中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練(全國通用)第二講 圖形的對稱與折疊-滿分之路（解析版）

模塊七圖形與變換第二講圖形的對稱與折疊知識梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)1:軸對稱與軸對稱圖形1.軸對稱與軸對稱圖形定義旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖線叫做,折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做圖示AACC”性質(zhì)對應(yīng)線(2)如果對應(yīng)線段或其延長線相交，那么交(2)如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)線段或其延長線相對應(yīng)角對應(yīng)圖形全等對應(yīng)點(diǎn)(1)點(diǎn)A與點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)點(diǎn)D與點(diǎn)(2)非重合對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平(1)點(diǎn)A與點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)點(diǎn)C與點(diǎn)(2)非重合對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平區(qū)別(1)軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖(2)對稱軸不一定只有一條(1)軸對稱是指兩個(gè)全等圖形之間的位置關(guān)Z(2)對稱軸只有一條.聯(lián)系把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對稱圖形.把一分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱2.常見的軸對稱圖形及其對稱軸圖形對稱軸角_條角平分線所在的直線 條的高所在的直線或底邊上的中線所在的直線) 條一條邊上的高或中線所在的直線)條相鄰兩邊的垂直平分線正方形 條相鄰兩邊的垂直平分線和對角線所在的直線正n邊形(n為正整數(shù)) 條邊的中點(diǎn)所在的直線即為對稱軸；所在的直線或一個(gè)頂點(diǎn)與圖形中心所在的直線是對稱軸.圓條任何一條直徑所在的直線知識點(diǎn)2:折疊的性質(zhì)(1)位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成軸對稱；(2)折疊前后的兩部分圖形全等，對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)線段、周長、面積等均相等；(3)折疊前后，非重合對應(yīng)點(diǎn)的連線均被折痕所在直線垂直平分。直擊中考勝券在握1.(2023·陜西中考)下列圖形中，是軸對稱圖形的是()A.【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、是軸對稱圖形，故符合題意；C、不是軸對稱圖形，故不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故不符合題意；【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.2.(2023·宿遷中考)對稱美是美的一種重要形式，它能給與人們一種圓滿、協(xié)調(diào)和平的美感，下列圖形屬于中心對稱圖形的是()【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可作出判斷.【詳解】解：A、是中心對稱圖形，故選項(xiàng)正確；B、不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合，3.(2023·廣西梧州中考)下列圖形中，既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是()【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形以及中心對稱圖形的定義即可作出判斷.【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故選項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.4.(2023·湖南省益陽中考)以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是()A.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可得.【詳解】A、不是中心對稱圖形，此項(xiàng)符合題意；B、是中心對稱圖形，此項(xiàng)不符題意；C、是中心對稱圖形，此項(xiàng)不符題意；D、是中心對稱圖形，此項(xiàng)不符題意；【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵.5.(2023·自貢中考)下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是()【解析】【分析】利用軸對稱圖形的定義逐一判斷即可.【詳解】解：A是軸對稱圖形，對稱軸有1條；D是軸對稱圖形，對稱軸有2條；【點(diǎn)睛】本題考查識別軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.6.(2023·山西中考)為推動世界冰雪運(yùn)動的發(fā)展，我國將于2022年舉辦北京冬奧會.在此之前進(jìn)行了冬奧會會標(biāo)的征集活動，以下是部分參選作品，其文字上方的圖案既A.【答案】B【解析】根據(jù)軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).B、文字上方的圖案既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故符合題意；C、文字上方的圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、文字上方的圖案既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)7.(2023·涼山州中考)如圖，·ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,將ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】先在RIABC中利用勾股定理計(jì)算出AB=10,再利用折疊的性質(zhì)得到AE=BE,AD=BD=5,設(shè)AE=x,則CE=AC-AE=8-x,BE=x,在RQBCE中根據(jù)勾股定理可得到x2=62+(8-x)2,解得x,可得CE.【詳解】BBADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重@BE2=BC2+CE2,【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.也考查了勾股定理.8.(2023·嘉興中考)將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤,然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形【答案】D【解析】【分析】此題是有關(guān)剪紙的問題，此類問題應(yīng)親自動手折一折，剪一剪.【詳解】又作了AD的垂直平分線，即EO垂直平分AD,所以AO=DO,且EOAD;由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以AEDF為平行四邊形；又ADZEF,所以平行四邊形AEDF為菱形.【點(diǎn)睛】9.(2023·廣西北部灣經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)中考)如圖，矩形紙片ABCD,AD:AB=√2:1,點(diǎn)E,F分別在AD,的值為()【答案】A【解析】【分析】的對應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',連接AA'并延長交線段CD于點(diǎn)G,則=BD=90°,根據(jù)相似三角形判定推出EEFHEEGAD,再利用矩形判定及性質(zhì)證得FH=【詳解】BEA=EA',FB=FB,@EF是AA’的垂直平分線.BZBAD=aB=OD=90°.EZOAE+&AEO=ZOAE+EAGD,【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判10.