專題1.4 一元二次方程應(yīng)用（7個考點七大題型）（解析版）

專題1.4一元二次方程應(yīng)用（7個考點七大題型）【題型1變化率問題】【題型2傳播問題】【題型3樹枝分叉問題】【題型4單循環(huán)和雙循環(huán)問題】【題型4銷售利潤與一次函數(shù)綜合問題】【題型5銷售利潤每每問題】【題型6幾何圖形問題】【題型7幾何中動點問題】【題型1變化率問題】1．（2023?香坊區(qū)二模）某廠家今年二月份的口罩產(chǎn)量是50萬個，四月份的口罩產(chǎn)量是72萬個．則該廠家二月份到四月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為（）A．12% B．20% C．22% D．44%【答案】B【解答】解：設(shè)該廠家二月份到四月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x，由題意得：50（1+x）2＝72，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），即該廠家二月份到四月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為20%，故選：B．2．（2023?哈爾濱一模）某種物品經(jīng)過兩次降價，其價格為降價前的81%，則平均每次降價的百分數(shù)為（）A．10% B．20% C．9% D．9.5%【答案】A【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分數(shù)為x，由題意得：（1﹣x）2＝81%，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去），∴平均每次降價的百分數(shù)為10%，故選：A．3．（2023?南崗區(qū)校級一模）某商品連續(xù)兩次漲價，由每件100元漲為每件144元，平均每次上漲的百分比為（）A．5% B．10% C．15% D．20%【答案】D【解答】解：設(shè)平均每次漲價的百分率為x，第一次漲價后的價格為100（1+x），連續(xù)兩次漲價后售價在第一次漲價后的價格的基礎(chǔ)上提高x，為100（1+x）?（1+x），則列出的方程是100（1+x）2＝144．解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意舍去），答：平均每次上漲的百分比為20%，故選：D．4．（2023?定遠縣校級模擬）某廠家2022年1～5月份的自行車產(chǎn)量統(tǒng)計圖如圖所示，3月份自行車產(chǎn)量不小心被墨汁覆蓋．若2月份到4月份該廠家自行車產(chǎn)量的月增長率都相同，則3月份自行車產(chǎn)量為（）A．218輛 B．240輛 C．256輛 D．272輛【答案】B【解答】解：設(shè)2月份到4月份該廠家自行車產(chǎn)量的月增長率為x，依題意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），∴3月份自行車產(chǎn)量為200×（1+20%）＝240（輛）．故選：B．5．（2023?瀘縣一模）為解決群眾看病貴的問題，有關(guān)部門決定降低藥價，對某種原價為100元的藥品進行連續(xù)兩次降價后為81元，則平均每次降價的百分率為（）A．5% B．10% C．19% D．81%【答案】B【解答】解：由題意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x＝0.1或x＝1.9（舍去）∴平均每次降價的百分率為10%．故選：B．6．（2023?沁陽市模擬）某熱門電影上映的第一天票房約為2億元，第二天、第三天持續(xù)增長，三天累計票房6.62億元，若第二天、第三天按相同的增長率增長，則平均每天票房的增長率為（）A．5% B．10% C．15% D．20%【答案】B【解答】解：設(shè)平均每天票房的增長率為x，則第二天票房約為2（1+x）億元，第三天票房約為2（1+x）2億元，根據(jù)題意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62，整理得：x2+3x﹣0.31＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣3.1（不符合題意，舍去），∴平均每天票房的增長率為10%．故選：B．7．（2023?黃山二模）受疫情反彈的影響，某景區(qū)今年3月份游客人數(shù)比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，隨著疫情逐步得到控制，預(yù)計5月份游客人數(shù)將比2月份翻一番（即是2月份的2倍），設(shè)5月份與4月份相比游客人數(shù)的增長率為x，則下列關(guān)系正確的是（）A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2 B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2 C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2 D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2【答案】D【解答】解：根據(jù)題意，得（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2，故選：D．8．（2022?西工區(qū)模擬）某校辦廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為200件，計劃通過改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長一個相同的百分數(shù)，使得三年的總產(chǎn)量達到1400件，若設(shè)這個百分數(shù)為x，則可列方程為（）A．200+200（1+x）2＝1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400 C．200（1+x）2＝1400 D．200（1+x）+200（1+x）2＝1400【答案】B【解答】解：已設(shè)這個百分數(shù)為x．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400．故選：B．9．（2023?長沙一模）長沙已成為國內(nèi)游客最喜歡的旅游目的地城市之一，調(diào)查顯示，長沙在2021年五一假期，共接待游客200萬人次，在2023年五一假期，共接待游客288萬人次．