2024屆北京市西城外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆北京市西城外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數(shù)學(xué)王子高斯出生的1777年是干支紀(jì)年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年2．關(guān)于“斜二測”畫圖法，下列說法不正確的是（）A．平行直線的斜二測圖仍是平行直線B．斜二測圖中，互相平行的任意兩條線段的長度之比保持原比例不變C．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形D．在畫直觀圖時(shí)，由于坐標(biāo)軸的選取不同，所得的直觀圖可能不同3．讀下面的程序：上面的程序在執(zhí)行時(shí)如果輸入6，那么輸出的結(jié)果為()A．6 B．720 C．120 D．50404．已知集合，則=（）A． B． C． D．5．設(shè)且，則“”是“”的()A．必要不充分條件B．充要條件C．既不充分也不必要條件D．充分不必要條件6．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A． B． C． D．7．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用萬元與銷售額萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，其中，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，銷售額為65.5萬元，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，8．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．9．復(fù)數(shù)的實(shí)部為A． B． C． D．10．觀察下列各式：則（）A．28B．76C．123D．19911．有一個(gè)偶數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………則第20行第4列的數(shù)為（）A．546 B．540 C．592 D．59812．在極坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，則圓的極坐標(biāo)方程為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．集合中所有3個(gè)元素的子集的元素和為__________．14．函數(shù)，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有5個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系用“”連接為______．16．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校舉辦《國學(xué)》知識(shí)問答中，有一道題目有5個(gè)選項(xiàng)A，B，C，D，E，并告知考生正確選項(xiàng)個(gè)數(shù)不超過3個(gè)，滿分5分，若該題正確答案為，賦分標(biāo)準(zhǔn)為“選對1個(gè)得2分，選對2個(gè)得4分，選對3個(gè)得5分，每選錯(cuò)1個(gè)扣3分，最低得分為0分”.假定考生作答的答案中的選項(xiàng)個(gè)數(shù)不超過3個(gè).（1）若張小雷同學(xué)無法判斷所有選項(xiàng)，只能猜，他在猶豫答案是“任選1個(gè)選項(xiàng)作為答案”或者“任選2個(gè)選項(xiàng)作為答案”或者“任選3個(gè)選項(xiàng)作為答案”，以得分期望為決策依據(jù)，則他的最佳方案是哪一種？說明理由.（2）已知有10名同學(xué)的答案都是3個(gè)選項(xiàng)，且他們的答案互不相同，他們此題的平均得分為x分.現(xiàn)從這10名同學(xué)中任選3名，計(jì)算得到這3名考生此題得分的平均分為y分，試求的概率.18．（12分）已知圓柱的底面半徑為r，上底面和下底面的圓心分別為和O，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓O，與母線所成的角為.（1）試用r表示圓柱的表面積S；（2）若圓柱的體積為，求點(diǎn)D到平面的距離.19．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，三邊，，成等比數(shù)列，且面積為，在等差數(shù)列中，，公差為.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.21．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個(gè)村莊（村莊視為岸邊上兩點(diǎn)），在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點(diǎn)），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂?，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點(diǎn)，且垂直河岸，在的左側(cè)），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設(shè)．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．22．（10分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行推理，即可得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

根據(jù)斜二測畫法的特征，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【題目詳解】解：對于A，平行直線的斜二測圖仍是平行直線，A正確；對于B，斜二測圖中，互相平行的任意兩條線段的長度之比保持原比例不變，B正確；對于C，正三角形的直觀圖不一定為等腰三角形，如圖所示；∴C錯(cuò)誤；對于D，畫直觀圖時(shí)，由于坐標(biāo)軸的選取不同，所得的直觀圖可能不同，D正確．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了斜二測畫法的特征與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

執(zhí)行程序，逐次計(jì)算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解輸出的結(jié)果，得到答案.【題目詳解】由題意，執(zhí)行程序，可得：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；第4次循環(huán)：滿足判斷條件，；第5次循環(huán)：滿足判斷條件，；第6次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，終止循環(huán)，輸出，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算輸出，其中解答中正確理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算功能，逐次計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】分析：直接利用交集的定義求解.詳解：集合，，故選D.點(diǎn)睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個(gè)是有限集，一個(gè)是無限集，按有限集逐一驗(yàn)證為妥.5、C【解題分析】或;而時(shí),有可能為.所以兩者沒有包含關(guān)系,故選.6、C【解題分析】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點(diǎn)值，故只需保證，解得．故選C．【考點(diǎn)】三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性.7、C【解題分析】分析：根據(jù)回歸直線過樣本中心和條件中給出的預(yù)測值得到關(guān)于，的方程組，解方程組可得所求．詳解：由題意得，又回歸方程為，由題意得，解得．故選C．點(diǎn)睛：線性回歸方程過樣本中心是一個(gè)重要的結(jié)論，利用此結(jié)論可求回歸方程中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)．根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測時(shí)，得到的數(shù)值只是一個(gè)估計(jì)值，解題時(shí)要注意這一點(diǎn)．8、C【解題分析】

