數(shù)學(xué)建模選修課第二次作業(yè)匯總

2013數(shù)學(xué)建模選修課第二次作業(yè)PAGE2PAGE13數(shù)學(xué)建模作業(yè)一、回答以下問題1.什么是數(shù)學(xué)模型？答：所謂數(shù)學(xué)模型,是指針對(duì)或參照現(xiàn)實(shí)世界中某類事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化與抽象,用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括或近似地加以表述的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).一般表現(xiàn)為數(shù)理邏輯的邏輯表達(dá)式、各種數(shù)學(xué)方程(如代數(shù)方程、微分方程、積分方程等)及反映量與量之間相互關(guān)系的圖形、表格等形式.它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài),或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀態(tài),或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策與控制.好的數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備可靠性和可解性(也叫適用性)兩方面的特性:可靠性指在允許的誤差范圍內(nèi),能反映出該系統(tǒng)有關(guān)特性的內(nèi)在聯(lián)系;可解性指易于數(shù)學(xué)處理與計(jì)算.數(shù)學(xué)模型方法將復(fù)雜的研究對(duì)象簡(jiǎn)單化、抽象化,撇開對(duì)象的一些具體特征,減少其參數(shù),只抽取其主要量、量的變化及量與量之間的相互關(guān)系,在“純粹”的形態(tài)上進(jìn)行研究,突出主要矛盾,忽略次要矛盾,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫出客觀對(duì)象量的規(guī)律性,簡(jiǎn)潔明了地描述現(xiàn)實(shí)原形,揭示出其本質(zhì)的規(guī)律,并在對(duì)模型修正、求解的基礎(chǔ)上使原問題得以解決.可以說(shuō),數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)原形的一種理想化處理是一個(gè)科學(xué)的抽象過(guò)程,因而具有高度的抽象性與形式化特征.這一特征使其成為一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法,并隨著科學(xué)技術(shù)的數(shù)學(xué)化趨勢(shì),超越數(shù)學(xué)范疇,廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)的一切領(lǐng)域.。2.數(shù)學(xué)模型是如何分類的？答：用字母、數(shù)字和其他數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數(shù)理邏輯等來(lái)描述系統(tǒng)的特征及其內(nèi)部聯(lián)系或與外界聯(lián)系的模型。它是真實(shí)系統(tǒng)的一種抽象。數(shù)學(xué)模型是研究和掌握系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的有力工具，它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)或預(yù)測(cè)、控制實(shí)際系統(tǒng)的基礎(chǔ)。建立數(shù)學(xué)模型一般應(yīng)遵循什么原則？答：模型假設(shè)是整個(gè)建模的起點(diǎn)，是模型建立的基礎(chǔ)，不同的人對(duì)同一事物的認(rèn)識(shí)因其角度及深度不一致而產(chǎn)生不同的假設(shè)條件，從而導(dǎo)致不同的模型建立恰當(dāng)進(jìn)行模型假設(shè)是極為重要的。同時(shí)模型假設(shè)和模型建立是一個(gè)不易分離的整體過(guò)程。.在進(jìn)行模型假設(shè)和模型建立的過(guò)程中，我們應(yīng)遵從以下兩個(gè)基本原則，并按兩個(gè)基本原則的順序進(jìn)行反復(fù)的操作。分割原則分割成若干個(gè)獨(dú)立的研究對(duì)象并說(shuō)明對(duì)象間應(yīng)有聯(lián)系可用圖來(lái)表示對(duì)象間聯(lián)系。聯(lián)系原則構(gòu)造出對(duì)象之間的聯(lián)系的具體方式或細(xì)節(jié)分割的復(fù)雜性在于不存在絕對(duì)的客觀分割的標(biāo)準(zhǔn)因?yàn)槿魏我粋€(gè)分割方式都帶有一定的主觀性，分割問題不單純是數(shù)學(xué)問題，還需要有其他學(xué)科的觀點(diǎn)，這就構(gòu)成模型假設(shè)的復(fù)雜性。對(duì)其復(fù)雜性我們有必要作深入探討和研究。4.建立數(shù)學(xué)模型一般都有什么方法？答：建模的一般方法：機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定建立數(shù)5.建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟是什么？