（1）求長沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增長率；（2）茶顏悅色已經(jīng)成為外地游客在長沙的打卡地，其中幽蘭拿鐵和聲聲烏龍是游客最愛的兩款產(chǎn)品，已知幽蘭拿鐵的單價比聲聲烏龍貴2元，某導(dǎo)游花費216元購買幽蘭拿鐵的杯數(shù)是96元購聲聲烏龍的兩倍，求幽蘭拿鐵的單價．【答案】（1）20%；（2）18元．【解答】解：（1）設(shè)長沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增長率為x，由題意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），∴x的值為20%，答：長沙2021至2023五一假期接待游客人次的平均增長率為20%；（2）設(shè)幽蘭拿鐵的單價為m元，則聲聲烏龍的單價為（m﹣2）元，由題意得：＝×2，解得：m＝18，經(jīng)檢驗，m＝18是原方程的解，且符合題意，答：幽蘭拿鐵的單價為18元．10．（2023?南海區(qū)一模）富強村2020年的人均收入為3.6萬元，2022年的人均收入為4.356萬元．（1）求富強村人均收入的年平均增長率；（2）如果該村人均收入的年平均長率不變，請估計今年富強村的人均收入為多少萬元．【答案】（1）富強村人均收入的年平均增長率為10%；（2）估計今年富強村的人均收入為4.7916萬元．【解答】解：（1）設(shè)富強村人均收入的年平均增長率為x，依題意，得：3.6（1+x）2＝4.356，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：富強村人均收入的年平均增長率為10%；（2）4.356×（1+10%）＝4.7916（萬元）．答：估計今年富強村的人均收入為4.7916萬元．11．（2023?澄城縣一模）隨著環(huán)保意識日益深入，我國新能源汽車的生產(chǎn)技術(shù)也不斷提升．市場上某款新能源汽車1月份的售價為25萬元/輛，3月份下降到20.25萬元/輛，求該款汽車售價的月平均下降率．【答案】10%．【解答】解：設(shè)該款汽車售價的月平均下降率是x，由題意得：25（1﹣x）2＝20.25，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合題意，舍去），∴該款汽車售價的月平均下降率是10%．【題型2傳播問題】11．（2023?虎林市校級二模）“新冠肺炎”防治取得戰(zhàn)略性成果．若有一個人患了“新冠肺炎”，經(jīng)過兩輪傳染后共有16個人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意，得1+x+（x+1）x＝16，x＝3或x＝﹣5（舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了3個人．故選：B．12．（2023?廬江縣一模）一人患了流感，兩輪傳染后共有121人感染了流感．按這樣的傳染速度，若2人患了流感，第一輪傳染后患流感的人共有（）人．A．20 B．22 C．60 D．61【答案】B【解答】解：設(shè)每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共（1+x）人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根據(jù)題意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．故選：B．13．（2022秋?自貢期末）某地有兩人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后又有70人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】A【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，則第一輪傳染中有2x人被傳染，第二輪傳染中有x（2+2x）人被傳染，根據(jù)題意得：2x+x（2+2x）＝70，整理得：x2+2x﹣35＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣7（不符合題意，舍去），∴每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為5人．故選：A．14．（2022秋?方城縣期末）新冠疫情牽動人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平均一個人可以傳染x個人，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人感染，若不加以控制，第三輪傳染后感染人數(shù)為（）A．338 B．256 C．2197 D．2028【答案】C【解答】解：設(shè)在每輪傳染中平均一個人可以傳染x個人，[x（x+1）+x+1]＝169，即（1+x）2＝169，解得x1＝12，x2＝﹣14（舍），∴每輪傳染中平均一個人可以傳染12個人，∴第三輪傳染后感染人數(shù)為169+169×12＝2197，故選：C．15．（2023春?諸暨市月考）有2個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有50人患了流感，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是人．【答案】4．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是x人，則第一輪傳染中有2x人被傳染，第二輪傳染中有x（2+2x）被傳染，根據(jù)題意得：2+2x+x（2+2x）＝50，整理得：（1+x）2＝25，解得：x1＝4，x2＝﹣6（不符合題意，舍去），∴每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是4人．16．（2023?臨潼區(qū)三模）春節(jié)過后，甲型流感病毒（以下簡稱：甲流）開始悄然傳播，某辦公室最初有三人同時患上甲流，經(jīng)過兩輪傳播后，辦公室現(xiàn)有27人確診甲流，請問在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給幾個人？【答案】在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給2個人．【解答】解：設(shè)在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給x個人，則第一輪傳染中有3x人被傳染，第二輪傳染中有（3+3x）x人被傳染，根據(jù)題意得：3+3x+（3+3x）x＝27，整理得：（1+x）2＝9，解得：x1＝2，x2＝﹣4（不符合題意，舍去）．