寧夏永寧上游高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

永寧上游高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期開(kāi)學(xué)考試高二數(shù)學(xué)試卷班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________時(shí)間：120分鐘分值：150分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.在數(shù)列中，，則的值為（）A.17B.18C.19D.212.過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（）A.B.C.或D.或3.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.1B.2C.D.4.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.5.若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.6.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的解集是（）A.B.C.D.7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A.B.C.D.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（）A.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為B.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為C.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4D.準(zhǔn)線方程為10.下列說(shuō)法中正確的有（）A.B.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則C.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是4D.若，則11.設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.離心率B.面積的最大值為1C.以線段為直徑的圓與直線相切D.為定值12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，若，則下列命題正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.是數(shù)列中的最小項(xiàng)C.和是中的最小項(xiàng)D.滿(mǎn)足的的最大值為25三?填空題（每道題5分，共20分）13.已知圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則圓的方程是__________.14.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值__________.15.已知為等比數(shù)列，，則__________.16.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足：且，則的解集為_(kāi)_________.四?解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分70分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟.17.（本小題滿(mǎn)分10分）如圖.在四棱錐中，平面，且.（1）求異面直線與所成角的余弦；（2）求點(diǎn)到平面的距離.18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.20.（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.21.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)恒成立.22.（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓為右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，.（1）求的離心率；（2）已知為的一條過(guò)原點(diǎn)的弦（不同于點(diǎn)）.（i）求證：直線的斜率之積為定值，并求出該值；（ii）若直線與軸分別交于點(diǎn)，且面積的最小值為，求橢圓的方程.永寧上游高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期開(kāi)學(xué)考試高二數(shù)學(xué)參考答案1.D【分析】題干條件得到為等差數(shù)列，公差為2，利用通項(xiàng)公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以為等差?shù)列，公差為2，首項(xiàng)，所以.故選：D2.C【分析】由題意分直線斜率是否存在再結(jié)合直線與圓相切的條件進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解.【詳解】圓，即圓的圓心坐標(biāo)，半徑分別為，顯然過(guò)點(diǎn)且斜率不存在的直線為，與圓相切，滿(mǎn)足題意；設(shè)然過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線為，與圓相切，所以，所以解得，所以滿(mǎn)足題意的直線方程為或.故選：C.3.A【分析】求得，令，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得，則，所以.故選：A.4.B【分析】根據(jù)漸近線方程得到，再代入離心率公式即可.【詳解】由題意可知，所以.故選：B.5.D【分析】由題意得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，列出不等式組求解即可.【詳解】依題意知，有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故，解得且.故選：D.6.C【分析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖像可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榭苫癁榛颍獾茫夯?，所以不等式的解集?故選：7.C【分析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：8.B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出.【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此.故選：B.方法二：因?yàn)棰伲?，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即.故選：B.方法三：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問(wèn)題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大.9.ACD【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，得出焦參數(shù)，從而可得拋物線的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng).【詳解】由已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口方向向上，正確，錯(cuò)誤；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為正確；準(zhǔn)線方程是，D正確.故選：.10.BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.，所以該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是，C選項(xiàng)正確.選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.BD【分析】由直接求橢圓離心率即可，將看成的底，高的最大值即為1，即可求出面積的最大值，寫(xiě)出以線段為直徑的圓方程，圓心到直線的距離即可判定直線和圓的位置關(guān)系，直接用斜率公式求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由已知得，則，即，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，由已知得，要使的面積最大，當(dāng)?shù)走吷系母咦畲蠹纯?，高的最大值即?，則的面積最大值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)，以線段為直徑的圓的方程為，則該圓的圓心到直線的距離為，即以線段為直徑的圓與直線相交，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，故D正確.故選：BD.12.AC【分析】對(duì)于：通過(guò)以及來(lái)判斷；對(duì)于：根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來(lái)判斷；對(duì)于：通過(guò)以及來(lái)判斷；對(duì)于D：通過(guò)計(jì)算來(lái)判斷.【詳解】對(duì)于：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，?shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對(duì)于B：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以最小項(xiàng)是首項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取最小值，C正確；對(duì)于D：由不等式，可得，又因?yàn)椋詽M(mǎn)足的的最大值為錯(cuò)誤.故選：AC.13.【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓心坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得半徑，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，，即圓心坐標(biāo)為；則圓的半徑，故所求圓的方程為：.故答案為：.14.5【分析】由題意可計(jì)算出拋物線方程，結(jié)合拋物線定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，如圖，過(guò)點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為5.故答案為：5.15.-2【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡(jiǎn)得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：-2.16.【分析】設(shè)，求得，得到在上單調(diào)遞減，結(jié)合，得不等式的解集，進(jìn)而得到不等式的解集.【詳解】根據(jù)題意，由，可得，設(shè)，可得，則在上單調(diào)遞減，又由，可得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，不等式的解集與的解集相同，所以不等式的解集為.故答案為：.17.（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角；（2）先求出平面的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫嫠?，，因?yàn)?，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋^(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，故，設(shè)異面直線與所成角為，所以，異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即，令，解得：，故，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則18.（1）1；（2）.【分析】（1）根據(jù)求參數(shù)，驗(yàn)證是否在處取得極大值即可；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，符合題意，故實(shí)數(shù)的值為1；（2）由（1）知，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列公式設(shè)其中的項(xiàng)，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，列式求通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，即得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，由成等差數(shù)列得，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，所?（2）因?yàn)?，所?20.（1）（2）存在【分析】（1）利用“退1作差”法求得的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，由此求得.【詳解】（1）依題意①，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，②，①-②得時(shí)，上式也符合.所以.（2）.所以.故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.21.（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先由求出的值，再由求出的值，（2）要證對(duì)恒成立，只需證對(duì)恒成立，所以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于零即可【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，解得，則，解得.（2）證明：因?yàn)椋砸C對(duì)恒成立，只需證對(duì)恒成立.設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞減，從而，則對(duì)恒成立，故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.22.（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析，；（ii）【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式化簡(jiǎn)得到，最后根據(jù)離心率公式即可；（2）（i）采用設(shè)點(diǎn)法