答：建模的具體步驟大致如下：實(shí)際問題通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)，確定變量、參數(shù)；建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)；用實(shí)際問題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來(lái)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型；多項(xiàng)式插值由函數(shù)y=sinx在三點(diǎn)0，π/4，π/2處的函數(shù)值，構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式P2(x)，計(jì)算sin(π/8)的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。解：令，則（1）程序代碼：clearall;clc;x=[0pi/4pi/2];%%計(jì)算各個(gè)插值點(diǎn)的x的值y=sin(x);%%sin中一定要帶括號(hào)p=polyfit(x,y,2);%%構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式f=inline('sinx');%%將sinx定義成內(nèi)聯(lián)函數(shù)以便使用fprintf('運(yùn)行結(jié)果為：\n\n')%%輸出語(yǔ)句disp('構(gòu)造的二次插值多項(xiàng)式P2(x)為：')%%輸出語(yǔ)句f=poly2str(p,'x')%%將擬合后的多項(xiàng)式系數(shù)（雙精度數(shù)組）轉(zhuǎn)換為字符形式的函數(shù)poly2sym(p);%%將該向量轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式fprintf('sin(π/8)的近似值為：\n')m=polyval(p,pi/8)%%用于對(duì)已經(jīng)擬合后的多項(xiàng)式系數(shù)，%%當(dāng)給出某個(gè)點(diǎn)時(shí)求其函數(shù)值;計(jì)算插值多項(xiàng)式在pi/8處的值fprintf('sin(π/8)的真實(shí)值為：\n')n=sin(pi/8)fprintf('截?cái)嗾`差Rn(x)為：\n')%%輸出語(yǔ)句R=abs(n-m)（2）運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果為：構(gòu)造的二次插值多項(xiàng)式P2(x)為：f=-0.33575x^2+1.164x-2.8824e-016sin(π/8)的近似值為：m=0.4053sin(π/8)的真實(shí)值為：n=0.3827截?cái)嗾`差Rn(x)為：R=0.0226（3）結(jié)果分析：在編寫程序時(shí)用了poly2str和poly2sym函數(shù)，開始時(shí)沒有運(yùn)用第二個(gè)將該向量轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的函數(shù)，即無(wú)法計(jì)算，經(jīng)查資料后修改得到結(jié)果如上。三、數(shù)值積分輪船的甲板成近似半橢圓面形，為了得到甲板的面積，首先測(cè)得橫向最大相間8.534米，然后等距離的測(cè)得縱向高度，自左向右分別為0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073米，計(jì)算甲板的面積。解：（1）程序代碼：x=linspace(0,8.534,13)%由0到8.534將其分為13等份計(jì)算其相應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)y=[00.9145.0607.7728.7179.0839.1449.0838.9928.6877.3762.0730];x0=0:0.001:8.534;y1=interp1(x,y,x0);%%一維線性插值函數(shù)fprintf('梯形積分結(jié)果為：\n\n')%%輸出語(yǔ)句x=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];y=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])];subplot(1,2,1);plot(x,y,'-r')%,x0,y1,'-r')S=trapz(y1)*0.001%%積分函數(shù)title('用梯形積分結(jié)果圖');xlabel('x');ylabel('y');y=[0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073];n=length(y)x=linspace(0,8.534,n);pp=spline(x,y);%%求樣條函數(shù)表達(dá)式fprintf('辛普森積分結(jié)果為：\n\n')%%輸出語(yǔ)句S2=quadl(@ppval,0,8.534,[],[],pp)%%高階法數(shù)值積分%%%繪制甲板的圖形subplot('position',[200,150,900,400])%%subplot('Position',[leftbottom%widthheight])%figure的位置和大小，距離屏幕左邊200，底部150，寬900，高400，默認(rèn)單位是像素xx=[x,fliplr([x(1),x,x(end)])];%%把x矩陣的第1個(gè)到最后一個(gè)元素沿垂直軸左右翻轉(zhuǎn)yy=[y/2,fliplr([y(1)/