答：在兩輪傳染過程中，平均一人會傳染給2個人．17．（2023?潮南區(qū)模擬）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【答案】每輪傳染中平均每人傳染了15人．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，依題意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，解得：x1＝﹣17（不符合題意舍去），x2＝15，答：每輪傳染中平均每人傳染了15人．18．（2022秋?大連期末）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感．（1）試求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少個人會患流感？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據(jù)題意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染8個人．（2）81+81×8＝729（人）．答：經(jīng)過三輪傳染后共有729人會患流感．【題型3樹枝分叉問題】19．（2023?虎林市校級一模）某種植物的主干長出若干為數(shù)目的支干，每個支干又長出相同數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是21，則每個支干長出小分支的個數(shù)是（）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】B【解答】解：設(shè)每個支干長出小分支的個數(shù)是x，由題意得：x2+x+1＝21，解得：x1＝4，x2＝﹣5（舍去）；∴每個支干長出小分支的個數(shù)是4．故選：B．20．（2023?黑龍江一模）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57個，則這種植物每個支干長出的小分支的個數(shù)是（）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【答案】B【解答】解：設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1＝57，即（x+8）（x﹣7）＝0，解得：x＝7或x＝﹣8（不合題意，舍去）；∴x＝7，即這種植物每個支干長出的小分支的個數(shù)是7個，故B正確．故選：B．21．（2022秋?青川縣期末）某數(shù)學(xué)活動小組在開展野外項目實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分枝，主干、枝干和小分枝的總數(shù)是31，則這種植物每個枝干長出的小分支個數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，主干是1，設(shè)長出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴這種植物每個枝干長出的小分枝個數(shù)5．故選：B．22．（2022秋?武昌區(qū)校級期中）某種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是73，每個枝干長出8個小分支．【答案】8．【解答】解：設(shè)每個枝干長出x個小分支，則主干上長出了x個枝干，根據(jù)題意得：x2+x+1＝73．解得x1＝﹣9（舍去），x2＝8．即每個枝干長出8小分支．故答案是：8．23．（2022秋?澄海區(qū)期末）某?！吧镅袑W(xué)”活動小組在一次野外研學(xué)實踐時，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是多少？【答案】9．【解答】解：設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，根據(jù)題意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去），答：這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是9．24．（2022秋?濱海新區(qū)校級期末）某種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干和小分支的總數(shù)是91，每個枝干長出多少小分支？若設(shè)每個枝干長出x個小分支．（Ⅰ）分析：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，填表：①主干的數(shù)目為1；②從主干中長出的枝干的數(shù)目為x；（用含x的式子表示）③又從上述枝干中長出的小分支的數(shù)目為x2；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成問題的求解．【答案】（I）①1；②x；③x2；（II）9個．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意得：①主干的數(shù)目為1；②從主干中長出的枝干的數(shù)目為x；③又從上述枝干中長出的小分支的數(shù)目為x2；故答案為：①1；②x；③x2；（Ⅱ）依題意，得：1+x+x2＝91，整理，得：x2+x﹣90＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．答：每個枝干長出9個小分支．【題型4單循環(huán)和雙循環(huán)問題】25．（2023?東莞市二模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：設(shè)共有x支隊人伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比寒，故選：D．26．（2023?佳木斯一模）黑龍江省中學(xué)生排球錦標(biāo)賽共進行了110場雙循環(huán)比賽，則參加比賽的隊伍共有（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】D【解答】解：設(shè)參加比賽的隊伍共有x支，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝110，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合題意，舍去），∴參加比賽的隊伍共有11支．故選：D．27．（2023?