6.2.16.2.2向量基本定理與直線上向量的坐標(biāo)及其運算

向量基本定理直線上向量的坐標(biāo)及其運算TOC\o"13"\h\z\u題型1基底的概念及辨析 ②是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．◆類型1利用向量的線性運算轉(zhuǎn)化【例題21】（2023下·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點，若以向量AE，BF為基底表示向量AC，則下列結(jié)論正確的是（

）A．AC=1C．AC=AE【答案】D【分析】注意到AC=AB+AD，后利用【詳解】注意到AC=又E為DC中點，則AE=F為AD中點，則BF=則1212則AC=故選：D【變式21】1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，AE和BD相交于點F．記AB=a，A．CF=-2C．CF=-1【答案】A【分析】依題意可得△ABF∽△EDF，即可得到DFBF【詳解】在平行四邊形ABCD中AB//CD，AE和BD相交于點所以△ABF∽△EDF，又E是CD的中點，所以DFBF=DE所以CF=故選：A【變式21】2.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知M，N，P分別是△ABC三邊BC，CA，AB上的點，且BM=14BC，CN=14CA，AP=14AB，如果【答案】MN=-34a+【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算結(jié)合幾何圖形求解作答.【詳解】在△ABC中，AB=a,AC=b，由由BM=14BC，得所以MN=由AP=14AB，得PM=【變式21】3.（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知E,F分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若AB=a，AD=b，用基底a，【答案】AG【分析】由題知CG=λCB+CD=2λCE+2λ【詳解】解：因為E,F分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，所以，CF=12設(shè)CG=λ所以，由向量加法的平行四邊形法則可得CG=λ因為E，所以，2λ+2λ=1，即λ=1所以，CG=所以AG=【變式21】4.（2020上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知M，N，P是△ABC三邊BC，CA，AB上的點，且BM=14BC，CN=14CA，AP=14【答案】NP=14【分析】根據(jù)已知條件先得到AN=34AC，然后根據(jù)NP=AP-AN可求解出NP的基底表示；根據(jù)【詳解】解：因為CN=14所以NP=AM=◆類型2列方程（組）【方法總結(jié)】步驟：1.用基底表示所求向量；2.將基底轉(zhuǎn)化為三點共線對應(yīng)向量；3.利用三點共線λ+μ=1列方程組?！纠}22】（2022下·上海閔行·高一校考期末）如圖，△ABC中已知OA=a，OB=b，OM=13a，【答案】1【分析】設(shè)OP=ma+nb，利用M,N的性質(zhì)把OP分別用OA,ON，OM,OB表示，然后由【詳解】設(shè)OP=ma+nb，又所以O(shè)P=3m又A,P,N三點共線，B,P,M三點共線，所以3m+n=1m+2n=1，解得m=所以O(shè)P=故答案為：15【變式22】1.（2023下·高一專題）如圖所示，在△OAB中，OA=a，OB=b，M，N分別是OA，OB上的點，且OM=13【答案】OP【分析】設(shè)MP=mMB,NP=nNA，利用向量的線性運算得到OP=13(1m)a+m【詳解】設(shè)MP=mMB,因為OP=所以O(shè)P=OM+mMB=13a+mbOP=ON+n因為a與b不共線，所以1解得m=25n=15，所以O(shè)P=1【變式22】2.（2022上·高一專題）如圖，在△ABO中，OC=13OA，OD=12OB，(1)試用向量a，b表示OM；(2)過點M作直線EF分別交線段AC，BD于點E，F(xiàn)，記OE=λOA，OF=μ【答案】(1)OM(2)證明見解析【分析】（1）由三點共線可得系數(shù)為1的關(guān)系，由向量在同一組基底下的表示唯一即可列方程求解，（3）由共線的系數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因為D，M、A三點共線，所以存在實數(shù)m使得OM又B，M，C三點共線，所以存在實數(shù)n使得OM根據(jù)平面向量基本定理可得m2=n,所以O(shè)M=（2）證明：設(shè)OM=x由（1）可得xλ=15①，yμ=又F，M，E三點共線，所以x+y=1，③由①②可得5x=1λ，代入③式可得1λ+2【變式22】3．（2023下·高一專題）如圖所示，在△ABO中，OC=14OA，OD=12OB，AD與(1)試用向量a,b表示(2)過點M作直線EF分別交線段AC,BD于點E,F，記OE=λOA，OF=μOB，求證：不論點E,F在線段【答案】(1)OM(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)D,M,A三點共線可得OM=mOD+1-mOA，同理由B,M,C（2）設(shè)OM=xOE+yOF=xλOA+yμ【詳解】（1）因為D,M,A三點共線，所以存在實數(shù)m使得OM=m又因為B,M,C三點共線，所以存在實數(shù)n使得OM=n根據(jù)向量相等可得m2=n1-m=所以O(shè)M=（2）設(shè)OM=x由（1）可得xλ=17①，yμ=又F,M,E三點共線，所以x+y=1③，由①②可得7x=1λ，7y=3μ，代入即不論點E,F在線段AC,BD上如何移動，1λ+3【點睛】本題主要考查了共線向量的基本定理：當(dāng)O為直線EF外一點時，E,F,M三點共線?OM=x【變式22】4．