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文檔簡介
2023-2024學(xué)年福建省沙縣金沙高級中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.連接雙曲線及的4個頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.63.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.4.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且5.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.36.已知命題,那么為()A. B.C. D.7.已知正方體的棱長為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.8.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),是的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.9.設(shè),,分別是中,,所對邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直10.的內(nèi)角的對邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,所有的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為-64,則實數(shù)的值為__________.14.設(shè)f(x)=etx(t>0),過點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.15.已知實數(shù),滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________.16.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個內(nèi)角,若,求的值;18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)某大學(xué)開學(xué)期間,該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機(jī)選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘,四人選擇日工資方案相互獨(dú)立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))和曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)是射線與直線的公共點(diǎn),點(diǎn)是與曲線的公共點(diǎn),求的最大值.22.(10分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)時,求M點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
先求出四個頂點(diǎn)、四個焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個頂點(diǎn)構(gòu)成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.2、B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點(diǎn)睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項積等).3、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.5、B【解析】
由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.6、B【解析】
利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題,,那么是.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定,意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個平面,因為平面平面,所以,同理,所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、D【解析】
根據(jù)為等腰三角形,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),又由的斜率為可得出關(guān)系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因為為等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.9、C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點(diǎn):直線與直線的位置關(guān)系10、C【解析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.11、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得的值,再求得的值.【詳解】依題意,.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的??紗栴},屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時注意符號的正、負(fù)問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3或-1【解析】
設(shè),分別令、,兩式相減即可得,即可得解.【詳解】設(shè),令,則①,令,則②,則①-②得,則,解得或.故答案為:3或-1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
計算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時,S′>0,當(dāng)0<t<1時,S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15、-1【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實數(shù)x,y滿足對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當(dāng)直線yx經(jīng)過點(diǎn)A時,直線yx的縱截距最小,此時z最?。桑肁(﹣1,﹣1),此時z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎(chǔ)題16、【解析】
在不等式兩邊同時取對數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因為在中,,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,18、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時,化為,當(dāng)時,不等式化為,無解;當(dāng)時,不等式化為,解得;當(dāng)時,不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為19、(1);(2).【解析】
(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對分類討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進(jìn)而求出的取值關(guān)系.【詳解】(1)當(dāng)時,,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減且沒有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿足題意),所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.20、(1)0.4;(2);(3)應(yīng)選擇方案,理由見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計算兩種計算方式下的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】(1)設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天,這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為,∵,∴估計為0.4.(2)設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”,設(shè)事件,為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”,則,所
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