貴州省貴陽市普通中學2022-2023學年高一上學期期末監(jiān)測數(shù)學試題（含解析）

貴陽市普通中學2022—2023學年度第一學期期末監(jiān)測考試試卷注意事項：1．本試卷共6頁，滿分100分，考試時間120分鐘．2．答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分．3．考試過程中不得使用計算器．一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．每小題有四個選項，其中只有一個選項正確，請將你認為正確的選項填寫在答題卷的相應(yīng)位置上．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集和補集運算法則計算即可.【詳解】因為，所以或，又，所以.故選：B.2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點代入求出的解析式，從而可求得.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，故，所以.故選：C.3.下列函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需要判斷兩者的定義域與對應(yīng)法則是否相同即可.【詳解】對于，因為的定義域為，的定義域為，所以與不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，顯然與的對應(yīng)法則不同，所以與不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為的定義域為，的定義域為，所以與不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為的定義域為，的定義域為，所以與的定義域與對應(yīng)法則都相同，故它們是同一個函數(shù)，故D正確.故選：D.4.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點為，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，再利用三角函數(shù)的誘導公式即可得解.【詳解】因為角的終邊與單位圓的交點為，所以，所以，所以.故選：A.5.若，則（）A.有最大值 B.有最小值C.有最大值 D.有最小值【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】解：∵，又，，當且僅當即時等號成立，，當且僅當時等號成立，故選：A．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】因為，，，所以.故選：C.7.已知函數(shù)，則“”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先由是奇函數(shù)求出的取值集合，再根據(jù)邏輯條件判斷即可.【詳解】是奇函數(shù)等價于，即，故，所以.則“”是“是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.8.某公司在30天內(nèi)商品的銷售價格（元）與時間（天）的關(guān)系滿足下方圖象所示的函數(shù)，商品的銷售量（萬件）與時間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（）①第15天日銷售額最大②第20天日銷售額最大③最大日銷售額為120萬元④最大日銷售額為125萬元A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求得銷售價格P（元）關(guān)于時間t（天）的函數(shù)解析式，再求銷售額關(guān)于t的函數(shù)解析式，從而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值，由此得解.【詳解】由圖象可得當時，可設(shè)，根據(jù)圖象知過點，所以，解得，所以，當，可設(shè)，根據(jù)圖象知過點，所以，解得，所以，綜上可得，，又，設(shè)第天的銷售額為，則，化簡可得，當時，，所以，當且僅當時，等號成立；當時，，所以，當且僅當時，等號成立；’綜上可得，第15日的銷售額最大，最大值為125萬元，故①④正確.故選：B.二、多項選擇題（本題共2小題，每小題4分，共8分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得4分，部分選對得2分，有選錯得0分．）9.下列命題中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用基本不等式即可判斷；對于B，舉反例排除即可；對于C，取特殊值即可判斷；對于D，利用零點存在定理判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，故A正確；對于B，當時，，故，不成立，故B錯誤；對于C，取，則，，此時，所以，，故C正確；對于D，令，則，，所以，則在上存在零點，顯然，，所以，，故D正確.故選：ACD.10.關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（）A.若，則一定是的整數(shù)倍B.的圖象關(guān)于點中心對稱C.的圖象左移（）個單位后所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為D.的圖象每一點橫坐標伸長為原來的兩倍所得圖象解析式為【答案】BC【解析】【分析】對于A，取特殊值排除即可；對于B，利用代入檢驗法進行判斷即可；對于C，先由三角函數(shù)平移得到新的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的對稱性得到，從而得以判斷；對于D，利用三角函數(shù)伸縮變換得到新的解析式即可判斷.【詳解】對于A，因為，所以，故，此時，并不是的整數(shù)倍，故A錯誤；對于B，由選項A知，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；對于C，因為的圖象左移（）個單位后所得圖像對應(yīng)的解析式為，又的圖像關(guān)于軸對稱，所以，則，又，則，即，又，則，故，所以的最小值為，故C正確；對于D，因為的圖象每一點橫坐標伸長為原來的兩倍所得圖象對應(yīng)的解析式為，所以并不是，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的突破口是理解圖象關(guān)于軸對稱的三角函數(shù)是，從而利用誘導公式得到的圖像關(guān)于軸對稱時，有，從而得解.三、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．請將你認為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置上．）11.函數(shù)定義域是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)直接列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得且，所以函數(shù)定義域是.故答案為：12.計算______．【答案】1【解析】【分析】由對數(shù)的加減運算法則計算即可.