寶雞市金臺區(qū)2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(理科)-含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年陜西省寶雞市金臺區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題:本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度2．由①y=2x+5是一次函數(shù);②y=2x+5的圖象是一條直線;③一次函數(shù)的圖象是一條直線．寫一個“三段論”形式的正確推理,則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是(）A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②3．圖中陰影部分的面積用定積分表示為（）A．2xdx B．(2x﹣1）dx C．（2x+1）dx D．(1﹣2x）dx4．命題甲:f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)遞增；命題乙：對任意x∈（a，b)，有f'（x）＞0．則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前120個圈中的●的個數(shù)是(）A．12 B．13 C．14 D．156．若復(fù)數(shù)（b∈R）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b=（)A． B． C． D．27．利用數(shù)學(xué)歸納法證明+++…+＜1(n∈N＊，且n≥2)時，第二步由k到k+1時不等式左端的變化是（）A．增加了這一項(xiàng)B．增加了和兩項(xiàng)C．增加了和兩項(xiàng)，同時減少了這一項(xiàng)D．以上都不對8．設(shè)P為曲線C：y=x2﹣2x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0，］，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為(）A．[﹣1,﹣] B．［﹣1,0] C．[0，1] D．[1,］9．函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），則不等式f′（x）≤0的解集為（）A． B．C． D．10．已知f(x）=x2+2xf′（1）﹣6,則f′（1）等于（）A．4 B．﹣2 C．0 D．211．已知函數(shù)f（x)的定義域?yàn)?a，b），導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x）在（a，b）上的極大值點(diǎn)的個數(shù)為（)A．1 B．2 C．3 D．412．設(shè)F（x）=是(﹣∞,0）∪（0,+∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時,f’(x）g（x）﹣f(x）g'（x）＞0，且f（2）=0,則不等式F（x）＜0的解集是(）A．(﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0)∪（0，2） C．(﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞,﹣2)∪（0，2）二、填空題：本大題共4小題,每小題6分，共24分.13．如果復(fù)數(shù)z=a2﹣a﹣2+（a+1）i為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為．14．=．15．定義一種運(yùn)算如下:=ad﹣bc，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．16．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn),則有，將此結(jié)論類比到四面體中，可得一個類比結(jié)論為：．三、解答題：本大題共4小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數(shù)列{an｝中,，an+1=．（1）計算a2，a3,a4并猜想數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．18．設(shè)函數(shù)f(x）=2x3﹣3(a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3處取得極值．(1)求f（x）的解析式；（2）求f（x）在點(diǎn)A（1，16）處的切線方程．19．(1）求證：．（2）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°)+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；sin2(﹣25°）+cos255°﹣sin(﹣25°)cos55°．①試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；②根據(jù)①的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式．20．若函數(shù)f（x）=ax3﹣bx+4,當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值﹣．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程f（x）=k有3個不同的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

2016-2017學(xué)年陜西省寶雞市金臺區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度【考點(diǎn)】R9:反證法與放縮法．【分析】一些正面詞語的否定：“是"的否定:“不是”；“能"的否定:“不能"；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”;“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”;“任意的”的否定：“某個"；“任意兩個”的否定：“某兩個";“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，“至少有一個”的否定：“一個也沒有";即“三內(nèi)角都大于60度"．故選B2．由①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線．寫一個“三段論"形式的正確推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是（）A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②【考點(diǎn)】F6：演繹推理的基本方法．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是演繹推理中三段論的概念,由三段論:①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線；我們易得大前提是③，小前提是①,結(jié)論是②．