2024年3月山西省高三數(shù)學(xué)高考模擬測試卷附答案解析

年3月山西省高三數(shù)學(xué)高考模擬測試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B．C． D．或2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知是的邊上一點，若，則（

）A． B． C．0 D．4．已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．設(shè)分別是橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的前3項和為21，且，數(shù)列中，，若是等差數(shù)列，則（

）A．153 B．91 C．33 D．7．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，，則（

）A． B． C． D．8．在棱長為4的正方體中，是的中點，是上的動點，則三棱錐外接球半徑的最小值為（

）A．3 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有兩個零點，則實數(shù)的值可能為（

）A． B． C． D．10．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則（

）A． B．在棱上存在點，使得平面C．平面與平面的交線平行于平面 D．到平面的距離為11．已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和均為偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．展開式的常數(shù)項為．13．已知拋物線與圓的公共點為，則；若為圓的劣弧上不同于的一個動點，過點作垂直于軸的直線交拋物線于點不經(jīng)過原點，則周長的取值范圍是．14．銳角的內(nèi)角的對邊為，若的面積是，則的最小值是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，分別是棱，上的點，．(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．16．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍．17．光明高級中學(xué)高三年級理科考生800人都參加了本學(xué)期的期中調(diào)研測試，學(xué)校把本次測試數(shù)學(xué)成績達到120分以上（包含120分）的同學(xué)的數(shù)學(xué)成績等第定為優(yōu)秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學(xué)的物理成績等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機抽取10名同學(xué)調(diào)研本次測試的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：數(shù)學(xué)（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082(1)試列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗分析能否認為本次測試理科考生的數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第是否優(yōu)秀有關(guān)？(2)①數(shù)學(xué)組的章老師打算從這10個同學(xué)中，按照這次測試數(shù)學(xué)的等第是否優(yōu)秀，利用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取3個人，并仔細考查這3個人的答題情況．設(shè)最后抽出的3個人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②如果本次測試理科考生的物理成績，用樣本估計總體，以10名同學(xué)物理成績的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：?。?，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87918．已知函數(shù)（m是常數(shù)）．(1)若，求函數(shù)的圖象在處的切線的方程；(2)若有兩個零點，且，證明：，且．19．已知為平面上一個動點，到定直線的距離與到定點距離的比等于，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若軸上是否存在定點，使過點且斜率為的直線與曲線相交于（均不同于兩點，且分別為直線的斜率）？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．1．B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解出集合，再根據(jù)集合交并補即可.【詳解】因為或，又，因此.故選：B.2．A【分析】首先利用復(fù)數(shù)除法運算化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，并代入模的計算公式.【詳解】，，所以.故選：A3．B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得，進而可得，代入運算即可.【詳解】由題意可得：，可知，所以.故選：B.4．D【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)單調(diào)性得到不等式解出即可.【詳解】畫出的圖象如圖所示，由圖可知在上單調(diào)遞增，又，所以，解得.故選：D.5．C【分析】根據(jù)題意可得以為圓心，以為半徑的圓與橢圓有交點，由此列出滿足的不等式關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，則,且需滿足以為圓心，以為半徑的圓與橢圓有交點，

