1.3《三角函數(shù)的誘導公式》教學案3

1.3?三角函數(shù)的誘導公式?教學案整體設計教學分析本節(jié)主要是推導誘導公式二、三、四，并利用它們解決一些求解、化簡、證明問題.本小節(jié)介紹的五組誘導公式在內容上既是公式一的延續(xù)，又是后繼學習內容的根底，它們與公式一組成的六組誘導公式，用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關三角函數(shù)的化簡、證明等問題.在誘導公式的學習中，化歸思想貫穿始末，這一典型的數(shù)學思想，無論在本節(jié)中的分析導入，還是利用誘導公式將求任意角的三角函數(shù)值轉化為求銳角的三角函數(shù)值，均清晰地得到表達，在教學中注意數(shù)學思想滲透于知識的傳授之中，讓學生了解化歸思想，形成初步的化歸意識，特別是在本課時的三個轉化問題引入后，為什么確定180°+α角為第一研究對象，-α角為第二研究對象，正是化歸思想的運用.公式二、公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導入時為不大于90°的非負角，但是在推導中卻把α拓廣為任意角，這一思維上的轉折使學生難以理解，甚至會導致對其必要性的疑心，因此它成為本課時的難點所在.課本例題實際上是誘導公式的綜合運用，難點在于需要把所求的角看成是一個整體的任意角.學生第一次接觸到此題型，思維上有困難，要多加引導分析，另外，誘導公式中角度制亦可轉化為弧度制，但必須注意同一個公式中只能采取一種制度，因此要加強角度制與弧度制的轉化的練習.三維目標1.通過學生的探究，明了三角函數(shù)的誘導公式的來龍去脈，理解誘導公式的推導過程；培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及運算能力，滲透轉化及分類討論的思想.2.通過誘導公式的具體運用，熟練正確地運用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，體會數(shù)式變形在數(shù)學中的作用.3.進一步領悟把未知問題化歸為問題的數(shù)學思想，通過一題多解，一題多變，多題歸一，提高分析問題和解決問題的能力.重點難點教學重點:五個誘導公式的推導和六組誘導公式的靈巧運用，三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等.教學難點:六組誘導公式的靈巧運用.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課思路1.①利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值.②復習誘導公式一及其用途.思路2.在前面的學習中，我們知道終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一，并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函數(shù)轉化為0°到360°(0到2π)內的角的三角函數(shù)值，求銳角三角函數(shù)值，我們可以通過查表求得，對于90°到360°(到2π)范圍內的角的三角函數(shù)怎樣求解，能不能有像公式一那樣的公式把它們轉化到銳角范圍內來求解，這一節(jié)就來探討這個問題.推進新課新知探究提出問題由公式一把任意角α轉化為［0°，360°)內的角后，如何進一步求出它的三角函數(shù)值？活動:在初中學習了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函數(shù)值學生記住了，對非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查數(shù)學用表或是用計算器求得.教師可組織學生思考討論如下問題:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得？90°到360°的角β能否與銳角α相聯(lián)系？通過分析β與α的聯(lián)系，引導學生得出解決設問的一種思路:假設能把求［90°，360°)內的角β的三角函數(shù)值，轉化為求有關銳角α的三角函數(shù)值，那么問題將得到解決，適時提出，這一思想就是數(shù)學的化歸思想，教師可借此向學生介紹化歸思想.圖1討論結果:通過分析，歸納得出:如圖1.β=提出問題①銳角α的終邊與180°+α角的終邊位置關系如何？②它們與單位圓的交點的位置關系如何？③任意角α與180°+α呢？活動:分α為銳角和任意角作圖分析:如圖2.圖2引導學生充分利用單位圓，并和學生一起討論探究角的關系.無論α為銳角還是任意角，180°+α的終邊都是α的終邊的反向延長線，所以先選擇180°+α為研究對象.利用圖形還可以直觀地解決問題②，角的終邊與單位圓的交點的位置關系是關于原點對稱的，對應點的坐標分別是P(x，y)和P′(-x，-y).指導學生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導出公式二:sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα.并指導學生寫出角為弧度時的關系式:sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα.引導學生觀察公式的特點，明了各個公式的作用.討論結果:①銳角α的終邊與180°+α角的終邊互為反向延長線.②它們與單位圓的交點關于原點對稱.③任意角α與180°+α角的終邊與單位圓的交點關于原點對稱.提出問題①有了以上公式，我們下一步的研究對象是什么？②-α角的終邊與角α的終邊位置關系如何？活動:讓學生在單位圓中討論-α與α的位置關系，這時可通過復習正角和負角的定義，啟發(fā)學生思考:任意角α和-α的終邊的位置關系；它們與單位圓的交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公式二的推導過程，由學生自己完成公式三的推導，即:sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα.教師點撥學生注意:無論α是銳角還是任意角，公式均成立.并進一步引導學生觀察分析公式三的特點，得出公式三的用途:可將求負角的三角函數(shù)值轉化為求正角的三角函數(shù)值.討論結果:①根據(jù)分析下一步的研究對象是-α的正弦和余弦.