(2023·通遼中考)如圖，已知AD//BC,AB⊥BC,AB=3,點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動點(diǎn)，連接AE,將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，過點(diǎn)B'作AD的垂線，分別交AD,BC于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)B'為線【解析】【分析】②,②,因?yàn)辄c(diǎn)B'為線段MN的三等分點(diǎn)，沒有指明線段B'M的占比情況，所以需要分兩種情況討論：①;②1,然后由一線三垂直模型可證質(zhì)求得EN的值，最后由BE=BN-EN即可求得BE的長.【詳解】①如圖1,當(dāng)BN=AMBN=AM由折疊的性質(zhì)可得A'B=AB=3,∠AB'E=∠ABC=90°.在Rt?AB'M中，AM=√AB2-B'M2=√32-I2=2√2.∠AB'M+∠EB'N=90°,∠AB'M+∠EB'N=90°,②B'NE@AMB',②如圖2,當(dāng)MN⊥BC,MN⊥BC,BN=AM.,,在Rt?AB'M中，AM=√AB2-B'M2=√32-22=√5.,,【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由B'為線段討論線段B'M的占比情況，以及利用K型相似進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵.11.如圖，等邊ABC的邊長為4,AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上的動點(diǎn)，則線段EF+CF的最小值為【解析】【分析】為CE的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正弦的性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，連接CE,與AD交于點(diǎn)F',當(dāng)點(diǎn)F與F'重合時(shí)，EF+CF=∵AABC為等邊三角形，邊長為4,點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，,由勾股定理得,由勾股定理得【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的動點(diǎn)問題，掌握等邊三角形的性質(zhì)和正弦的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.(2023·海南中考)如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)D處，折痕為EF,則AD的長為,DD'的長為6【答案】6【解析】【分析】過De作DH⊥AF,過D作DMAD設(shè)DF=x,則AF=8-x,D'F=x,'于M,根據(jù)面積法可得,,,再由勾股定理求出,根據(jù)線段的和差求出【詳解】解：@四邊形ABCD是矩形，設(shè)DF=x,則AF=8-x,D'F=x最后由勾股定理求出:,:,,過De作DH⊥AF,過D作DMOAD于M,解得，故答案為：6;【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.AC上且AN=2,點(diǎn)M在BC上且,P為對角線BD上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為【答案】2【解析】【分析】作以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N',連接PN',MN',依據(jù)PM-PN=PM-PN’,MN',可得當(dāng)P,M,N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”,再根據(jù)△N'CM為等邊三角形，即可得到CM=MN'=2.【詳解】解：如圖所示，作以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N',連接PN',MN',根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN=PN',即PM-PN的最大值為2,故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及線段差的最值問題，凡是涉及線段差(和)的最值問題，一般要考慮三角形的三邊關(guān)系，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn).14.(2023·河南中考)小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30,AC=1.第一步，在AB邊上找一點(diǎn)D,將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A'處，如圖2,第二步，將紙片沿CA'折疊，點(diǎn)D落在D處，如圖3,當(dāng)點(diǎn)D恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段AD的長為【答案】【解析】【分析】因?yàn)辄c(diǎn)D恰好在原直角三角形紙片的邊上，所以分為當(dāng)D落在AB邊上和BC邊上兩種情況求解即可.【詳解】解：當(dāng)D落在AB邊上時(shí)，如圖(1):設(shè)DD交AB于點(diǎn)E,AD=A'D=A'D,DD⊥A'E,A'C=AC圖(1)15.(2023·湖南省常德中考)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形，將△DAE,△DCF分別沿DE,DF向內(nèi)折疊得到圖2,此時(shí)DA與DC重合(A、C都落在G點(diǎn)),若GF=4,EG=6,則DG的長為【解析】【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長為x,由翻折及已知線段的長，可用含x的式子分別表示出BE、BF及EF的長；在Rt△BEF中，由勾股定理得關(guān)于x的方程，解得x的值，即為DG的長.【詳解】設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則AB=BC=DC=DA=x,∠B=90°由翻折的性質(zhì)得：DG=DA=DC=x,AE=EG,CF=GFBBE=AB-AE=x-6,BF=BC-CF=x-4如圖，在Ri△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2解得x=12或x=-2(不符題意，舍去)故答案為：12.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.16.(2023·成都中考)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,點(diǎn)E,F分別在邊AD,BC上，且AE=3,按以下步驟操作：第一步，沿直線EF翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在對角線AC上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',則線段BF的長為;第二步，分別在EF,AQB'上取點(diǎn)M,N,沿直線MN繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段MN的長為【解析】【分析】第一步：設(shè)EF與AA'交于點(diǎn)O,連接AF,易證明BAOE-@ADC,利用對應(yīng)邊成比例可得到OA=2OE,由勾股定理可求出從而求得OA及OC;由ADOBC,易得RAOERRCOF,由對應(yīng)邊成比例可得AE、FC的關(guān)系式，設(shè)BF=x,則FC=8-x,由關(guān)系式可求得x的值；第二步：連接NE,NF,根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE,設(shè)B'N=m,分別在RBNB'F和RBEA'N中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m,最后得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，連接AF,設(shè)EF與AA交于點(diǎn)O,由折疊的性質(zhì)得到AABEF,A'E=AE=3ZRADC=90°,CD=AB=4,ADQBCE,,②BF的長為1.連接NE,NF,如圖，則NF2=12+m2=NE2=32+(4-m【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，熟練運(yùn)用這些知識是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運(yùn)用.17.(2023·長春中考)實(shí)踐與探究操作一：如圖①,已知正方形紙片ABCD,將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,折痕為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF,操作二：如圖②,將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落