2,-y/2,y(end)/2])];%實(shí)現(xiàn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)subplot(1,2,2)plot(xx,yy)title('用辛普森積分結(jié)果圖');xlabel('x');ylabel('y');（2）運(yùn)行結(jié)果：x=Columns1through1100.71121.42232.13352.84473.55584.26704.97825.68936.40057.1117Columns12through137.82288.5340梯形積分結(jié)果為：S=54.6894n=11辛普森積分結(jié)果為：S2=65.2824（3）結(jié)果分析：上面結(jié)果是用兩種方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算的，第一個(gè)是一維線性插值，第二個(gè)是辛普森積分，運(yùn)行結(jié)果如上圖，但是無(wú)法再給圖像命名時(shí)再給兩個(gè)圖填充顏色，原因未知。結(jié)果是第一個(gè)的結(jié)果沒有第二個(gè)結(jié)果好。四、多項(xiàng)式擬合對(duì)于以下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x=(11.522.533.544.555.567891011)y=（44.688.49.289.59.79.861010.210.3210.3010.2410.1810.009.40）給出擬合多項(xiàng)式，計(jì)算x=6.5,12處的值，并繪制相應(yīng)曲線圖。解：（1）程序代碼：clearall;clc;x=[11.522.533.544.555.567891011];y=[44.688.49.289.59.79.861010.210.3210.3010.2410.1810.009.40];a=polyfit(x,y,5);%擬合出的五次函數(shù)的系數(shù)fprintf('運(yùn)行結(jié)果為：\n\n')%%輸出語(yǔ)句disp('構(gòu)造的二次插值多項(xiàng)式P2(x)為：')%%輸出語(yǔ)句f=poly2str(a,'x')%%將擬合后的多項(xiàng)式系數(shù)（雙精度數(shù)組）轉(zhuǎn)換為字符形式的函數(shù)poly2sym(a);%%將該向量轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式fprintf('x=6.5的近似值為：\n')m=polyval(a,6.5)%%用于對(duì)已經(jīng)擬合后的多項(xiàng)式系數(shù)，fprintf('x=12的近似值為：\n')n=polyval(a,12)%%用于對(duì)已經(jīng)擬合后的多項(xiàng)式系數(shù)，xx=linspace(min(x),max(x));%繪圖用到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)yy=polyval(a,xx);%擬合曲線的縱坐標(biāo)%subplot(2,2,4);plot(x,y,'m.',xx,yy,'b');%繪圖，原始數(shù)據(jù)+擬合曲線xlabel('x');ylabel('y');legend('原始數(shù)據(jù)','擬合曲線');%圖示title('五次多項(xiàng)式擬合曲線');holdon;x=[6.512];y=[mn];plot(x,y,'gs')（2）運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果為：構(gòu)造的二次插值多項(xiàng)式P2(x)為：f=0.00038416x^5-0.01707x^4+0.28271x^3-2.2403x^2+8.6685x-3.1048x=6.5的近似值為：m=10.2120x=12的近似值為：n=8.4585（3）結(jié)果分析：開始時(shí)我用了四個(gè)不同次數(shù)多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行擬合結(jié)果如第一個(gè)圖，但是由于最后要計(jì)算x=6.5,12處的值，我取了誤差最小的四次多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，擬合，結(jié)果如第二個(gè)圖。常微分方程數(shù)值解用預(yù)估校正Euler法，求解定解問題求出步長(zhǎng)為1的所有點(diǎn)的值，并繪制圖形。解：（1）程序代碼：clc;clearall;f=inline('y^2-2*x/y');xx=0:1:10;x=xx;x(1)=0;y(1)=1;h=1;n=10;fprintf('每個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)果為：\n\n')%%輸出語(yǔ)句fori=1:1:n+1x(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));xx=x(i)yy=y(i)end;fprintf('最后的結(jié)果為：\n\n')%%輸出語(yǔ)句m=y(n)plot(x,y,'-mo')%繪圖，原始數(shù)據(jù)+擬合曲線xlabel('x');ylabel('y');title('預(yù)估校正Euler法解定解問題的曲線');（2）運(yùn)行結(jié)果：每個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)果為：xx=0yy=1xx=1yy=2x