②-α角的終邊與角α的終邊關于x軸對稱，它們與單位圓的交點坐標的關系是橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù).提出問題①下一步的研究對象是什么？②π-α角的終邊與角α的終邊位置關系如何？活動:討論π-α與α的位置關系，這時可通過復習互補的定義，引導學生思考:任意角α和π-α的終邊的位置關系；它們與單位圓的交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公式二、三的推導過程，由學生自己完成公式四的推導，即:sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.強調無論α是銳角還是任意角，公式均成立.引導學生觀察分析公式三的特點，得出公式四的用途:可將求π-α角的三角函數(shù)值轉化為求角α的三角函數(shù)值.讓學生分析總結誘導公式的結構特點，概括說明，加強記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步簡記為:“函數(shù)名不變，符號看象限〞.點撥、引導學生注意公式中的α是任意角.討論結果:①根據(jù)分析下一步的研究對象是π-α的三角函數(shù)；②π-α角的終邊與角α的終邊關于y軸對稱，它們與單位圓的交點坐標的關系是縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).例如應用思路1例1利用公式求以下三角函數(shù)值:(1)cos225°；(2)sin；(3)sin()；(4)cos(-2040°).活動:這是直接運用公式的題目類型，讓學生熟悉公式，通過練習加深印象，逐步到達熟練、正確地應用.讓學生觀察題目中的角的范圍，對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=；(2)sin=sin(4π)=-sin=；(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=；(4)cos(-2040°)=cos2040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=.點評:利用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角的三角函數(shù)，一般可按以下步驟進行:上述步驟表達了由未知轉化為的轉化與化歸的思想方法.變式訓練利用公式求以下三角函數(shù)值:(1)cos(-510°15′)；(2)sin(π).解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.8682；(2)sin(π)=sin(-3×2π)=sin=.例22024全國高考，1cos330°等于()A.B.C.D.答案:C變式訓練化簡:解:===.例3化簡cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活動:這是要求學生靈巧運用誘導公式進行變形、求值與證明的題目.利用誘導公式將有關角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，再求值、合并、約分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)-sin45°+cos120°=cos45°+cos(180°-60°)=-cos60°=-1.點評:利用誘導公式化簡，是進行角的轉化，最終到達統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓練求證:.分析:利用誘導公式化簡較繁的一邊，使之等于另一邊.證明:左邊====tanθ=右邊.所以原式成立.規(guī)律總結:證明恒等式，一般是化繁為簡，可以化簡一邊，也可以兩邊都化簡.知能訓練課本本節(jié)練習1—3.解答:1.(1)-cos；(2)-sin1；(3)-sin；(4)cos70°6′.點評：利用誘導公式轉化為銳角三角函數(shù).2.(1)；(2)；(3)0.6428；(4).點評：先利用誘導公式轉化為銳角三角函數(shù)，再求值.3.(1)-sin2αcosα；(2)sin4α.點評：先利用誘導公式變形為角α的三角函數(shù)，再進一步化簡.課堂小結本節(jié)課我們學習了公式二、公式三、公式四三組公式，這三組公式在求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式時是經常用到的，為了記牢公式，我們總結了“函數(shù)名不變，符號看象限〞的簡便記法，同學們要正確理解這句話的含義，不過更重要的還是應用，我們要多加練習，切實掌握由未知向轉化的化歸思想.作業(yè)課本習題1.3A組2、3、4.設計感想一、有關角的終邊的對稱性(1)角α的終邊與角π+α的終邊關于原點對稱.(2)角α的終邊與角-α的終邊關于x軸對稱.(3)角α的終邊與角π-α的終邊關于y軸對稱.二、三角函數(shù)的誘導公式應注意的問題(1)α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)的符號；可簡單記憶為:“函數(shù)名不變，符號看象限.〞(2)公式中的α是任意角.(3)利用誘導公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值.根本步驟是:任意負角的三角函數(shù)相應的正角的三角函數(shù)0到2π角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)三角函數(shù).即負化正，大化小，化為銳角再查表.第2課時導入新課上一節(jié)課我們研究了誘導公式二、三、四.現(xiàn)在請同學們回憶一下相應的公式.提問多名學生上黑板默寫公式.在此根底上，我們今天繼續(xù)探究別的誘導公式，揭示課題.推進新課新知探究提出問題終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱的角有何數(shù)量關系？活動:我們借助單位圓探究終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱的角的數(shù)量關系.教師充分讓學生探究，啟發(fā)學生借助單位圓，點撥學生從終邊關于直線y=x對稱的兩個角之間的數(shù)量關系，關于直線y=x對稱的兩個點的坐標之間的關系進行引導.