新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)7.3復(fù)數(shù)的三角表示學(xué)生用書新人教A版必修第二冊

7.3*復(fù)數(shù)的三角表示學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解復(fù)數(shù)的三角形式，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律推理)2．了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，記r為向量OZ的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個(gè)角，求r的值，并寫出θ的任意一個(gè)值，探討r，θ與z＝1＋3i的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系．學(xué)問點(diǎn)1復(fù)數(shù)的三角表示式1．定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成______________________________的形式．其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的____．_________________________叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．1．任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有多少個(gè)值？輻角的主值有多少個(gè)值？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．輻角的主值：規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值．通常記作argz，即0≤argz＜2π．學(xué)問點(diǎn)2復(fù)數(shù)三角形式乘法法則與幾何意義已知z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1z2＝______________．這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的______，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的________．2．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)問點(diǎn)3復(fù)數(shù)三角形式除法法則與幾何意義已知z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1z2＝r這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于____________減去__________所得的差．3．復(fù)數(shù)除法的幾何意義是什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________將下列復(fù)數(shù)表示為三角形式：(1)－5i＝________；(2)2－2i＝________．類型1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式【例1】把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：(1)1；(2)3－i；(3)－2sin3[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________將復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的步驟(1)先求復(fù)數(shù)的__．(2)打算____所在的象限．(3)依據(jù)象限求出____．(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式．提示：復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)要求：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連，缺一不行．任何一個(gè)不滿足，就不是三角形式．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．下列復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)三角形式表示的是()A．1B．－1C．1D．cos75π＋isin7類型2復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算【例2】(源自蘇教版教材)計(jì)算下列各式，并把結(jié)果化成代數(shù)形式：(1)2cosπ12+isin(2)6cos2_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．乘法法則：模相乘，輻角相加．2．除法法則：模相除，輻角相減．3．復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．計(jì)算下列各式，并把結(jié)果化成代數(shù)形式：(1)2cos(2)2(cos75°＋isin75°)×12(3)-12+_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義【例3】在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－3i對應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針和順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π3[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用復(fù)數(shù)乘除法的幾何意義求解復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，要留意點(diǎn)Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)，OZ經(jīng)常轉(zhuǎn)化為OZ＝OZ1+Z1Z．而求解向量Z1Z[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)設(shè)A，B，C是△ABC的內(nèi)角，z＝(cosA＋isinA)÷(cosB＋isinB)·(cosC＋isinC)是一個(gè)實(shí)數(shù)，則△ABC是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．外形不能確定(2)(多選)在復(fù)平面內(nèi)，已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，3＋2i，則頂點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)可能是()A．1-32＋1+32C．5-32＋3+321．復(fù)數(shù)－3i的輻角主值為()A．－π2 B．C．－π2＋2kπ(k∈Z) D．3π2＋2kπ(k2．復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)的三角形式為()A．z＝2(sin45°＋icos45°)B．z＝2(cos45°＋isin45°)C．z＝2[cos(－45°)－isin(－45°)]D．z＝2[cos(－45°)＋isin(－45°)]3．在復(fù)平面中，把復(fù)數(shù)z＝2＋2i對應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．2+22＋2+22i B．C．1＋2＋(1＋2)i D．1－2＋(1＋2)i4．計(jì)算cos23π+isin回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．復(fù)數(shù)三角形式中的輻角和輻角主值有什么區(qū)分與聯(lián)系？2．將復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)化為三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)時(shí)，要留意什么？3．用復(fù)數(shù)的三角形式乘除法的幾何意義解題時(shí)關(guān)鍵把握哪些量的變化？7.3*復(fù)數(shù)的三角表示[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)11．r(cosθ＋isinθ)輻角r(cosθ＋isinθ)思考1提示：輻角有無限多個(gè)值，這些值相差2π的整數(shù)倍．輻角的主值只有一個(gè)值，在0≤θ＜2π范圍內(nèi)．學(xué)問點(diǎn)2r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]模的積輻角的和思考2提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(假如θ2＜0，就要把OZ1繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膶W(xué)問點(diǎn)3r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－思考3提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相除時(shí)，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(假如θ2＜0，就要把OZ1繞點(diǎn)O課前自主體驗(yàn)(1)5cos(2)22[關(guān)鍵力量·合作探究釋疑難]例1解：(1)r＝1，對應(yīng)的點(diǎn)在x軸的正半軸上，所以arg1＝0，所以1＝cos0＋isin0．(2)r＝2，對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且cosθ＝32，所以取θ＝－π所以3－i＝2cos-(3)－2sin3π4+icos對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，且cosθ＝－22所以取θ＝3π所以－2sin3π4發(fā)覺規(guī)律(1)模(2)輻角(3)輻角跟進(jìn)訓(xùn)練1．D[選項(xiàng)A，cosπ4與isinπ4之間用“－”連接，不是用“＋”連接；選項(xiàng)B，－12<0不符合r≥0要求；選項(xiàng)C，是cos34π與isin34例2解：(1)原式＝6cos＝6cosπ4+isinπ4＝6(2)原式＝3＝3cosπ3+isinπ3跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)2＝(2)2cos23π＝－1＋3i．(2)由于12－12i＝22所以2(cos75°＋isin75°)×1＝2cos5＝2×2＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＋isinπ6＝(3)由于－12＋32i＝cos23π＋isin所以-12＝cos23＝1＝12cosπ3+例3解：由于3－3i＝23＝23cos所以23cos11＝23＝23＝23＝3＋3i，23cos11＝23＝23＝－23i．故把復(fù)數(shù)3－3i對應(yīng)的向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得到的復(fù)數(shù)為3＋3i，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得到的復(fù)數(shù)為－2跟進(jìn)訓(xùn)練3．(1)C(2)CD[(1)由題意知argz＝A－B＋C＝π－2B＝0，則B＝π2(2)由于AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，則AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1＋i)(cos60°＋isin60°)＝1-32＋1+32i或(1＋i)[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝1+32＋1-32i，所以O(shè)C＝即5-32＋3+32i或5+[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]1．B[與－3i對應(yīng)的點(diǎn)在負(fù)虛軸上，所以arg(－3i)＝322．B[依題意得r＝12+12＝2，復(fù)數(shù)z＝1＋i對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，且cosθ＝223．D[依題意，旋轉(zhuǎn)后的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋2i)(cos45°＋isin45°)＝1－2＋(1＋2)i．故選D．]4．12i[原式＝12cos23課堂小結(jié)1．提示：區(qū)分輻