博羅縣一模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，則本次比賽共有參賽隊伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】C【解答】解：設(shè)共有x支隊伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比賽．故選：C．28．（2022秋?南華縣期末）某女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了雙循環(huán)比賽，雙循環(huán)比賽共進行了56場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】A【解答】解：設(shè)有x支隊伍．由題意得：x（x﹣1）＝56．解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）．故選：A．29．（2023?桂林一模）某中學(xué)計劃組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），根據(jù)報名情況，共安排了15場比賽，則報名參加比賽的球隊共有（）A．3支 B．4支 C．5支 D．6支【答案】D【解答】解：設(shè)報名參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，得，解得x1＝6，x2＝﹣5（舍去），故選：D．30．（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，參加聚會的人數(shù)為是（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人【答案】B【解答】解：設(shè)有x人參加聚會，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝2×10，解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）．答：參加聚會的人共有5人．故選：B．31．（2022秋?防城區(qū)期中）小李去參加聚會，每兩人之間都互相贈送禮物，最終參加聚會的所有人的禮物總數(shù)共20件，則參加聚會的人數(shù)為（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人【答案】B【解答】解：設(shè)共有x人參加聚會，則每人需送出（x﹣1）件禮物，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝20，整理得：x2﹣x﹣20＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合題意，舍去），∴共有5人參加聚會．故選：B．32．（2023春?安徽月考）網(wǎng)課期間小夏寫了封保護眼睛的倡議書，用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，設(shè)計了如下轉(zhuǎn)發(fā)規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，然后邀請x個好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請x個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共157人參與了此次活動，則x為12人．【答案】12．【解答】解：依題意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．故答案為：12．33．（2022秋?公安縣月考）在一次同學(xué)聚會上，每兩個人之間都互相贈送了一份禮物，若一共送出了380份禮物，則參加聚會的同學(xué)的人數(shù)是20．【答案】20．【解答】解：設(shè)有x人參加這次聚會，∵每兩人都互贈了一件禮物，∴每人要送出（x﹣1）件禮物，依題意得x（x﹣1）＝380，解得：x1＝20，x2＝﹣19（不符合題意，舍去），故答案為：20．34．（2022秋?白云區(qū)期末）一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？【答案】共有10支隊參加比賽．【解答】解：設(shè)有x隊參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊參加比賽．【題型4銷售利潤與一次函數(shù)綜合問題】35．（2023?中山市校級模擬）某超市以每千克40元的價格購進菠蘿蜜，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠．現(xiàn)決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）這種干果每千克應(yīng)降價12元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應(yīng)降價12元．36．（2022春?杭州月考）某公司推出一款產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．關(guān)于銷售單價、日銷售量的幾組對應(yīng)值如下表：銷售單價x/元8595105115日銷售量y/個17512575m（注：日銷售利潤＝日銷售量×（銷售單價﹣成本單價））（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及m的值．（2）該產(chǎn)品的成本單價是80元，當(dāng)日銷售利潤達到1875元時，為了讓利給顧客，減少庫存，求銷售產(chǎn)品單價定為多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，，得，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+600，當(dāng)x＝115時，y＝﹣5×115+600＝25，即m＝25，答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+600，m的值是25；（2）設(shè)該銷售產(chǎn)品單價定為x元，（x﹣80）（﹣5x+600）＝1875∴﹣5x2+1000x﹣49875＝0∴x2﹣200x+9975＝0∴（x﹣105）（x﹣95）＝0解得：x1＝105，x2＝95∵為了讓利給顧客，減少庫存∴銷售產(chǎn)品單價定為95元．37．（2022秋?云夢縣期中）某景區(qū)新開發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于52元，并且為整數(shù)；銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）若要使每天銷售所得利潤不低于1200元，請直接寫出銷售單價x的所有可能取值．