二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，使其通項(xiàng)公式為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，求得，從而得到關(guān)于的方程.【題目詳解】展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，，得，，當(dāng)時(shí)，，解得：.【題目點(diǎn)撥】求二項(xiàng)式定理展開式中各項(xiàng)系數(shù)和是用賦值法，令字母都為1；而展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和固定為.9、A【解題分析】分析:先化簡復(fù)數(shù)z,再求復(fù)數(shù)z的實(shí)部.詳解：原式=，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和實(shí)部虛部概念，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b，不是bi.10、C【解題分析】試題分析：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1，3，4，7，11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng)．繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十項(xiàng)為123，即考點(diǎn)：歸納推理11、A【解題分析】分析：觀察數(shù)字的分布情況，可知從右上角到左下角的一列數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個(gè)數(shù)再減去即可，進(jìn)而歸納每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律即可得出結(jié)論．詳解：順著圖中直線的方向，從上到下依次成公差為2的等差數(shù)列，要想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個(gè)數(shù)再減去即可.觀察可知第1行的第1個(gè)數(shù)為：；第2行第1個(gè)數(shù)為：；第3行第1個(gè)數(shù)為：.……第23行第1個(gè)數(shù)為：.所以第20行第4列的數(shù)為.故選A.點(diǎn)睛：此題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過觀察得出數(shù)字的排列規(guī)律，是中檔題．12、A【解題分析】

求出圓C的圓心坐標(biāo)為（2，0），由圓C經(jīng)過點(diǎn)得到圓C過極點(diǎn)，由此能求出圓C的極坐標(biāo)方程．【題目詳解】在中，令，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為（2，0）.因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，于是圓過極點(diǎn)，所以圓的極坐標(biāo)方程為.故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

集合A中所有元素被選取了次，可得集合中所有3個(gè)元素的子集的元素和為即可得結(jié)果.【題目詳解】集合中所有元素被選取了次，∴集合中所有3個(gè)元素的子集的元素和為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的子集、正整數(shù)平方和計(jì)算公式，屬于中檔題．14、【解題分析】

作以及圖像，根據(jù)圖像確定實(shí)數(shù)滿足的條件，解不等式得結(jié)果.【題目詳解】作以及圖像，根據(jù)圖像得【題目點(diǎn)撥】對于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．15、【解題分析】

分別判斷出，，，從而得到三者大小關(guān)系.【題目詳解】，，則的大小關(guān)系用“”連接為本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查指對數(shù)比較大小類的問題，解決此類問題的方法主要有兩種：1.構(gòu)造合適的函數(shù)模型，利用單調(diào)性判斷；2.利用臨界值進(jìn)行區(qū)分.16、【解題分析】

先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解.【題目詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了理解辨析和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）他的最佳方案是“任選1個(gè)選項(xiàng)作為答案”或者“任選2個(gè)選項(xiàng)作為答案”，理由見解析；（2）.【解題分析】

（1）分情況討論：當(dāng)任選1個(gè)選項(xiàng)的得分為X分，可得X可取0，2，利用組合運(yùn)算算出概率，并計(jì)算出期望；當(dāng)任選2個(gè)選項(xiàng)的得分為Y分，可得Y可取0，4，利用組合運(yùn)算算出概率，并計(jì)算出期望；當(dāng)任選3個(gè)選項(xiàng)的得分為Z分，則Z可取0，1，5，利用組合運(yùn)算算出概率，并計(jì)算出期望；比較數(shù)值大小即可.（2）由題意可得這10名考生中有3人得分為0分，6人得分為1分，1人得分為5分，可得，由，、可得3人得分總分小于3.3，即可求解.【題目詳解】（1）設(shè)任選1個(gè)選項(xiàng)的得分為X分，則X可取0，2，，，設(shè)任選2個(gè)選項(xiàng)的得分為Y分，則Y可取0，4，設(shè)任選3個(gè)選項(xiàng)的得分為Z分，則Z可取0，1，5，，，所以他的最佳方案是“任選1個(gè)選項(xiàng)作為答案”或者“任選2個(gè)選項(xiàng)作為答案”（2）由于這10名同學(xué)答案互不相同，且可能的答案總數(shù)為10，則這10名考生中有3人得分為0分，6人得分為1分，1人得分為5分，則有，則3人得分總分小于3.3，則【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式、組合數(shù)的計(jì)算以及數(shù)學(xué)期望，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.18、（1）（1）【解題分析】

（1）利用已知條件，通過求解三角形推出圓柱的高，然后求解圓柱的表面積S．（1）利用圓柱的體積，求出底面半徑，通過VC﹣OEF＝VO﹣CEF，求解點(diǎn)C到平面OEF的距離．【題目詳解】解：（1）∵O1A與母線所成的角為20°，AO＝r，所以O(shè)1Or，圓柱的表面積S＝1πr1+11（1）πr1．（1）∵圓柱的體積為9π，∴，∴r．2．，，∴，【題目點(diǎn)撥】本題考查空間點(diǎn)線面的距離的求法，幾何體的體積的求法，考查了直角三角形的解法，是基礎(chǔ)題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、和三種情況下討論，去掉絕對值求得結(jié)果；（Ⅱ）由解集不是空集可知：且；利用絕對值三角不等式求得，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不等式為當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，顯然不等式不成立；當(dāng)時(shí)，則，解得：綜上可得，不等式的解集為：或（Ⅱ）不等式的解集不是空集，則，且，即又，解得：實(shí)數(shù)的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值不等式的解法、絕對值三角不等式求最值、恒成立思想的應(yīng)用等知識(shí)，關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇饧皇强占D(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較，從而利用絕對值三角不等式求得最值，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先利用已知求出b,再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先求出，再利用裂項(xiàng)相消求．詳解：（1）由，，成等比數(shù)列得，因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，解得．（2）由（1）可得，．點(diǎn)睛：(1)