即，即，又，故橢圓離心率的取值范圍是，故選：C6．D【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差、等比分別求數(shù)列和的通項公式，可得，代入運算求解即可.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，因為，可得，整理得，解得或（舍去），所以；若是等差數(shù)列，則，可知等差數(shù)列的公差，可得，所以，可得，所以.故選：D.7．B【分析】構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可證，進而可得，即可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，因為，可知，即；構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，且，則，即；綜上所述：.故選：B.8．C【分析】取的中點，根據(jù)題意分析可知：三棱錐外接球的球心在過垂直于平面的直線上，設(shè)，建系，結(jié)合空間兩點距離公式可得，進而利用基本不等式運算求解.【詳解】連接，取的中點，可知為的外心，過作平面的垂線，可知三棱錐外接球的球心在該垂線上，設(shè)，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，因為，即，整理得，當且僅當，即時，等號成立，所以三棱錐外接球半徑的最小值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意分析可知三棱錐外接球的球心在過垂直于平面的直線上，再以空間直角坐標系為依托，分析求解.9．BC【分析】根據(jù)圖像平移可得，令，結(jié)合題意分析可知在上恰有兩個零點，進而列式求解.【詳解】因為，因為，則，由題意可知：在上恰有兩個零點，注意到區(qū)間的中點為，則在上恰有兩個零點，可得，解得，結(jié)合選項可知：AD錯誤；BC正確；故選：BC.10．AC【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)即可判斷A，利用反證法并結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷C，利用等體積法，即，即可求出點到平面距離.【詳解】對A，如圖所示，取中點，連接，因為底面是菱形，，則為三角形，又因為側(cè)面為正三角形，則，則，又平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確;對B，假設(shè)在棱上存在點，使得平面，因為平面，則，因為，所以為的中點，連接，因為平面，平面，則，所以為銳角，與不垂直，因為，則與不垂直，因為平面，這與平面矛盾，所以不存在這樣的點，使得平面，故B錯誤；對C，因為底面為菱形，所以，又平面平面，所以平面.設(shè)平面與平面的交線為，因為平面，平面，平面平面，所以.又因為平面平面，所以平面，故C正確；因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，所以為三棱錐的高，因為和為等邊三角形，則，，因為平面，平面，則，則，所以，設(shè)到平面的距離為，則由得，解得，故D錯誤.故選：AC.11．AB【分析】根據(jù)題意分析可知4為的周期，關(guān)于對稱，關(guān)于點對稱，進而判斷AB；分析可知4為的周期，但沒有充分條件求，進而判斷CD.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，即，可知關(guān)于對稱，又因為為偶函數(shù)，則，可知關(guān)于對稱，且，則，即，可得關(guān)于點對稱，且，則，可知4為的周期，由，可得，即，則，即，所以，，故AB正確；因為，則，即，可知4為的周期，又因為，則，即，可知關(guān)于點對稱，但沒有充分條件求，故無法求CD選項的值，故CD錯誤；故選：AB.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．12．48【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項式定理分析求解.【詳解】因為的展開式的通項公式為，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：48.13．【分析】聯(lián)立方程求交點坐標即可得弦長；設(shè)，，則，根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】聯(lián)立方程，解得或，不妨令，可得；由題意可知：圓的圓心為，半徑圓，拋物線的焦點為，準線為；因為不經(jīng)過原點，設(shè)，，則，所以周長；故答案為：；.14．8【分析】作于，根據(jù)面積求出，再設(shè)，再求出，從而得到，再利用兩角和的正弦公式得到，代入上式利用基本不等式即可.【詳解】作于，則，所以.設(shè)，則，因為是銳角三角形，所以，解得，則，又，所以，等號僅當，即時成立，所以的最小值為8.故答案為：8.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是化弦為切，再將正切表達式代入，最后結(jié)合基本不等式即可求出最值.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三線合一得到，再根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)得到，最后利用面面垂直的判定即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量法求出面面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，的中點，連接，，，則，因為，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，.因為為的中點，所以，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以分別為，，軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則.設(shè)為平面的一個法向量，則，即令，則，所以平面的一個法向量.顯然為平面的一個法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.16．(1)(2)【分析】（1）降次作差即可得到，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可得到答案；（2）裂項求和得到，再計算出的范圍即可得到的范圍.【詳解】（1）時，，即，所以.時，，所以，即，因為，所以，所以是首項為1公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由(1)得，所以.顯然是遞增數(shù)列，且，所以，即，所以，解得.實數(shù)的取值范圍是.17．(1)答案見解析(2)①分布列見解析，；②【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）①根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；②根據(jù)題意求平均數(shù)和方差，結(jié)合正態(tài)分布求，進而利用對立事件分析求解.【詳解】（1）由題意可得：列聯(lián)表為物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀246數(shù)學(xué)非優(yōu)秀044總計2810零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關(guān)，可得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷成立，即數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關(guān).（2）由題意可知：抽取的5人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)秀的有3人，非優(yōu)秀的有2人，則的可能取值為1，2，3，可得：，所以的分布列為123的期望；由題意可得：物理成績的平均分為（分）；方差，結(jié)合題意可知：，即，則，可得，記“4人中至少1人物理成績的等第優(yōu)秀”為事件A，可得，所以4人中至少1人物理成績的等第優(yōu)秀的概率為.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合零點分析可得，令，整理得，構(gòu)建，求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性可證；分析可知，等價于，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性分析證明.【詳解】（1）由題意可知：且，可得，即函數(shù)的定義域為，且，可得，，即切點坐標為，切線斜率，所以函數(shù)的圖象在處的切線的方程為，即.（2）由題意可知：不合題意，則，的定義域為，因為有兩個零點，則，可得，且，令，則，，可得，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，因為，等價于，等價于，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)