7.4三角函數(shù)的應(yīng)用 （原卷版）

7.4三角函數(shù)的應(yīng)用【考點梳理】考點一：三角函數(shù)的應(yīng)用1．三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮重要作用．2．用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗．考點二：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數(shù)的物理意義【題型歸納】題型一：三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用1．（2022下·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（

）A．2 B．2 C． D．2．（2022下·山東·高一統(tǒng)考期中）將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計線的長度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（

）3．（2021上·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度單位：由關(guān)系式確定以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，下列說法錯誤的是（

）A．小球在開始振動即時的位置在B．小球的最高點和最低點與平衡位置的距離均為C．小球往復(fù)運動一次所需時間為D．每秒鐘小球能往復(fù)振動次題型二：三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用4．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）時鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國云南部分地區(qū)有引進(jìn)栽培．時鐘花的花開花謝非常有規(guī)律，其開花時間與氣溫密切相關(guān)，開花時所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開始閉合，在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．某景區(qū)種有時鐘花，該景區(qū)6時～16時的氣溫（℃）隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數(shù)，則在6時～16時中，賞花的最佳時段大致為（

）5．（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當(dāng)圓上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．根據(jù)如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點到水面的距離（單位：，在水面下，為負(fù)數(shù)）表示為時間（單位：）的函數(shù)，當(dāng)時，點到水面的距離為（

）A． B． C． D．6．（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊，設(shè)不計硬管粗細(xì)可通過的最大極限長度為l米．為了方便搬運，規(guī)定允許通過此走廊的硬管的最大實際長度為米，則m的值是（

）A． B． C． D．題型三：幾何下的三角函數(shù)模型7．（2023上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若下圖中所示的角為α，且小正方形與大正方形面積之比為1∶5，則tanα的值為（

）A． B． C． D．8．（2023上·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）記某時鐘的中心點為，分針針尖對應(yīng)的端點為．已知分針長，且分針從12點位置開始繞中心點順時針勻速轉(zhuǎn)動．若以中心點為原點，3點和12點方向分別為軸和軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則點到軸的距離（單位：）與時間t（單位：min）的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．9．（2022上·江蘇常州·高一?？计谀┩踔疁o《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓.詩句不僅刻畫了祖國的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠(yuǎn)"的哲理，因此成為千古名句，我們從數(shù)學(xué)角度來思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑R=6371km，如圖，設(shè)O為地球球心，人的初始位置為點M，點N是人登高后的位置(人的高度忽略不計)，按每層樓高3m計算，“欲窮千里目”即弧的長度為500km，則需要登上樓的層數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．5800 B．6000 C．6600 D．7000題型四：三角函數(shù)的應(yīng)用10．（2023·全國·高一課堂例題）一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，且當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間.(1)將點P距離水面的高度z（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)；(2)點P第一次到達(dá)最高點大約要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，，第二問精確到）11．（2023上·高一課時練習(xí)）潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象，一般來說，早潮叫潮，晚潮叫汐．某觀測站通過長時間的觀測，發(fā)現(xiàn)潮汐的漲落規(guī)律和函數(shù)圖象基本一致且周期為，其中x為時間，為水深．當(dāng)時，海水上漲至最高，最高為5米．(1)求函數(shù)的解析式，并作出函數(shù)在上的簡圖；(2)求海水持續(xù)上漲的時間區(qū)間．12．（2023上·高一課時練習(xí)）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：（時）03691215182124（米）經(jīng)長期觀察，的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動？【雙基達(dá)標(biāo)】一：單選題13．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是清代的時鐘，以中國傳統(tǒng)的一日十二個時辰為表盤顯示，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通機械鐘表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似．內(nèi)部表盤為圓形，外部環(huán)形裝飾部分寬度為，此表掛在墻上，最高點距離地面的高度為，最低點距離地面的高度為，以子時為正向上方向，一官員去上早朝時，看到家中時鐘的指針指向寅時（指針尖的軌跡為表盤邊沿），若4個半時辰后回到家中，此時指針尖到地面的高度約為（

）A． B． C． D．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，某港口某天從到的水深（單位：m）與時間（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫，據(jù)此可估計當(dāng)天的水深為（

）A． B．4mC． D．15．（2023上·高一課時練習(xí)）車流量被定義為單位時間內(nèi)通過某路段的車輛數(shù)，若上班高峰期某十字路口的車流量F（單位：輛/分鐘）與時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為，則車流量增加的時間段是（）A． B．C． D．t與位移s之間的測量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112sA．， B．C． D．，17．（2023下·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）據(jù)長期觀察，某學(xué)校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數(shù)關(guān)系式：（為常數(shù)，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．441量 B．159量 C．473量 D．127量18．（2023下·廣東韶關(guān)·高一統(tǒng)考期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為4，筒車的軸心到水面的距離為2，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動3圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）.若以筒車的軸心為坐標(biāo)原點，過點的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【高分突破】一、單選題19．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個圓錐，設(shè)AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點，米，米，則彩虹（）的長度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．米 B．米 C．米 D．米20．（2023下·北京豐臺·高一統(tǒng)考期中）半徑為2m的水輪如圖所示，水輪的圓心距離水面每分鐘轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點到水面的距離(單位：m）與時間(單位：s）滿足關(guān)系式.從點離開水面開始計時，則點到達(dá)最高點所需最短時間為（

