雙減時(shí)代“小數(shù)軸”為課堂增效 論文

雙減時(shí)代，“小數(shù)軸”為課堂摘要：課堂教學(xué)的改革要求教師以新的眼光審視“數(shù)學(xué)工具”的內(nèi)涵，數(shù)軸作為一項(xiàng)學(xué)習(xí)工具，用直觀而有效的方式帶給學(xué)生解決問(wèn)題的方法和思路。本文旨在厘清教材中數(shù)軸的素材，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，傳承數(shù)形結(jié)合思想，感悟數(shù)軸對(duì)于學(xué)生思維發(fā)展的意義。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)工具數(shù)軸數(shù)形結(jié)合引子——聚焦數(shù)軸，解讀概念數(shù)學(xué)工具是學(xué)生形成認(rèn)知、經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要媒介，數(shù)軸就是基本的數(shù)學(xué)工具之一。教材中真正的數(shù)軸概念出現(xiàn)在初中一年級(jí)：“用一條直線(xiàn)上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線(xiàn)叫做數(shù)軸”。原點(diǎn)、正方向及單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生或許并不清楚數(shù)軸的準(zhǔn)確含義，但數(shù)軸早已和學(xué)生的學(xué)習(xí)形影不離。借助數(shù)軸，學(xué)生能直觀地感受數(shù)的排列是有規(guī)律和方向的，感受數(shù)的順序性。數(shù)軸上的“數(shù)量級(jí)”又能幫助學(xué)生準(zhǔn)確地判斷數(shù)的大小，一目了然。將計(jì)數(shù)與數(shù)軸圖像聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生能深入理解運(yùn)算的性質(zhì)，為以計(jì)數(shù)為基礎(chǔ)的計(jì)算策略提供心理意象，滲透一一對(duì)應(yīng)的思想?？傊行褂脭?shù)軸，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，甚至是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)都有著不可估量的作用?，F(xiàn)狀——流于形式，不甚了了數(shù)軸雖小作用卻大，然而縱觀當(dāng)今的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，由于教師的某些教學(xué)缺失，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)軸的理解似懂非懂，教學(xué)流于形式。課堂上數(shù)軸“跑龍?zhí)住钡慕巧阎饾u淪為常態(tài)，長(zhǎng)此以往，將大大降低學(xué)生的思維水平?，F(xiàn)狀一：一知半解的尷尬【鏡頭再現(xiàn)】一年級(jí)在教學(xué)了《10~20各數(shù)的認(rèn)識(shí)》之后，學(xué)生就會(huì)遇到在數(shù)軸上填數(shù)的題目。這之前，教材雖然沒(méi)有單獨(dú)介紹過(guò)“數(shù)軸”，但出現(xiàn)過(guò)很多數(shù)軸“原型”的素材，老師就認(rèn)為不會(huì)有多大的問(wèn)題。可結(jié)果卻令人大跌眼鏡：有些學(xué)生把原點(diǎn)刻度也數(shù)進(jìn)去了，有些學(xué)生填的數(shù)毫無(wú)順序……種種問(wèn)題折射出學(xué)生對(duì)數(shù)軸的誤解和生疏?！舅伎肌繉?shí)際教學(xué)中，學(xué)生真的了解數(shù)軸嗎？知道數(shù)軸上的規(guī)律嗎？……這些問(wèn)題強(qiáng)烈地敲打著我的心靈。現(xiàn)狀二：淺嘗輒止的遺憾【鏡頭再現(xiàn)】縱觀現(xiàn)行各大版本的教材，從整數(shù)的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，到分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)軸都會(huì)粉墨登場(chǎng)。遺憾的是在數(shù)軸上認(rèn)識(shí)新數(shù)后，它也就退場(chǎng)了。為了認(rèn)數(shù)而用數(shù)軸，僅此而已。之后的教學(xué)中，數(shù)軸只作為練習(xí)題的形式，師生的眼光也只停留于一個(gè)題目的“完型填空”上?！舅伎肌繑?shù)軸的出現(xiàn)真的只是為了在數(shù)軸上確定數(shù)嗎？答案是否定的。數(shù)學(xué)各部分知識(shí)之間是緊密相關(guān)的，一條看似簡(jiǎn)單的數(shù)軸卻包含著豐富的內(nèi)涵，切不可點(diǎn)到為止。如何讓學(xué)生想得更深？我們應(yīng)該好好探究。現(xiàn)狀三：不知變通的困惑【鏡頭再現(xiàn)】曾經(jīng)問(wèn)一位學(xué)生對(duì)8的乘法口訣的理解。他卻支支吾吾、答不上我便啟發(fā)他用數(shù)軸來(lái)呈現(xiàn)，結(jié)果他瞪大雙眼一臉迷茫地看著我：“老師，為什么要用數(shù)軸來(lái)理解呢？”這一問(wèn)把我也愣住了。之后我引導(dǎo)他在計(jì)算數(shù)字跳躍的過(guò)程中，感受均勻“累加”的過(guò)程，并理解相鄰兩個(gè)積之間等差的關(guān)系，他才恍然大悟?！舅伎肌繑?shù)軸的應(yīng)用可以是多樣的，是可以調(diào)遣學(xué)生認(rèn)知、拓展學(xué)生思維的。