圖3討論結果:如圖3，設任意角α的終邊與單位圓的交點P1的坐標為(x，y)，由于角-α的終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱，角-α的終邊與單位圓的交點P2與點P1關于直線y=x對稱，因此點P2的坐標是(y，x)，于是，我們有sinα=y，cosα=x，cos(-α)=y，sin(-α)=x.從而得到公式五:cos(-α)=sinα，sin(-α)=cosα.提出問題能否用已有公式得出+α的正弦、余弦與α的正弦、余弦之間的關系式？活動:教師點撥學生將+α轉化為π-(-α)，從而利用公式四和公式五到達我們的目的.因為+α可以轉化為π-(-α)，所以求+α角的正余弦問題就轉化為利用公式四接著轉化為利用公式五，這時可以讓學生獨立推導公式六.討論結果:公式六Sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα.提出問題你能概括一下公式五、六嗎？活動:結合上一堂課研究公式一—四的共同特征引導學生尋求公式五、六的共同特征，指導學生用類比的方法即可將公式五和公式六進行概括.討論結果:±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步可以簡記為:函數(shù)名改變，符號看象限.利用公式五或公式六，可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉化.公式一—六都叫做誘導公式.提出問題學了六組誘導公式及上例的結果后，能否進一步歸納概括誘導公式，怎樣概括？討論結果:誘導公式一—四，函數(shù)名稱不改變，這些公式左邊的角分別是2kπ+α(k∈Z)，π±α，-α(可看作0-α).其中2kπ，π，0是橫坐標軸上的角，因此，上述公式可歸結為橫坐標軸上的角±α，函數(shù)名稱不改變.而公式五、六及上面的例1，這些公式左邊的角分別是±α，-α.其中，是縱坐標軸上的角，因此這些公式可歸結為縱坐標上的角±α，函數(shù)名稱要改變.兩類誘導公式的符號的考查是一致的，故而所有的誘導公式可用十個字來概括:縱變橫不變，符號看象限.教師指點學習方法:如果我們孤立地記憶這么多誘導公式，那么我們的學習將十分苦累，且效率低下.學習過程中，能挖掘各個公式的本質特征，尋求它們之間的共性，那么我們對數(shù)學公式的記憶就不再是負擔了.因此，要求大家多做這方面的工作，以后數(shù)學的學習就不再是枯燥無味的了.例如應用思路1例1證明(1)sin(-α)=-cosα；(2)cos(-α)=-sinα.活動:直接應用公式五、六或者通過轉化后利用公式五、六解決化簡、證明問題.證明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα；(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.點評:由公式五及六推得±α的三角函數(shù)值與角α的三角函數(shù)值之間的關系，從而進一步可以推廣到π(k∈Z)的情形.本例的結果可以直接作為誘導公式直接使用.例2化簡活動:仔細觀察題目中的角，哪些是可以利用公式二—四的，哪些是可以利用公式五、六的.認真應用誘導公式，到達化簡的目的.解:原式====-tanα.思路2例1(1)f(cosx)=cos17x，求證:f(sinx)=sin17x；(2)對于怎樣的整數(shù)n，才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx？活動:對誘導公式的應用需要較多的思維空間，善于觀察題目特點，要靈巧變形.觀察本例條件與結論在結構上類似，差異在于一個含余弦，一個含正弦，注意到正弦、余弦轉化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于觀察條件和結論的結構特征，找出它們的共性與差異；要注意誘導公式可實現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間的轉移.證明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x，即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=故所求的整數(shù)n=4k+1(k∈Z).點評:正確合理地運用公式是解決問題的關鍵所在.變式訓練cos(-α)=m(m≤1)，求sin(-α)的值.解:∵-α-(-α)=，∴-α=+(-α).∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.點評:(1)當兩個角的和或差是的整數(shù)倍時，它們的三角函數(shù)值可通過誘導公式聯(lián)系起來.(2)化簡與所求，然后探求聯(lián)系，這是解決問題的重要思想方法.例2sinα是方程5x2-7x-6=0的根，且α為第三象限角，求的值.活動:教師引導學生先確定sinα的值再化簡待求式，從而架起與未知的橋梁.解:∵5x2-7x-6=0的兩根x=2或x=，∵-1≤x≤1，∴sinα=.又∵α為第三象限角，∴cosα==.∴tanα=.∴原式==tana=點評:綜合運用相關知識解決綜合問題.變式訓練假設函數(shù)f(n)=sin(n∈Z)，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin(+2π)=sin，∴f(n)=f(n+12).從而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+.例3函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，又知f(2003)=-1，求f(2004)的值.活動:尋求f(2003)=-1與f(2004)之間的聯(lián)系，這個聯(lián)系就是我們解答問題的關鍵和要害.解:f(2003)=asin(2003π+α)+bcos(2003π+β)=asin(2002π+π+α)+bcos(2002π+π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)，∵f(2003)=-1，∴asinα+bcosβ=1.∴f(2004)=asin(2004π+α)+bcos(2004π+β)=asinα+bcosβ=1.點評:解決