）A．s B．s C．s D．10s21．（2022下·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90~139mmhg和60~89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為120/80mmhg為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結(jié)論：①此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)為140/90mmhg

②此人的血壓在健康范圍內(nèi)③此人的血壓已超過標(biāo)準(zhǔn)值

④此人的心跳為80次/分其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．422．（2023下·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．23．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谥校┤鐖D，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動．若線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（

）cm．（精確到0.1cm）A．12.7 B．25.3 24．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某超市2022年從1月到12月冰激凌的銷售數(shù)量與月份近似滿足函數(shù)，該超市只有8月份冰激凌的銷售數(shù)量達(dá)到最大值，最大值為8500，只有2月份冰激凌的銷售數(shù)量達(dá)到最小值，最小值為500，則該超市冰激凌的銷售數(shù)量不少于6500的月份共有（

）A．4個月 B．5個月 C．6個月 D．7個月二、多選題25．（2023下·福建漳州·高一?？计谥校┤鐖D（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負(fù)數(shù)）、與時間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達(dá)到最高點26．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面做勻速轉(zhuǎn)動，每秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點從水面浮現(xiàn)時（圖中點位置）開始計時，則下列判斷正確的有（

）A．點第一次到達(dá)最高點需要秒B．點第一次到達(dá)最低點需要秒C．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有秒的時間，點在水面的下方D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動秒時，點距離水面的高度是米27．（2023上·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足（，，），則下列敘述正確的是（

）A．B．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時，的最大值為D．當(dāng)時，28．（2023下·河北衡水·高一河北武邑中學(xué)?？计谀┲袊钤绲奶煳挠^測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了漢代，使用圭表有了規(guī)范．規(guī)定“表”為八尺長（1尺＝10寸）．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化．也能用于丈量土地，同一日內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”，記“表”的頂部為A．太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點為B，已知甲、乙兩地之間的距離約為20千里．若同一日內(nèi)，甲地中直線AB與地面所成的角為，且，則甲地日影長是乙地日影長的（

）A． B． C． D．29．（2023下·陜西安康·高一統(tǒng)考期末）鳳凰古城，位于湖南省湘西土家族苗族自治州的西南部，始建于清康熙四十三年（1704年），是中國歷史文化名城，國家AAAA級景區(qū)，與山西平遙古城媲美，享有“北平遙?南鳳凰”的美譽.在其母親河沱江上有一個水車，半徑為4米（示意圖如圖所示），水車圓心距離水面2米，已知水車每30秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水車上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（

）A．點P第一次到達(dá)最高點需要10秒B．當(dāng)水車轉(zhuǎn)動35秒時，點P距離水面2米C．當(dāng)水車轉(zhuǎn)動25秒時，點P在水面下方，距離水面2米D．點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為三、填空題30．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若以函數(shù)圖像上相鄰的四個最值所在的點為頂點恰好構(gòu)成一個菱形，則．31．（2023上·高一）如圖1，筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖2，將筒車簡化為圓，以為原點，以與水平平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，動點每秒鐘逆時針轉(zhuǎn)過，則盛水筒的高度與時間的關(guān)系是.32．（2023下·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）水車在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個半徑為米的水車逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈，如果當(dāng)水輪上一點從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計時，經(jīng)過秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點.給出下列結(jié)論：①在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點的高度在水面米以上的持續(xù)時間為秒；②當(dāng)時，點距水面的最大距離為米；③當(dāng)秒時，；其中所有正確結(jié)論的序號是.33．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一根絕對剛性且長度不變?質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.34．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，一個筒車按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)5圈，若從盛水筒P剛出水面開始計時，則盛水筒到水面的距離y（單位：m）（水面下則y為負(fù)數(shù)）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系式為，盛水筒至少經(jīng)過s能到達(dá)距離水面的位置．四、解答題35．（2023·全國·高一課堂例題）某港口相鄰兩次高潮發(fā)生時間間隔12h20min，低潮時入口處水的深度為2.8m，高潮時為8.4m，一次高潮發(fā)生在10月3日2:00.(1)若從10月3日0:00開始計算時間，選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深d（單位：m）和時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求10月3日4:00水的深度；(3)求10月3日吃水深度為5m的輪船能進(jìn)入港口的時間.36，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時.求：(1)物體對平衡位置的位移x（單位：）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系；(2)該物體在時的位置.37．（2023·全國·高一課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0:009:0018:003:0012:0021:06:0015:0024:00(1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近似數(shù)值；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進(jìn)入港口？(3)若船的吃水深度為4m