組有人，所以：即因為八年級學生成績的分布：組有人，組有人，組有人，組有人，且成績是按照從小到大的順序排列的，所以八年級學生成績的中位數落在組，而C組中的數據是：94，90，92，按從小到大排列為：所以第個，第個數據為：所以中位數為：分，因為七年級學生成績中分有個，出現的次數最多，所以眾數分，故答案為：a=40，b=93，c=96．（2）八年級掌握得更好．因為七八年級的平均數、中位數相同，而八年級的眾數比七年級高，說明八年級高分的同學更多；八年級方差比七年級小，說明八年級兩極分化差距?。?）由題意得：七年級成績大于或等于分的有人，八年級成績大于或等于分的有人（人）答：參加此次調查活動成績優(yōu)秀的學生人數約為780人．【點睛】本題考查的是扇形統(tǒng)計圖，頻數分布，平均數，眾數，中位數，方差的含義及應用，同時考查了利用樣本估計總體，掌握以上知識是解題的關鍵．21．（1），；（2）見詳解；（3）見詳解【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是以及四邊形內角和為進行作答即可；（2）以圖2為例證明，連接，，根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內角和為進行作答；或者以圖3為例證明，連接，，根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍以及四邊形內角和為進行作答即可；（3）連接，，根據等邊對等角，即，又，得，，，再結合四邊形是圓內接四邊形，得，，進而知道，又因為是線段的中點，即可求證是的切線．【詳解】解：（1）∵四邊形為的內接四邊形，為直徑，∴，那么，故答案為：90，180；（2）證明：以圖2為例證明，連接，，如圖所示：

∵弧弧，∴，，∵∴，∴，在四邊形，，即圓內接四邊形的對角互補；或者以圖3為例證明，連接，，如圖所示：

∵弧弧，∴，，∵,∴，∴，在四邊形，，即圓內接四邊形的對角互補；（3）證明：連接，，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，則，∴，∵四邊形是圓內接四邊形，∴，∵，∴，則，∴，∵是線段的中點，∴，則，∵是圓的半徑，∴是圓的切線．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、圓內接四邊形對角互補以及圓的基本性質、切線的判定、平行線的判定與性質等知識點內容，熟練掌握圓的基本性質是解題的關鍵．22．(1)③④(2)；(3)存在實數m，使得，m的值為【分析】（1）根據二次函數的圖象和性質逐項進行判斷即可；（2）當時，，即可得到拋物線的頂點坐標為；由翻折得到拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，求出．代入得，則．即可得到拋物線的解析式．（3）拋物線的頂點坐標為，將拋物線沿直線翻折，得到拋物線，拋物線的頂點P的坐標為，求出點A的坐標為，過點A作軸于點B