完整的數(shù)學建模(鉛球投擲)

2023年四川理工學院第九屆大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了四川理工學院大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)那么.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括、電子郵件、網上咨詢等)與隊外的任何人(包括指導教師)研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)那么的,如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網上查到的資料)，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)那么，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是(從A/B/C/D中選擇一項填寫)：C 我們的參賽報名號為(如果設置報名號的話)：所屬學校(請?zhí)顚懲暾娜?：四川理工學院黃嶺校區(qū)參賽隊員(打印并簽名)：1.2.3.日期：2023年05月21日2023年四川理工學院第九屆大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁評閱編號(由評委團評閱前進行編號)：評閱記錄表評閱人評分備注鉛球投擲問題摘要本文通過對投擲鉛球的水平距離的討論，研究了根據(jù)實際怎樣控制水平距離的因素，才能使得鉛球飛行更遠．運用了力學知識，拋物線規(guī)律及數(shù)學軟件的輔助，建立了各種最正確投擲模型。即運發(fā)動應該根據(jù)自身的的具體身高與其習慣的出手姿勢計算并得出最正確的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，對應的出手角度在37.2707°左右時能使得投擲距離最大，而且可以通過各種方式.增大手與鉛球間的摩擦力，同時采用旋轉投擲法，從腰間發(fā)力，在投擲點采用前后腳交替等方法可到達增大初速度從而增加投擲距離的作用．關鍵詞：鉛球投擲投擲距離出手角度出手速度最正確一、問題的提出鉛球的投擲運動是運發(fā)動單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45o的有效扇形區(qū)域內。以鉛球的落地點與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠度，并以鉛球投擲遠度的大小評定運發(fā)動的成績。如圖1：圖1鉛球投擲場地根據(jù)優(yōu)秀運發(fā)動的投擲數(shù)據(jù)看出他們的投擲角度一般為35°—41°,出手速度一般為13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般為1.9m—2.1m……………[1]。需解答一下問題：1.建立數(shù)學模型，將預測的投擲距離表示為出手速度、出手角度，找出最正確出手角度。2.由于出手速度與出手角度相互影響,并同時影響出手距離,應該怎樣對出手速度與出手角度折中,才能得到最大的出手距離。3.分析影響鉛球投擲距離的因素，根據(jù)結果分析教練員對運發(fā)動訓練的目標和方向。二、根本假設1.鉛球是個質點。2.忽略空氣阻力。h：出手高度v：出手速度：出手速度與水平面的夾角s：投擲距離g：重力加速度為9.8:鉛球躍過的最高點與投擲點的水平距離t1:鉛球到達最高點的時間t2：鉛球從最高點到落地的時間三、建立模型3.1問題一模型的建立3.1.1建立模型由以下圖所示可得：圖2投擲鉛球拋物線圖中的h1就代表h.從而可以得出:當投擲距離取得最大值時可以得以下關系式:…………［１］由上是化簡可以得3.1.2問題一的分析,在定義域內單增,那么易知:當出手高度一定時:最正確出手角度隨出手速度增大而增大.當出手速度一定時:最正確出手角度隨出手高度增大而減小.結論:應該根據(jù)出手速度與人的具體身高與其習慣的出手姿勢計算并得出最正確的出手角度,并且最正確出手角度可由方程:得到.3.2問題二模型的建立3.2.1建立模型由于速度與角度相互有關聯(lián)，并且要找到一種折中方法使拋球的距離最大，那么想到找到速度與角度的函數(shù)，函數(shù)是由數(shù)學軟件根據(jù)給出的數(shù)據(jù)進行擬合而來所以得到兩個方程，Ｆ(v,u)(速度v與角度u兩個變量所組成的方程),X(v,u)(拋球距離x關于變量v與變量u的函數(shù)),從而由兩個函數(shù)關系并且根據(jù)角度與速度的實際變化范圍求得拋球距離x的最大值．由題中提供的數(shù)據(jù)即:表1運發(fā)動投擲鉛球數(shù)據(jù)姓名出手速度出手高度出手角度實測成績s(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內克13.772.0640.0021.41李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95以出手速度作為變量擬合關于角度的函數(shù),首先作出速度關于角度的散點圖,然后擬合并在同一圖中顯示擬合的函數(shù)與散點的相符效果,結果如下:圖3角度關于速度的散點圖.