（多選）如圖，已知△ABC，點M，N滿足AM=λAB，A．AP=λμC．BP=λ-1【答案】BC【分析】利用平面向量的線性運算，結(jié)合三點共線的向量表示，逐個驗證選項.【詳解】N,P,B三點共線，設(shè)NP=A選項：AP=μAP=∴μ-μx=yλ所以A選項錯誤；B選項：由AP=tADB,C,D三點共線，則1tλμ-μλμ-1C選項：BP=λD選項：CPλ+所以D選項錯誤.故選：BC題型3利用平面向量的基本定理求參數(shù)【例題3】（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎叫兴倪呅蜛BCD中，DE=12DC，若A．32 B．-32【答案】D【分析】利用給定的平行四邊形，結(jié)合向量的線性運算及平面向量基本定理計算即得.【詳解】在?ABCD中，DE=12DC，即E又AE+BE=因此AC=2而AC=λBE+μ所以λ=-12,μ=故選：D【變式31】1．（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，AE=EO，若DE=λAB+μA．1 B．-12 C．-【答案】B【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理即可求解.【詳解】因為平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，AE=EO所以DE=因為DE=λAB+μ則λ+μ=-1故選：B.【變式31】2．（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的四等分點，點F在BE上，若AF=xAB+A．45 B．56 C．7【答案】D【分析】設(shè)BF=λBE，其中0≤λ≤1，根據(jù)平面向量的線性運算可得出AF關(guān)于AB、AD的表達(dá)式，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于x、λ的方程組，即可解得【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可得AC=因為E是對角線AC上靠近點C的四等分點，則AE=設(shè)BF=λBE，其中則AF=1-所以，34λ=13，可得故選：D.【變式31】3．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC中，D為AB的中點，AE=13AC，若【答案】1【分析】利用向量的線性運算將DE用AB,AC表示，由此即可得到【詳解】因為DE=DA+所以λ=-16,μ=故答案為：16【變式31】4．（2023下·江西九江·高一?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D是BC的中點,點E在邊AC上，且滿足3AE=AC，BE交AD于點F，設(shè)BF=λAB+μ【答案】-12【分析】根據(jù)向量共線定理表示出AD,AF，從而求出λ,μ，即可求解出λ+μ,【詳解】設(shè)AF=mAD,BF=nBE,根據(jù)向量共線定理，得：AFAF=nAE+所以AF又因為AD所以n解得：n3=m代入BF解得：λ=-3則有λ+μ=-12故答案為：-12；【點睛】根據(jù)向量共線定理求解，通過AD,【變式31】5．如圖，在△ABC中，點P滿足BP=3PC，過點P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點M、N，若AM=λABA．3 B．12 C．4 D．16【答案】C【分析】根據(jù)BP=3PC和向量的線性運算可得14λ【詳解】連接AP，因為BP=3PC，故AP-故AP=14λAM+34μAN，而故選：C題型4直線上的坐標(biāo)及運算【例題4】（2021·高一課時練習(xí)）直線上向量a，b的坐標(biāo)分別為3，5，則向量3aA．19，19 B．21，21 C．19，5 D．1，1【答案】A【分析】根據(jù)直線上向量的坐標(biāo)運算法則代入數(shù)據(jù)即可求得答案.【詳解】由題可知，向量3a-2b向量3a-2故選：A【變式41】1．（2021·高一課時練習(xí)）若數(shù)軸上A，B兩點的坐標(biāo)分別為5，7，則BA的坐標(biāo)是，|AB【答案】1212【分析】由直線上向量坐標(biāo)運算求解即可【詳解】由題意可知：BA=-5-7=-12|AB故答案為：-12；12【變式41】2．（2021·高一課時練習(xí)）若數(shù)軸上A，B兩點的坐標(biāo)分別為2，x，且AB的坐標(biāo)是8，則x=.【答案】10【分析】設(shè)點O為坐標(biāo)原點，根據(jù)AB=OB-【詳解】解：設(shè)點O為坐標(biāo)原點，則AB=∴x--2∴x=-10，故答案為：-10．【變式41】3．（2019·高一課時練習(xí)）已知數(shù)軸上兩點A，B的坐標(biāo)分別為x1，x2，根據(jù)下列條件，分別求點A的坐標(biāo)（1）x2=-5，BA（2）x2=-1，【答案】（1）x1=-8；（2）x【分析】（1）由向量BA的坐標(biāo)為x1（2）由|AB【詳解】由題意，數(shù)軸上兩點A，B的坐標(biāo)分別為x1，x（1）由向量BA的坐標(biāo)為x1-(-5)=-3，所以（2）由|AB|=-1-x1【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上向量的坐標(biāo)表示與運算，以及向量模的計算，其中解答中熟記數(shù)軸上向量的坐標(biāo)表示與運算法則是解答的關(guān)鍵