【詳解】故答案為：1.13.已知為定義在上的奇函數(shù)，且時，，則______．【答案】##-1.5【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合已知函數(shù)解析式求解即可.【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以.故答案為：.14.試寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)______．①是奇函數(shù)；②的最小正周期為；③在上單調(diào)遞減．【答案】或其他合理答案【解析】【分析】先由周期性確定其為三角函數(shù)以及求其頻率，再由奇函數(shù)確定其為正弦函數(shù)，最后根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定完整函數(shù)解析式即可.【詳解】因為的最小正周期為，故可為三角函數(shù)，且.又因為是奇函數(shù)，故應(yīng)為正弦函數(shù).再觀察到在上單調(diào)遞減，故可確定為.故答案為：或其他合理答案.15.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，，，，則，當且僅當時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】先將給定函數(shù)式表示成已知不等式左邊的形式，再利用該不等式求解即可.【詳解】因為，，，，則，當且僅當時，等號成立，又，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為8.故答案為：8.四、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16.已知，且．（1）求值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角的象限計算，再由商數(shù)關(guān)系計算；（2）先由二倍角公式計算和，再代入和差角公式計算即可.小問1詳解】，，【小問2詳解】由（1）得，所以，，所以17.已知函數(shù)．（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）求實數(shù)的取值范圍，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）帶入數(shù)據(jù)得到，解不等式得到答案.（2）函數(shù)對稱軸為，根據(jù)單調(diào)性得到或，解得答案.【小問1詳解】，，，即，，解得，即【小問2詳解】，函數(shù)對稱軸為，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則或，解得或.即.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）；（2）和【解析】【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）先利用整體代換法求得在上單調(diào)遞增區(qū)間，從而求得在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】因，所以，又，則，即，所以.【小問2詳解】因為，令，則，又，與的交集為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.19.已知函數(shù)．（1）若方程有三個不等實根，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且對，總，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的圖像，再將問題轉(zhuǎn)化為的圖像與的圖像有三個交點，從而結(jié)合圖像得解；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為的值域是的值域的子集，再分別求得與的值域，從而利用數(shù)軸法即可得解.【小問1詳解】因為，所以當時，開口向上，對稱軸為，則，，當時，在上單調(diào)遞增，且的圖像由的圖像向下平移兩個單位而得，又因為方程有三個不等實根，所以的圖像與的圖像有三個交點，作出與的圖像如下：所以，即.【小問2詳解】因為對，總，使得，所以的值域是的值域的子集，因為在上單調(diào)遞增，所以當時，，因為開口向上，對稱軸為，所以當時，，又，，所以，即，所以，則，解得，所以實數(shù)取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，函數(shù)，，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．五、閱讀與探究（本大題1個小題，共8分．解答應(yīng)寫出文字說明，條理清晰．）20.閱讀材料：碳14是一種著名的放射性物質(zhì)，像鈾235、鍶90、碘235、銫235、鐳235等也都是放射性物質(zhì)．放射性物質(zhì)是指那些能自然地向外輻射能量，發(fā)出射線的物質(zhì)．在一個給定的單位時間內(nèi)，放射性物質(zhì)的質(zhì)量會按某個衰減率衰減．一般會用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱為半衰期．當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為碳14的“半衰期”．設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成一個單位，那么死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為；……死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為．根據(jù)已知條件，，則．由此可以得到如果是碳14的初始質(zhì)量，那么經(jīng)過年后，碳14所剩的質(zhì)量為，則．在實際問題中，形如（，，，）是刻畫指數(shù)衰減或指數(shù)增長變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型．這種模型刻畫現(xiàn)實事物變化規(guī)律的關(guān)鍵詞是“衰減率（增長率）為常數(shù)”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法是作除法運算．如果以連續(xù)的時間變化為序，從一般意義來考查表達式，可以發(fā)現(xiàn)，對于任意給定的時間間隔，，由此可知這一類運動變化現(xiàn)象有如下規(guī)律：對于相同的時間改變量，其函數(shù)值按確定的比例在增長（）或衰減（）．結(jié)合閱讀材料回答下列問題：（1）一般地，如果某放射性物質(zhì)的初始質(zhì)量為，半衰期為，那么經(jīng)過時間后，該物質(zhì)所剩的質(zhì)量為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）考古學家在對考古活動時發(fā)現(xiàn)的某種生物標本進行研究，經(jīng)探測發(fā)現(xiàn)該生物體的體內(nèi)碳14含量是原來的62.5%，試推測該生物的死亡時間距今約多少年？（參考數(shù)據(jù)：）（3）已知函