實(shí)際教學(xué)中數(shù)軸的作用被挖掘了？它的價(jià)值凸顯了嗎？這些都值得我們深思?？梢?jiàn)，由于各種原因，在實(shí)際教學(xué)中數(shù)軸的使用存在著很多誤區(qū)。如何適時(shí)、適度適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮數(shù)軸在教學(xué)中的價(jià)值？筆者通過(guò)對(duì)教材的梳理，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)軸的使用進(jìn)行一次探究。架構(gòu)——教材梳理，整體把握新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)的重要思想方法。數(shù)軸雖然只是一條簡(jiǎn)單的“數(shù)直線(xiàn)”，但在學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)、感受數(shù)之間關(guān)系等重要時(shí)機(jī)，呈現(xiàn)了豐富的、直觀的、有效的幫助學(xué)生建立數(shù)感、拓展思維的學(xué)習(xí)材料。一年級(jí)，數(shù)軸的影子若隱若現(xiàn)。隨著年級(jí)的增高，數(shù)軸的曝光率也越來(lái)越高，課本對(duì)數(shù)軸的描述也越來(lái)越接近于它的實(shí)質(zhì)。數(shù)軸作為一項(xiàng)學(xué)習(xí)工具，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中早已占有一席之地。盡管現(xiàn)行各版本的小學(xué)教材對(duì)數(shù)軸的使用不盡相同，但有些素材的選擇卻是如出一轍，如數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的大小比較、負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)小數(shù)的互化等。這樣大量編排的意圖就是為了充分凸顯數(shù)軸的教學(xué)價(jià)值。以下以人教版為例，按照“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的幾個(gè)重要階段，對(duì)教材中數(shù)軸的使用進(jìn)行初步的整理：數(shù)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。教材中適時(shí)安排的數(shù)軸，順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)時(shí)認(rèn)識(shí)和使用數(shù)軸的經(jīng)驗(yàn)，可以幫助它們遷移到后面的學(xué)習(xí)中。隨著認(rèn)識(shí)的不斷深入，學(xué)生對(duì)數(shù)的知識(shí)不斷建構(gòu)，大數(shù)軸概念便逐漸滋生。聚焦——有的放矢，形成策略教材中的每條數(shù)軸都承載著提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的點(diǎn)滴作用。在教學(xué)中，教師要深入理解數(shù)軸的使用價(jià)值，將數(shù)軸這一工具有意識(shí)地向?qū)W生逐步滲透，幫助學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知，提升思維品質(zhì)。下面是筆者的一些心得體會(huì)，以饗讀者。一、對(duì)照點(diǎn)數(shù)，建立數(shù)感數(shù)感是指“關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟”。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在觀察中啟蒙數(shù)感，在比較中發(fā)展數(shù)感。1.依托自然數(shù)序，感知數(shù)的大小數(shù)軸上數(shù)的排列是有順序有方向的，這是數(shù)系結(jié)構(gòu)的一個(gè)基本特征，也是學(xué)生建立數(shù)感的邏輯起點(diǎn)。借助數(shù)軸上自然“綁定”的數(shù)序，學(xué)生能直觀地比較出數(shù)的大小。比如正數(shù)總是在0的右邊，負(fù)數(shù)總是在0的左邊，所以正數(shù)一定比負(fù)數(shù)大；真分0～1之間，假分?jǐn)?shù)總是大于等于1，所以假分?jǐn)?shù)一定比真分?jǐn)?shù)大；純小數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)總是在0～1之間；三位數(shù)一定比兩位數(shù)大等。因此，在教學(xué)中教師不妨設(shè)計(jì)一些在數(shù)軸上找數(shù)、填數(shù)、比大小、找規(guī)律的游戲，比如找到了數(shù)的位置，也就比較出了數(shù)的大小，學(xué)生在活動(dòng)中加強(qiáng)了選擇與判斷的能力自然而然地提升了數(shù)感。2.借助單位長(zhǎng)度，理解運(yùn)算性質(zhì)所有的實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，利用這一性質(zhì)可以幫助學(xué)生探究運(yùn)算的算理，理解運(yùn)算的性質(zhì)，體會(huì)各種運(yùn)算之間的聯(lián)系與區(qū)別。比如，除法可以看作是連續(xù)減去相同數(shù)的減法。減法就是在數(shù)軸上先找到“被減數(shù)”，然后向左“減”相應(yīng)的數(shù)，也就是向左減若干個(gè)單位長(zhǎng)度的數(shù)，而除法就是在數(shù)軸上找到“被除數(shù)”，然后依次向左減若干個(gè)相同單位長(zhǎng)度的數(shù)。