則易得答案．【解答】解：三段論：①y=2x+5是一次函數(shù);②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線；大前提是③,小前提是①,結(jié)論是②．故排列的次序應(yīng)為：③①②,故選：D．3．圖中陰影部分的面積用定積分表示為（）A．2xdx B．（2x﹣1）dx C．(2x+1)dx D．(1﹣2x）dx【考點(diǎn)】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)定積分的幾何意義,可用定積分表示曲邊形的面積．【解答】解:由題意積分區(qū)間為[0，1］，對應(yīng)的函數(shù)為y=2x，y=1，∴陰影部分的面積用定積分表示為（2x﹣1）dx．故選：B．4．命題甲：f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)遞增;命題乙：對任意x∈（a,b)，有f'（x）＞0．則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】命題乙：對任意x∈（a,b）,有f'（x)＞0,可得f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增，即乙?甲．反之不成立，例如取f（x)=x3滿足f′(x)≥0因此．在(﹣2，3）內(nèi)單調(diào)遞增．【解答】解：命題乙:對任意x∈（a，b),有f’（x）＞0,可得f（x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增，即乙?甲．反之不成立,例如取f(x)=x3滿足f′（x）≥0因此．在(﹣2，3）內(nèi)單調(diào)遞增．因此甲是乙的必要不充分條件．故選：B．5．一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前120個圈中的●的個數(shù)是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考點(diǎn)】8B：數(shù)列的應(yīng)用．【分析】把這些圈看作是數(shù)列：1，1，2,1，3，1,4，1…求前n項(xiàng)和小于等于120時的最大的整數(shù)項(xiàng)數(shù)．【解答】解:s=（1+2+3+…+n)+n=+n≤120∴n（n+3）≤240∴n=14故選C．6．若復(fù)數(shù)(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b=（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；A2:復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】化簡復(fù)數(shù)為+,由題意可得=﹣,由此解得b的值．【解答】解：∵復(fù)數(shù)===+．由題意可得=﹣，解得b=﹣．故選C．7．利用數(shù)學(xué)歸納法證明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2)時，第二步由k到k+1時不等式左端的變化是（）A．增加了這一項(xiàng)B．增加了和兩項(xiàng)C．增加了和兩項(xiàng),同時減少了這一項(xiàng)D．以上都不對【考點(diǎn)】RG:數(shù)學(xué)歸納法．【分析】當(dāng)n=k時,寫出左端，并當(dāng)n=k+1時，寫出左端，兩者比較,關(guān)鍵是最后一項(xiàng)和增加的第一項(xiàng)的關(guān)系．【解答】解：當(dāng)n=k時，左端=+++…+，那么當(dāng)n=k+1時左端=++…+++，故第二步由k到k+1時不等式左端的變化是增加了和兩項(xiàng)，同時減少了這一項(xiàng)，故選：C．8．設(shè)P為曲線C：y=x2﹣2x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0,］,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A．［﹣1，﹣] B．［﹣1，0] C．［0，1］ D．［1，]【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出切點(diǎn)P(m，n），可得切線的斜率，由直線的斜率公式,結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得切線的斜率范圍,解不等式即可得到m的范圍．【解答】解：y=x2﹣2x+3的導(dǎo)數(shù)為y′=2x﹣2,設(shè)切點(diǎn)P（m，n），可得切線的斜率為k=2m﹣2，由切線傾斜角α的取值范圍為［0，]，可得切線的斜率k=tanα∈[0，1],即為0≤2m﹣2≤1，解得1≤m≤．故選：D．9．函數(shù)y=f（x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），則不等式f′(x）≤0的解集為（）A． B．C． D．【考點(diǎn)】6A:函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減確定函數(shù)f（x)的單調(diào)性【解答】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為[﹣,1]∪[2，3],故選:A．10．已知f（x）=x2+2xf′(1）﹣6，則f′(1）等于(）A．4 B．﹣2 C．0 D．2【考點(diǎn)】63:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】對函數(shù)f（x）的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于f'（1）的方程，進(jìn)而得到f'（1)的值【解答】解：求導(dǎo)得：f′（x）=2x+2f′（1)，令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1)，解得：f′（1）=﹣2，故選：B．11．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?a，b),導(dǎo)函數(shù)f′（x)在(a，b）上的圖象如圖所示,則函數(shù)f（x）在（a,b）上的極大值點(diǎn)的個數(shù)為(）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】導(dǎo)函數(shù)f′(x）在（a,b）上的圖象如圖所示,由函數(shù)取得極大值點(diǎn)x0的充要條件是:在x0左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于0，右側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于0，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a,b）上的圖象如圖所示，由函數(shù)取得極大值點(diǎn)x0的充要條件是：在x0左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于0，右側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于0，由圖象可知：函數(shù)f(x）只有在點(diǎn)A，C處取得最大值，而在B點(diǎn)處取得極小值，而在點(diǎn)O處無極值．