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云南省元江民中2024年高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列中,,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.()A. B. C. D.3.若函數(shù)()的圖象過點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸4.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.5.已知集合,則=A. B. C. D.6.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則點(diǎn)的軌跡方程是()A. B.C. D.8.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.9.已知在中,角的對(duì)邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為().A. B. C.1 D.11.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.5412.集合,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,復(fù)數(shù)且(為虛數(shù)單位),則__________,_________.14.等邊的邊長(zhǎng)為2,則在方向上的投影為________.15.在中,若,則的范圍為________.16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(,且)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:當(dāng)時(shí),18.(12分)已知數(shù)列滿足:,,且對(duì)任意的都有,(Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅱ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅲ)證明:.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上,右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn),設(shè),連接交橢圓于另一點(diǎn).求證:直線過定點(diǎn)并求出點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求的取值范圍.20.(12分)橢圓:的離心率為,點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為的直線過點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),為橢圓的下頂點(diǎn),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù),直線的斜率之積為定值.21.(12分)已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交(不含端點(diǎn))且交橢圓于C,D兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.22.(10分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,求的面積的值(或最大值).已知的內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,三邊,,與面積滿足關(guān)系式:,且,求的面積的值(或最大值).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先根據(jù)題意,對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對(duì)于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.2、A【解析】
分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確;當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有,,故②錯(cuò)誤;若,則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因?yàn)?,所以,從而,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系,里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理,是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】
本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.6、D【解析】
求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,該點(diǎn)位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
設(shè)坐標(biāo),根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出,從而可利用表示出;由坐標(biāo)運(yùn)算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè),,其中,,即關(guān)于軸對(duì)稱故選:【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算;關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.8、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.9、C【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由有不等的兩實(shí)根,即可得不等關(guān)系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.10、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng).【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.12、A【解析】
解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A,再根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零化簡(jiǎn)集合B,求交集運(yùn)算即可.【詳解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算,涉及一元二次不等式解法及對(duì)數(shù)的概念,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴,故答案為,14、【解析】
建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即則通過降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn),由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因?yàn)椋?,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.16、【解析】
先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號(hào),本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見證明【解析】
(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式,求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可;(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由,得,即,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,所以,即,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,也滿足上式,所以;(2)當(dāng)時(shí),,所以【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系,求an,常用思路是:一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.18、(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應(yīng)用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟;(2)將式子進(jìn)行相應(yīng)的代換,結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果;(3)結(jié)合題中的條件,應(yīng)用反證法求得結(jié)果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對(duì)任意,都有成立;(Ⅱ)由得,則,由(Ⅰ)知,,即對(duì)任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,則,取時(shí),有,與矛盾.則.得證.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)命題的證明問題,在證題的過程中,注意對(duì)題中的條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化,注意對(duì)式子的等價(jià)變形,以及證題的思路,要掌握證明問題的方法,尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.19、(1);(2)證明詳見解析,;(3).【解析】
(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的等式求解即可.(2)先根據(jù)對(duì)稱性,直線過的定點(diǎn)一定在軸上,再設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,進(jìn)而求得的方程,并代入,化簡(jiǎn)分析即可.(3)先分析過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)的值,再分析存在時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達(dá)定理再代入求解出關(guān)于的解析式,再求解范圍即可.【詳解】解:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦距為,由題意得,由,可得則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;證明:根據(jù)對(duì)稱性,直線過的定點(diǎn)一定在軸上,由題意可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得到,設(shè)點(diǎn),則.所以,所以的方程為,令得,將,代入上式并整理,,整理得,所以,直線與軸相交于定點(diǎn).當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,此時(shí),當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,且在橢圓上,聯(lián)立方程組,消去,整理得,則.所以所以,所以,由得,綜上可得,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及定值和范圍的問題,需要分析直線的斜率是否存在的情況,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及所求的解析式,結(jié)合參數(shù)的范圍進(jìn)行求解.屬于難題.20、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,解得,,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)直線,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,以及點(diǎn)在直線上滿足直線方程,化簡(jiǎn)整理,即可得到定值.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,①又橢圓過點(diǎn),所以②由①②,解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明設(shè)直線:,聯(lián)立得,設(shè),則易知故所以對(duì)于任意的,直線的斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)由直線可得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由中點(diǎn)可得,且由斜率公式可得,由點(diǎn)在橢圓上,則,二者作差,進(jìn)而代入整理可得,即可求解;(2)設(shè)直線,點(diǎn)到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長(zhǎng)公式求得,利用點(diǎn)到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB(不含端點(diǎn))相交,可得,即,進(jìn)而整理?yè)Q元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】(1)直線與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.(2)由(1)聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因?yàn)榈街本€的距離
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