【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）銷售單價應(yīng)定為50元；（3）50，51，52．【解答】解：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得：x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于52元，∴x＝50，答：銷售單價應(yīng)定為50元；（3）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）≥1200，解得：50≤x≤60，∵銷售單價不低于成本且不高于52元，∴30≤x≤52，∴50≤x≤52，∴x的所有可能取值為50，51，52．38．（2022秋?鐵西區(qū)期中）某商場銷售一種市場需求較大的健身器材，已知每件產(chǎn)品的進價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總費用（不含進貨費用）總計120萬元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元/件）之間存在著一次函數(shù)關(guān)系y＝kx+b，且x＝60時，y＝5；x＝80，y＝4．（1）求出y與x的解析式；（2）若商場希望該種產(chǎn)品一年的銷售利潤為55萬元，請你為商場定一個銷售單價．【答案】（1）；（2）商場的銷售單價是90元或110元．【解答】解：（1）將x＝60時，y＝5；x＝80，y＝4；代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意得：，整理得：x2﹣200x+9900＝0，解得：x1＝90，x2＝110，答：商場的銷售單價是90元或110元．39．（2023?南海區(qū)校級模擬）在水果銷售旺季，某水果店購進一優(yōu)質(zhì)水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y（千克）與該天的售價x（元/千克）滿足如表所示的一次函數(shù)關(guān)系．售價x（元/千克）…20.52426.526…銷售量y（千克）…39322728…（1）某天這種水果的售價為25元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量．（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價為多少元？【答案】（1）當(dāng)天該水果的銷售量為30千克；（2）該天水果的售價為25元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，將（24，32）、（26，28）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y＝﹣2x+80，當(dāng)x＝25時，y＝﹣2×25+80＝30，答：當(dāng)天該水果的銷售量為30千克；（2）根據(jù)題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：該天水果的售價為25元．40．（2023?瀘縣校級一模）某商場以每件20元的價格購進一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．設(shè)該商場銷售這種商品每天獲利w（元）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）該商場規(guī)定這種商品每件售價不低于進價且不高于38元，商品要想獲得600元的利潤，每件商品的售價應(yīng)定為多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+120；（2）w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）30元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：，解得，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）根據(jù)題意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，∴x1＝30，x2＝50（舍），∵20≤x≤38，∴x＝30．答：每件商品的售價應(yīng)定為30元．【題型5銷售利潤每每問題】41．（2023春?嵊州市校級期中）超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利該店采取了降價措施，在讓顧客得到更大實惠的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降價6元，則平均每天銷售數(shù)量為多少件；（2）當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【答案】（1）平均每天銷售數(shù)量為32件；（2）當(dāng)每件商品降價20元時，該商店每天銷售利潤為1200元．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：20+6×2＝32（件），答：平均每天銷售數(shù)量為32件；（2）設(shè)每件商品降價x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又要讓顧客得到更大實惠，∴x＝20．答：當(dāng)每件商品降價20元時，該商店每天銷售利潤為1200元．42．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？【答案】（1）該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%；（2）每套A產(chǎn)品需降價1萬元．【解答】解：（1）設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x，依題意，得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合題意，舍去）．答：該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為50%．（2）設(shè)每套A產(chǎn)品需降價y萬元，則平均每月可售出（30+×20）套，依題意，得：（2﹣y）（30+×20）＝70，整理，得：4y2﹣5y+1＝0，解得：y1＝，y2＝1．