如果減到0，就說(shuō)明能整除，減的次數(shù)就是“商”，反之則是有“余數(shù)”，剩余幾余數(shù)就是幾。點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)，用圖形化的方式表征運(yùn)算的性質(zhì)，不僅溝通了減法與除法的關(guān)系，更呈現(xiàn)了商及余數(shù)的來(lái)源，數(shù)軸的使用讓抽象的計(jì)算變得有“形”可依，為學(xué)生多樣化的計(jì)算策略提供了直觀參照。二、巧變形式，明晰概念數(shù)學(xué)中的概念描述一般比較抽象，小學(xué)生受認(rèn)知水平的局限，往往對(duì)于一些概念難以理解。在教學(xué)中教師可以利用數(shù)學(xué)工具直觀的特性把抽象的概念變得具體而形象，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。1．就近原則，估算的意義昭然若揭估算教學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的重點(diǎn)?！皩W(xué)生不僅要掌握估算的策略和方式，更要理解估算的意義，經(jīng)歷估算的過(guò)程，提升估算的意識(shí)?！睌?shù)軸上的單位長(zhǎng)度是確定的，借助這一特征，讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出近似于某數(shù)的位置，是“四舍”還是“五入”就能直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，“近似數(shù)”的概念昭然若揭。如北師大版四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“近似數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生觀察18000在數(shù)軸上更接近2萬(wàn)，所以得到18000≈2萬(wàn)；在數(shù)軸上找到233482的大致位置，就能發(fā)現(xiàn)它更接近20萬(wàn)，實(shí)際上是四舍五入到十萬(wàn)位得到的。借軸操作，學(xué)生從感知到表象，再進(jìn)行抽象概括，既理解了“近似數(shù)”的概念，又習(xí)得了估算的策略和方法，學(xué)生的估算意識(shí)在反復(fù)的調(diào)節(jié)中獲得提升。2.左右對(duì)稱(chēng)，負(fù)數(shù)的概念水到渠成負(fù)數(shù)是學(xué)生“數(shù)”概念認(rèn)識(shí)的一次飛躍，自此學(xué)生的認(rèn)數(shù)范圍由算術(shù)的數(shù)拓展到有理數(shù)。雖然學(xué)生在日常生活中已經(jīng)或多或少地接觸過(guò)負(fù)數(shù)，比如零下的溫度，電梯顯示的地下二層等，但這只是借助生活經(jīng)驗(yàn)的感性認(rèn)識(shí)，缺乏數(shù)學(xué)意義的理解。教學(xué)中，教師若能借助數(shù)軸引出負(fù)數(shù)的概念，那么學(xué)生的認(rèn)識(shí)便會(huì)順理成章。教學(xué)片斷：師：你能在溫度計(jì)上找出零上5度和零下5度嗎？生：0往上5格是零上5度，0往下5格是零下5度。師：“0”的作用是什么？生：“0”是分界點(diǎn)。師：如果把溫度計(jì)倒過(guò)來(lái)變成一條數(shù)軸，你還能找到零上5度和零下5度嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？生：在數(shù)軸上，0的左邊5格是零下5度，右邊5格是零上5度，它們距離0都是5格。生：它們剛好相反。師：它們是具有一組相反意義的量，一個(gè)用正數(shù)來(lái)表示，在數(shù)字前面加“＋”（正號(hào)），另一個(gè)就用負(fù)數(shù)來(lái)表示，在數(shù)字前面加“－”（負(fù)號(hào)）。借軸數(shù)軸表示零上和零下的溫度，讓學(xué)生直觀感知具有相反意義的量，從而引出正數(shù)、0和負(fù)數(shù)的概念。數(shù)軸不僅為學(xué)生理解概念提供了感性”的過(guò)程，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三、構(gòu)建脈絡(luò)，梳理體系數(shù)學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著重要的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用整體和聯(lián)系的觀點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在規(guī)律，做到既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林。1．在層層遞進(jìn)中梳理知識(shí)低年級(jí)的學(xué)生由于其年齡的特征，對(duì)于新知的學(xué)習(xí)往往是零碎、片面的，利用數(shù)軸可以把零碎的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，使之系統(tǒng)化。比如《20以?xún)?nèi)數(shù)的復(fù)習(xí)》就可以分步進(jìn)行、依次推進(jìn)。一條看似簡(jiǎn)單卻內(nèi)涵豐富的“數(shù)軸”把20以?xún)?nèi)的數(shù)的知識(shí)都串聯(lián)起來(lái)，打破了“分裂”的復(fù)習(xí)模型，層層遞進(jìn)，面面俱到。．