3完整版本.1-賦范線性空間和Banach空間

PAGEPAGE6第3章賦范線性空間3.1賦范線性空間和Banach空間3.1.1定義3.1.1(范數(shù)，賦范線性空間)設為是實（或：復）數(shù)域的線性空間，若對，存在一個實數(shù)于之對應，且滿足下列條件：(1);且；（非負性(non-negativity)）(2)，；（正齊（次）性(positivehomogeneity)）(3)，；（三角不等式(triangleinequality)）則稱為的范數(shù)(norm)，稱（或：）為賦范線性空間(normedlinearspace)，簡稱賦范空間(normedspace).例3.1.1空間是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)全體所成的線性空間。對，規(guī)定,(3.1.1)易證是的范數(shù)，則按上述范數(shù)成為賦范線性空間。例3.1.2設是閉區(qū)間上的Lebesgue可積函數(shù)全體所成的線性空間。對，規(guī)定,(3.1.2)若將在上滿足的兩個函數(shù)視為同一個函數(shù)，即將在上滿足的函數(shù)視為恒等于零的函數(shù)，即，則在上，是的范數(shù)，從而按上述范數(shù)成為賦范線性空間。例3.1.3在維實向量空間或維復向量空間（稱為酉空間）中，對（或），令，(3.1.3)或或,它們都是的范數(shù)，稱(3.1.3)中的范數(shù)為Euclidean范數(shù)，按范數(shù)(3.1.3)所得到的賦范線性空間稱為Euclidean空間。例3.1.4（空間）是閉區(qū)間上連續(xù)，在中處處次連續(xù)可微的函數(shù)全體所成的線性空間。對，令，(3.1.4)則是的范數(shù)，按上述范數(shù)成為賦范線性空間。定義3.1.2設是賦范線性空間，對，令，(3.1.5)則稱為由范數(shù)決定的度量。注1易驗證滿足度量的3個條件。注2我們今后對每個賦范線性空間總是按照(3.1.5定理3.1.1設是線性的度量空間（即：既是線性空間，又是度量空間），若度量是由某個范數(shù)決定的，則滿足：對，是數(shù)，有，.(3.1.6)反之，若滿足(3.1.6)，則就是的范數(shù)。也就是說：(3.1.6)是線性的度量空間成為賦范線性空間（指范數(shù)與度量滿足(3.1證設度量是由某個范數(shù)決定的，即，則對，是數(shù)，有.反之，若度量滿足(3.1.6)，定義.(1)若；(由度量的定義立得。)(2).(由(3.1.6)得)(3).證畢！注并不是所有的度量都是由某個范數(shù)所決定的。例如,在數(shù)列空間中，度量為，若令，則對常數(shù)，顯然它不滿足正齊（次）性條件.又如離散度量空間。設為任一非空集，定義如下：對，若令，則對常數(shù)，顯然它也不滿足正齊（次）性條件.(.)由此可知：由范數(shù)所決定的度量主要是針對線性空間定義的度量，它除了滿足一般度量的3個條件，還必須滿足正齊（次）性，這是一般度量所不具備的。另外，范數(shù)是向量長度的推廣，因此向量的長度當然要滿足：，而一般度量（距離）卻沒有這樣的要求。例3.1.5（空間）（即方絕對收斂的實（或：復）數(shù)列的全體），按照對每個坐標的線性運算成為線性空間。對，是的范數(shù)，按照成為賦范線性空間。例3.1.6（空間）設是有界實（或：復）數(shù)列全體按通常的線性運算所成的線性空間（它是的線性子空間）。對于，是的范數(shù)，則按照成為賦范線性空間。例3.1.7（空間）設是區(qū)間上的實（或：復）有界變差函數(shù)的全體，按照通常的線性運算，它是一個線性空間。對，令，(3.1.8)則是的范數(shù)，則按范數(shù)成為賦范線性空間。令,它是的線性子空間。在上，范數(shù)等于全變差.證按照通常的線性運算是線性空間，這一點是顯然的。今證(3.1.8)定義的范數(shù)滿足定義3.1.1的3(1)對，顯然;且.(2)顯然；(3);故由定義3.1.1知：是的范數(shù)，且按范數(shù)成為賦范線性空間。證畢！3.1.2Banach空間定義3.1.3設是賦范線性空間，，若當時，，則稱點列依范數(shù)收斂于(convergestoinnorm)，記作(或：).并稱為收斂點列(convergentsequence)，稱為點列的極限(limit).定義3.1.4設是度量空間，是中的點列。若對，存在，當時，恒有，則稱是中的基本點列，或Cauchy點列。定理3.1.2(1)度量空間中的收斂點列必是基本點列.(2)設是度量空間中的基本點列，若有子點列收斂于中的點，則也收斂于.定義3.1.5設是度量空間，若中的每個基本點列都收斂，則稱是完備（度量）空間。若是度量空間的子空間，若作為度量空間是完備的，則稱是中的完備子空間。完備的賦范線性空間稱為巴拿赫（Banach）空間。注1一個不完備的度量空間可以有完備的子空間。注2完備度量空間的閉子空間必是完備的子空間；任何度量空間的完備的子空間必是的閉子集。例3.1.8維Euclidean空間按范數(shù)，，是Banach空間。例3.1.9按范數(shù)是Banach空間。證在空間中，因為對，在上一致收斂于,所以由數(shù)學分析知：.只要證明中的任意基本點列是上的一致收斂點列即可。Infact設是中的任意基本點列，即對，存在自然數(shù)，當時，恒有.從而只要，對任何，必有.由數(shù)列的Cauchy收斂條件知：在上收斂于某一個函數(shù).再在上式中令，得因此由的任意性得：，即在上一致收斂于.證畢！例3.1.10按范數(shù)是Banach空間。證（自證！