答∵盡量減少庫存，∴y＝1．答：每套A產(chǎn)品需降價1萬元．43．（2023春?寧波期中）某商品進價30元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定價50元時，每天可售出100個．臨近五一，商家決定開啟大促，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售單價每下降2元，每天銷量增加20個，設(shè)每個商品降價x元．（1）求每天銷量y（個）關(guān)于x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該商品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利1760元；（3）請說明：商家每天的獲利是否能達到3000元？【答案】（1）y＝10x+100；（2）38元；（3）商家每天的獲利不能達到3000元，理由如下．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝100+×20，即y＝10x+100；（2）根據(jù)題意得：（50﹣x﹣30）（10x+100）＝1760，整理得：x2﹣10x﹣24＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合題意，舍去），∴50﹣x＝50﹣12＝38．答：該商品的銷售單價是38元時，商家每天獲利1760元；（3）商家每天的獲利不能達到3000元，理由如下：假設(shè)商家每天的獲利能達到3000元，根據(jù)題意得：（50﹣x﹣30）（10x+100）＝3000，整理得：x2﹣10x+100＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×1×100＝﹣300＜0，∴該方程沒有實數(shù)根，∴假設(shè)不成立，即商家每天的獲利不能達到3000元．44．（2023春?長沙期中）春節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，每年元旦節(jié)后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農(nóng)戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件．（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）（1）水果店第一次用720元購進A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數(shù)；（2）第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進A、B兩種紅富士蘋果共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總費用不高于2000元．應(yīng)如何設(shè)計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）春節(jié)臨近結(jié)束時，水果店發(fā)現(xiàn)B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調(diào)價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？【答案】（1）A中蘋果購進10件，B中蘋果購進20件．（2）購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．【解答】解：（1）設(shè)A，B兩種蘋果分別購進x件和y件，由題意得：，解得，答：A中蘋果購進10件，B中蘋果購進20件．（2）設(shè)購進A種蘋果m件，則購進B種蘋果（80﹣m）件，由題意得：28m+22（80﹣m）≤2000，∴m≤40，設(shè)利潤為w元，則w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，∵2＞0，∴w隨m的增大額增大，∴當(dāng)m＝40時，w最大值＝2×40+960＝1040．故購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）設(shè)B種蘋果降價a元銷售，則每天多銷售2a件，每天利潤為（12﹣a），由題意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，解得，a＝3或a＝7，∵為了盡快減少庫存，∴a＝7，34﹣7＝27，答：將銷售價定為每件27元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．45．（2023春?甌海區(qū)期中）某商場在去年底以每件120元的進價購進一批同型號的服裝，一月份以每件150元的售價銷售了320件，二、三月份該服裝暢銷，銷量持續(xù)走高，在售價不變的情況下，三月底統(tǒng)計知三月份的銷量達到了500件．（1）求二、三月份服裝銷售量的平均月增長率；（2）從四月份起商場因換季清倉采用降價促銷的方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，該服裝售價每降價5元，月銷售量增加10件，當(dāng)每件降價多少元時，四月份可獲利10400元？【答案】（1）25%；（2）每件降價10元，四月份可獲利10400元．【解答】解：（1）設(shè)二、三月份銷售量的平均月增長率為x，根據(jù)題意得：320（1+x）2＝500，解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不合題意，舍去）．答：二、三月份銷售量的平均月增長率為25%．（2）設(shè)每件降價y元，根據(jù)題意得：，整理得：y2+220y﹣2300＝0，解得：y1＝10，y2＝﹣230（不合，舍去）．答：每件降價10元，四月份可獲利10400元．【題型6幾何圖形問題】46．（2023春?渦陽縣期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【解答】解：∵長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，且在它的四個角上剪去邊長為xcm的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長方形．根據(jù)題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．47．（2023春?襄州區(qū)校級月考）改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應(yīng)為多少？