(這就是擬合到得角度關于速度的方程)Out[4]=Out[3]=圖3角度關于速度擬合方程的圖圖4擬合曲線與散點圖在同一坐標中的顯示狀況.由第一問的解答有:……………….①擬合方程:………②可得:s=3.2.2問題二的分析上式是出手距離與出手速度及出手高度的函數(shù)關系式，假設高度一定時那么只有速度v一個變量。因此可以取不同的速度v值而得到不同的出手距離，然后由出手速度與出手角度的關聯(lián)式，即②式，從而得出對應的出手角度，然后列出一個表格，由表格中得出的數(shù)據(jù)找出出手角度與出手速度的最正確折中方法。由題所給的所有數(shù)據(jù)得到出手高度的平均值為：h=1.99875，把此值作為定值?？梢缘贸鱿旅娴臄?shù)據(jù)表：出手速度13.113.213.313.413.513.613.713.8出手距離19.406919.608619.797420.035220.320820.629520.93621.222出手角度37.270739.457138.230937.861338.0478.38.49738.921839.0412出手速度13.91414.114.214.314.414.514.6出手距離21.46621.618421.559721.053419.719417.106313.038.32289出手角度38.580437.270734.848931.057325.64418.3628.969632.76989表2投擲遠度影響因素那么由上表可看出來出手距離先隨速度變大而變大，當速度增大到14再往上逐漸增大時，出手距離逐漸減小，出手角度隨出手速度的增大同樣是先增大后減小，速度從13.1~14.3時出手角度的變化是37.2707~25.644，運發(fā)動以這個出手角度范圍的角度出手都不太難，所以角度的考慮是次要因素，而主要因數(shù)是成績評定標準的出手距離，當v在14m/s時速度到達最大，所以此時運發(fā)動得到的成績最理想。結論：速度與角度的最正確折中方法是：使出手速度在14m/s左右，從而對應的出手角度在37.2707°左右。3.3問題三模型的建立及求解3.3.1建立模型經過上述分析，投擲鉛球的遠近是一個關于出手高度、出手速度、出手角度相關的復雜變量。其中出手速度的影響最為重要。由此，教練員應該著力提高運發(fā)動施力于鉛球上的力而提高成績。假設：滑步階段為水平運動，鉛球隨人體產生一個水平初速度；用力階段，運發(fā)動從開始用力推鉛球到鉛球出手有一段時間；作用時間內的推力大小不變離得方向與鉛球出手方向相同?！璠3]符號約定：X:水平位置Y:豎直位置：初速度：作用時間：推力大?。恒U球質量水平位置有：豎直方向有：所以在區(qū)間的積分可得：因為有所以得到3.3.2問題三的分析由可得增大作用與鉛球上的力和時間以及增大初速度均可提高鉛球的出手速度。從而提高投擲距離。因此教練員可從以下方面來訓練運發(fā)動。1.增大手與鉛球間的摩擦力以增大作用時間。2.采用旋轉投擲法，從腰間發(fā)力，旋轉將力施加到鉛球上以增大作用力。3.在投擲點采用前后腳交替以增大初速度。四、模型求解用mathematica7.0軟件進行的求解過程如下:4.1第一問求解Solve[h1+h==g*(t2)^2/2,t2]得顯然負值舍去筆算可得：然后根據(jù)參考文獻可得：4.2第二問求解建立二維數(shù)據(jù)表,畫散點圖,擬合方程及散點圖與擬合方程在同一圖中的顯示操作如下:x={13.75,13.52,13.77,13.16,13.51,13.58,13.95,14.08};y={37.60,38.69,40.00,40.27,38.69,37.75,39.00,35.13};data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,8}];=ListPlot[data,PlotStylePointSize[0.02]];f=Fit[data,{1,v,v^2,Log[v]},v];w=Plot[f,{v,13.00,15.00}];Show[w,shu]擬合圖與問題一的方程求解如下:得出s關于v的函數(shù)關系式,當h值一定,以v緩慢增大的過程對v及定值g,h的復值如下：s/.{h1.99875,va,g9.8}(其中a為v緩慢增大的任意取值，從而可以得出s關于v的多組數(shù)據(jù))．根據(jù)v的值求對應出手角度的計算如下：(a同上為v緩慢增大的任意取值)．五、模型評價本模型建立了投擲鉛球所需的最正確角度范圍，研究了速度，夾角以及投擲高度對投擲距離的影響，通過定量和定性分析，得出了投擲的最正確角度，最正確速度，以及應保持怎樣的方式投擲．給教練員在訓練運發(fā)動時提供了有效的參考。但是由于某些假設過于理想，如速度與角度的相互影響，滑步過程的假設，在實際運用中并不能很好的應用。因此在不同的環(huán)境，對于不同的人訓練時，運發(fā)動應選擇適當?shù)?/p>