第6.3.4講平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示-新高一數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019）

平面向量及其應(yīng)用第6.3.4講平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示班級_______姓名_______組號_______1．會用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)乘運算．2．能用坐標(biāo)表示平面向量的共線問題．3．通過具體問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)．1、向量共線的判定與證明的坐標(biāo)方法2、利用向量共線求參數(shù)3、向量坐標(biāo)的線性運算1．用坐標(biāo)表示向量的數(shù)乘已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)．這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．2．向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb，如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2.))坐標(biāo)運算為x1y2－x2y1＝0．題型1、向量共線的判定與證明的坐標(biāo)方法1．已知向量，，那么向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件計算即可判斷.【詳解】向量，，則存在，使得故只有向量符合.故選：A.2．若向量，，則與共線的向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出合適的選項.【詳解】若向量，，則，D選項滿足要求，而其它選項不合題意.故選：D.3．兩個非零向量，平行的充要條件是（

）A． B．C． D．存在非零實數(shù)k，使【答案】D【分析】由向量平行的條件，結(jié)合充要條件的判定，逐個驗證選項.【詳解】表示方向上的單位向量，表示方向上的單位向量，兩個非零向量，平行的充要條件是或，A選項錯誤；非零向量，可能有一個為0，所以，平行不能得到，B選項錯誤；兩個非零向量，平行，夾角可能是也可能是，所以或，C選項錯誤；若兩個非零向量，平行，則存在非零實數(shù)k，使，反之，兩個非零向量，，若存在非零實數(shù)k，使，則，平行，D選項正確.故選：D4．已知向量，若向量與共線，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用已知條件判斷與不共線，則與可以作為一組基底，再根據(jù)與共線，通過向量共線列出方程求解即可．【詳解】解：因為，所以，與不共線，則與可以作為平面內(nèi)的一組基底，因為與共線，又，，所以，即，故選：D.5．設(shè)向量,,,則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，逐一判斷，即可確定答案.詳解：選項A，，，，A錯誤.選項B，，，，B錯誤.選項C，，，，則，C正確.選項D，，，，D錯誤.故選C.點睛：本題考查向量坐標(biāo)運算及兩個向量共線的條件.

（1）平面向量的坐標(biāo)運算①若，，，則；②若，則．（2）平面向量共線的條件若，，則.題型2、利用向量共線求參數(shù)6．已知平面向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用平面向量平行的坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】由題意知，，解得：.故選：A.7．已知平行四邊形的頂點，則頂點D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出，根據(jù)，得到方程組，求出，得到答案.【詳解】設(shè)，由題意得，即，即，解得，故頂點D的坐標(biāo)為.故選：A8．已知向量不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A．1或 B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為向量不共線，且，若與共線，則存在實數(shù)，使得，即，則可得，解得或.故選：A9．設(shè)，為平面內(nèi)一個基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合平面向量線性運算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，所以，因為A，B，D三點共線，所以有，即因為，為平面內(nèi)一個基底，所以，不是共線向量，因此有，故選：D10．已知向量.若與共線，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算得，利用向量共線得到方程，解出即可.【詳解】，由與共線得故選：A.題型3、向量坐標(biāo)的線性運算11．設(shè)點，若點P在直線上，且，則點的坐標(biāo)為A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】將向量模長關(guān)系改寫成向量共線的形式，注意分類計算坐標(biāo).【詳解】，點在直線上，且，或，故或，故點坐標(biāo)為或，故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)向量共線求解點的坐標(biāo)問題，難度較易.共線三點間的模長倍數(shù)關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為共線向量的形式，注意方向問題.12．已知點，，，若A，B，C三點共線，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知由于A，B，C三點共線，所以與共線，所以，所以,故選：D13．已知，若B、C、D點共線，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出向量的坐標(biāo)，分析可得，由向量平行的坐標(biāo)表示可得答案．【詳解】根據(jù)題意，已知，，則，若、、點共線，則，則有，解得：，故選：D．14．向量，，，若，，三點共線，則的值為（

）A．或 B．或 C．或11 D．或【答案】A【分析】根據(jù)共線定理列方程，解方程即可.【詳解】由，，，得，，又，，三點共線，則，即，解得或，故選：A.15．某同學(xué)因興趣愛好，自己繪制了一個迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學(xué)為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過程中，按單位長度給迷宮圖標(biāo)記了刻度，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點恰好共線，則（

）A．7 B． C． D．8【答案】C【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可得.【詳解】由圖可知，所以，，因為，所以，解得.故選：C一、單選題1．已知向量，且，則實數(shù)（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故選：D2．已知向量，向量，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示列式求解.【詳解】∵，，，∴，解得.故選：B.3．已知，兩點，且，則點P的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)已知，利用向量的線性運算計算求解.【詳解】設(shè)，由題可知，，，因為，所以，解得，故A，B，D錯誤.故選：C.4．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)的值，再根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，從而.故選：D5．已知，若向量共面，則（

）A．2 B． C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)所給的三個向量的坐標(biāo)，寫出三個向量共面的條件，點的關(guān)于要求的兩個方程組，解方程組即可．【詳解】,,，,3,，,6,，三個向量共面，，,,,3,,6,，解得：故選：C．6．設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)因為向量與向量共線，由求解.【詳解】解：因為向量與向量共線，所以，即，因為，是兩個不共線的向量，所以，解得，故選：C7．已知，，若點C是靠近點B的三等分點，則C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，利用向量運算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】設(shè)，則，，因為點C是靠近點B的三等分點，所以，即，，解得，．故選：A.8．已知中，角所對的邊分別為，設(shè)向量，，且，則角可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，得到，求得或，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由向量，，因為，可得，即，可得，因為，可得，所以或，所以或，結(jié)合選項B適合.故選：B.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上B．已知直線上有，，三點，其中，，且，則點P的坐標(biāo)為C．向量，，，若A，B，C三點共線，則k的值為－2或11D．已知平面內(nèi)O，A，B，C四點，其中A，B，C三點共線，O，A，B三點不共線，且，則【答案】BCD【分析】A選項，根據(jù)共線向量的定義進(jìn)行判斷；B選項，設(shè)，由列出方程組，求出答案；C選項，根據(jù)向量加減運算法則得到，根據(jù)A，B，C三點共線，得到，列出方程，求出答案；D選項，根據(jù)A，B，C三點共線，得到存在R，使，變形后，得到，，求出答案.【詳解】對于A，向量與是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上，A錯誤；對于B，設(shè)，由，得，則,解得，B正確；對于C，，.因為A，B，C三點共線，所以，所以，整理得，解得或，C正確；對于D，∵A，B，C三點共線，∴存在R，使，∴，∴，∴，，∴，D正確.故選：BCD10．已知向量，，，若點，，能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】ABD【分析】利用與共線求出的值，再由A，B，C三點不共線求出取值范圍作答.【詳解】向量，，，則，，當(dāng)A，B，C三點共線時，，則，解得，而點，，能構(gòu)成三角形，等價于點，，不共線，因此，所以選項ABD滿足，C不滿足.故選：ABD三、填空題11．已知向量，若與共線，則m的值為．【答案】【分析】計算出兩向量與的坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)表示，求出的值.【詳解】向量，則，，由向量與共線，得，解得，所以m的值為.故答案為：12．已知點，，則的坐標(biāo)為．【答案】【分析】利用向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)分別為．由題意得，.因為，所以，解得，所以，又因為，所以，解得，所以,所以．故答案為：.四、解答題13．設(shè)向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求