【答案】小路的寬應(yīng)為1m．【解答】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為xm，根據(jù)題意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合題意，舍去，∴x＝1．答：小路的寬應(yīng)為1m．48．（2022秋?從化區(qū)期末）某農(nóng)場要建一個矩形動物場，場地的一邊靠墻（墻AB長度不限），另外三邊用木欄圍成，木欄總長20米，設(shè)動物場CD邊的長為xm，矩形面積為ym2．（1）矩形面積y＝﹣2x2+20x（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)矩形動物場面積為48m2時，求CD邊的長．（3）能否圍成面積為60m2矩形動物場？說明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由見解析．【解答】解：（1）根據(jù)題意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，故答案為：﹣2x2+20x；（2）根據(jù)題意，得﹣2x2+20x＝48，解得x1＝4，x2＝6，∵墻AB長度不限，∴CD邊的長為4m或6m；（3）不能，理由如下：根據(jù)題意，得﹣2x2+20x＝60，整理，得x2﹣10x+30＝0，∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴方程沒有實數(shù)根，∴不能圍成面積為60m2矩形動物場．49．（2021秋?集賢縣期末）如圖是寬為20米，長為32米的矩形耕地，要修筑同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，且互相垂直），把耕地分成六塊大小相等的試驗地，要使試驗地的總面積為570平方米，問：道路寬為多少米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)道路為x米寬，由題意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，整理得：x2﹣36x+35＝0，解得：x＝1，x＝35，經(jīng)檢驗是原方程的解，但是x＝35＞20，因此不合題意舍去．答：道路為1m寬．50．（2023春?蒼南縣期中）園林部門計劃在某公園建一個長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計了一個正方形的網(wǎng)紅打卡點和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．?（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；（2）求出網(wǎng)紅打卡點的面積．【答案】（1）長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；（2）16平方米．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，根據(jù)題意，得2x+x+x＝120，解得x＝30，∴AB＝30米，BC＝60米，答：長方形ABCD花圃的長為60米，寬為30米；（2）設(shè)網(wǎng)紅打卡點的邊長為m米，根據(jù)題意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），∴網(wǎng)紅打卡點的面積為4×4＝16（平方米），答：網(wǎng)紅打卡點的面積為16平方米．51．（2023?政和縣模擬）為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為（30﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由．【答案】（1）（30﹣3x）；（2）矩形ABCD的面積不能為80m2，理由見詳解．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：由題意得：x（30﹣3x）＝80，整理得：3x2﹣30x+80＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，∴原方程無解，∴矩形ABCD的面積不能為80m2．52．（2022秋?石獅市期末）為全面落實勞動教育，某校在如圖所示的兩面成直角的圍墻角落（墻足夠長），用總長為28米的籬笆圍成一個長方形苗圃O(shè)ABC．設(shè)AB＝x米，BC＝y(tǒng)米．（1）求苗圃O(shè)ABC的面積；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若苗圃O(shè)ABC的面積為192平方米，現(xiàn)要在苗圃O(shè)ABC的對角線上修一條小道AC，求小道AC的長．【答案】（1）苗圃O(shè)ABC的面積為（﹣x2+28x）平方米；（2）小道AC的長為20米．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，BC＝y(tǒng)米，∵x+y＝28，∴y＝（28﹣x）米，∴苗圃O(shè)ABC的面積＝AB?BC＝xy＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，∴苗圃O(shè)ABC的面積為（﹣x2+28x）平方米；（2）∵苗圃O(shè)ABC的面積為192平方米，∴﹣x2+28x＝192，整理得：x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝16，x2＝12，∴當(dāng)x＝16時，y＝28﹣x＝12，小道AC的長＝＝＝20（米）；當(dāng)x＝12時，y＝28﹣x＝16，小道AC的長＝＝＝20（米）；綜上所述：小道AC的長為20米．53．（2023?播州區(qū)一模）如圖1，計劃在長為30米、寬為20米的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路①、②（圖中陰影部分），設(shè)道路①、②的寬為x米，剩余部分為綠化．（1）道路①的面積為20x平方米；道路②的面積為20x平方米（都用含x的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，根據(jù)實際情況，將計劃修筑的道路①、②改為同樣寬的道路③（圖中陰影部分），若道路的寬依然為x米，剩余部分為綠化，且綠化面積為551平方米，求道路的寬度．【答案】（1）20x，20x；（2）1米．【解答】解：（1）道路①的面積為20x平方米，道路