在串線(xiàn)成網(wǎng)中形成體系小學(xué)階段數(shù)的概念繁多而雜亂，好似一顆顆斷了線(xiàn)的“珍珠”。那么，如何在數(shù)的總復(fù)習(xí)中把這些“珍珠”串成線(xiàn)、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個(gè)整體呢？筆者認(rèn)為可以以數(shù)軸為主線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地梳理小學(xué)階段學(xué)過(guò)的數(shù)把數(shù)軸作為切入點(diǎn)展開(kāi)數(shù)的總復(fù)習(xí)，把小學(xué)階段關(guān)于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識(shí)都“搬遷”至數(shù)軸上，不僅使原本分散的知識(shí)點(diǎn)得以梳理，也能在轉(zhuǎn)化中感悟有些數(shù)雖然單位不一樣，但它們表示的是同一個(gè)大小的數(shù)，由此發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的關(guān)系。這樣由知識(shí)“軸”構(gòu)成的知識(shí)“網(wǎng)”，架起了學(xué)生認(rèn)知的結(jié)構(gòu)，形成了學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)，滲透了整體的數(shù)概念。四、遷移內(nèi)化，體悟思想有學(xué)者通俗地把“數(shù)學(xué)思想”說(shuō)成“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的東西”?？梢?jiàn)，掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。利用數(shù)軸學(xué)生能深入地體悟到數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)、無(wú)限等思想。1.縱橫相交，感受一一對(duì)應(yīng)兩條相互垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸就能組成一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，而用一對(duì)有順序的“數(shù)”唯一地確定平面上的一個(gè)“點(diǎn)”，就能幫助學(xué)生在二維空間里確定物體比如，五年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)《用數(shù)對(duì)確定位置》，讓學(xué)生根據(jù)陽(yáng)光小區(qū)的平面圖用數(shù)對(duì)表示超市、書(shū)店，并依據(jù)數(shù)對(duì)在圖中標(biāo)出學(xué)校、診所的位置：數(shù)對(duì)上表示的第幾列其實(shí)就是橫軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)，而第幾行表示的數(shù)其實(shí)就是縱軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)。這樣，學(xué)生永遠(yuǎn)能通過(guò)這兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)確定一個(gè)物體所處的位置。通過(guò)形來(lái)研究數(shù)的特點(diǎn)，通過(guò)數(shù)來(lái)呈現(xiàn)物體的位置，兩條縱橫相交的兩條數(shù)軸，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念，更讓學(xué)生感悟到了一一對(duì)應(yīng)的思想。2．聚焦放大，體驗(yàn)無(wú)窮無(wú)盡在以往的教學(xué)中，“無(wú)限”的思想非常抽象，學(xué)生不易理解，數(shù)軸卻能攻克這一難題。比如，在五年級(jí)學(xué)習(xí)了《分?jǐn)?shù)的通分》后，教師可以設(shè)計(jì)“找一找”的游戲，激發(fā)學(xué)生在數(shù)軸上找到符合要求的數(shù)。師：找出一個(gè)比2/3小但比1/4大的數(shù)。生（思考片刻后）：2/4。師：你們能在數(shù)軸上表示出來(lái)嗎？師：除了2/4還有嗎？學(xué)生陷入了沉思，數(shù)軸上2/4兩邊還有空隙，就“一定還有”，大家紛紛表示要把空隙的部分再“放大”，于是紛紛動(dòng)起筆來(lái)：層層逼近的問(wèn)題讓學(xué)生對(duì)數(shù)軸的使用產(chǎn)生了強(qiáng)烈的渴望。隨著數(shù)軸的層層放大，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的分?jǐn)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。這個(gè)找分?jǐn)?shù)的過(guò)程極大地豐富了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，深刻地感受了“無(wú)”的思想，在頭腦中初步建立起無(wú)窮這一宏觀的數(shù)系展望——華麗轉(zhuǎn)身，精彩綻放雙減時(shí)代，我們教師需要不斷更新思想、轉(zhuǎn)變行為，需要積極探索和打造屬于自己的高效課堂。工欲善其事，必先利其器，有了”這一學(xué)習(xí)工具，學(xué)生就有了“”數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，才能在“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)。然