故選：B．12．設(shè)F（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f’(x）g（x)﹣f（x）g’（x）＞0,且f（2）=0，則不等式F（x)＜0的解集是（)A．（﹣2，0）∪(2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．(﹣∞，﹣2)∪（0,2）【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】當(dāng)x＜0時，F(xiàn)′（x）=［]′=＜0，從而F（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，利用f（2）=0，得到F（﹣2）=F(2)=0，由此能求出F（x）＜0的解集．【解答】解:∵F（x）=是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù),∴f（x)和g（x)同為偶函數(shù)或同為奇函數(shù)，當(dāng)f（x）和g(x）同為偶函數(shù)時,f（﹣x）=f(x），g(﹣x）=g(x),當(dāng)f（x）和g(x)同為奇函數(shù)時,f（﹣x)=﹣f（x），g（﹣x）=﹣g(x），∵當(dāng)x＜0時，f′(x)g（x）﹣f（x）g′（x)＜0∴當(dāng)x＜0時，F(xiàn)′（x)=［］′=＜0，∴F(x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減∵F(x）為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)F（x）在（0,+∞）單調(diào)遞增，又f（2）=0,∴f（﹣2）=0，∴F(﹣2)=F(2）=0F(x）＜0的解集為（﹣2，0）∪（0，2）．故選：B．二、填空題:本大題共4小題,每小題6分，共24分.13．如果復(fù)數(shù)z=a2﹣a﹣2+（a+1）i為純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值為2．【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由實(shí)部為0且虛部不為0列式求得a值．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=a2﹣a﹣2+（a+1）i為純虛數(shù),∴，解得a=2．故答案為：2．14．=2π．【考點(diǎn)】67:定積分．【分析】根據(jù)定積分的定義,找出根號函數(shù)f(x)=的幾何意義，計算即可．【解答】解:，積分式的值相當(dāng)于以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的一個半圓面的面積,故其值是2π故答案為：2π．15．定義一種運(yùn)算如下：=ad﹣bc，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是﹣1﹣3i．【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】利用新定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解:復(fù)數(shù)=3i（1+i）﹣(﹣1）×2=﹣1+3i,其共軛復(fù)數(shù)為﹣1﹣3i．故答案為：﹣1﹣3i．16．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn),則有，將此結(jié)論類比到四面體中，可得一個類比結(jié)論為:在四面體A﹣BCD中,G為△BCD的重心，則有．【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】“在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則有"，平面可類比到空間就是“△ABC”類比“四面體A﹣BCD”，“中點(diǎn)”類比“重心”有:在四面體A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則有．【解答】解：由“△ABC”類比“四面體A﹣BCD”，“中點(diǎn)”類比“重心”有,由類比可得在四面體A﹣BCD中，G為△BCD的重心,則有．故答案為：在四面體A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則有．三、解答題：本大題共4小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數(shù)列{an}中，，an+1=．（1）計算a2，a3，a4并猜想數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）根據(jù)，an+1=可求出a2，a3，a4的值，根據(jù)前四項(xiàng)的值可猜想數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）∵，an+1=．∴a2==，a3==,a4==猜想數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=（2）①n=1時，a1==滿足通項(xiàng)公式;②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，即，則==，當(dāng)n=k+1時猜想也成立．綜合①②，對n∈N＊猜想都成立．18．設(shè)函數(shù)f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8,其中a∈R．已知f（x）在x=3處取得極值．（1）求f(x）的解析式；（2)求f（x）在點(diǎn)A(1，16）處的切線方程．【考點(diǎn)】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=3處取得極值,得到f′（3）=0，由此求得a的值，則函數(shù)f（x）的解析式可求;（2）由（1）得到f′（x)=6x2﹣24x+18，求得f′（1)=0，∴f(x）在點(diǎn)A（1,16）處的切線方程可求．【解答】解:(1）∵f(x）=2x3﹣3（a+1)x2+6ax+8，∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a,又∵f(x）在x=3處取得極值，∴f′（3）=6×9﹣6(a+1）×3+6a=0，解得a=3．∴f（x）=2x3﹣12x2+18x+8；（2）A（1，16）在f（x)上，由（1)可知f′（x）=6x2﹣24x+18，f′（1）=6﹣24+18=0，∴切線方程為y=16．19．(1）求證：．（2）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°;sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°;sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°）+cos248°﹣