2023屆廣東省肇慶市全國(guó)高考統(tǒng)一考試模擬試題（三）數(shù)學(xué)試題

2023屆廣東省肇慶市全國(guó)高考統(tǒng)一考試模擬試題（三）數(shù)學(xué)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）

a=0.6=1.*=I

A.12B.29C.70D.169

2.單位正方體AZfCQ-A與GA，黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬

地的路線是黑螞蟻爬行的路線是為一??,它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段

所在直線必須是異面直線QeM）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞

蟻的距離是（）

A.1B.y/2C也D.0

3.已知集合人={0,1},B={0,1,2},則滿足AUC=B的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

22

4.已知直線/：y=2x+10過(guò)雙曲線0―2r=1（。>00>0）的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方

程為（）

5.記遞增數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S”.若4=1,4=9,且對(duì)他“}中的任意兩項(xiàng)《與勺其和《+勺,

或其積4%,或其商2仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）

4

A.a5>3,S9<36B.a5>3,S9>36

C.ab>3,S9>36D.a6>3,S9<36

6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()

7.若z=(3—i)g+2i)(aeR)為純虛數(shù)，貝ijz=()

16,20.

A.—lB.6iC.—lD.20

33

8.在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E，/分別為A3，3c的中點(diǎn)，則￡)七.￡)尸=()

13515

A.------B.—C.5D.—

444

9.函數(shù)/(x)=k|-瞿的圖象大致為()

A.1B.2C.3D.6

11.已知全集。=11,集合M={x|-3<x<l},N={x||x|,,l},則陰影部分表示的集合是()

C.y,—3)U(—1收)D.(-3,-1)

niY+1

12.已知函數(shù)丫=優(yōu)-2(”>()且。。1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)2，則函數(shù))=----圖象以點(diǎn)P為對(duì)稱中心的充要條件是

x+n

A.m=1,7I=-2B.m=-1,71=2

C.m=l,n=2D.m=—=-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若向量〃=(x—1,2)與向量力=(2,1)垂直，貝1」/=.

432

14.甲、乙兩人同時(shí)參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過(guò)的概率分別為一和一；乙筆試、面試通過(guò)的概率分別為一和

543

若筆試面試都通過(guò)才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立，則該次考試只有一人被錄取的概率是__________.

2

15.已知x,滿足約束條件,2x+y-440,,則2=》+丫的最小值為.

,y<2x,

22

16.已知產(chǎn)為雙曲線C：二-==1(。>0,6>0)的左焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)口，若點(diǎn)440),8(0/)關(guān)于直線/對(duì)稱，

a~b~

則雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級(jí)過(guò)濾，使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器采

用并聯(lián)安裝，再與一級(jí)過(guò)濾器串聯(lián)安裝.

級(jí)過(guò)濾器

----------1'級(jí)過(guò)濾器二

其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)在使用過(guò)程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要

更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)16()元，二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用

過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元，二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量，為

此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過(guò)濾

器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.

表1：一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表

一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89

頻數(shù)6040

以100個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率

代替1個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率；

（2）記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記力,〃分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若加+〃=19,且me｛8,9｝,

以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.

18.（12分）已知數(shù)列｛叫中，q=a（實(shí)數(shù)。為常數(shù)），％=2,S.是其前"項(xiàng)和，”）且數(shù)列也｝是等

比數(shù)列，4=2,%恰為與與-1的等比中項(xiàng).

（D證明：數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（3）若0=二，當(dāng)〃22時(shí)q,=7-二+l~+不，｛g｝的前"項(xiàng)和為，，求證：對(duì)任意“22,都有

（

2%+1%+2bn">

127；,>6/7+13.

19.（12分）已知拋物線。的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸（0,，），（。>0）關(guān)于直線/：X-了-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為加，且|「〃|=3拉.

若點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。的兩條切線B4,PB,其中A,B為切點(diǎn).

（1）求拋物線。的方程；

(2)求證：直線A3恒過(guò)定點(diǎn)，并求△PAB面積的最小值.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=60。，PB=PD=&

(2)設(shè)“在AC上，AH=-AC,若PH=旦,求產(chǎn)”與平面P8C所成角的正弦值.

33

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-l|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b囹a|f(x)(a/),a、bCR)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

X=tCOS69,為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為

22.(10分)在直角坐標(biāo)系Mb中，直線4的參數(shù)方程為7[W；4

三一”!。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為

x=tcos

71

y=rsin,一夕

夕sin?0=cos0.

(I)求012的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程;

(II)設(shè)4，，2分別交c于AB兩點(diǎn)(與原點(diǎn)。不重合)，求|。4卜|。目的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量〃的值，計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.

【詳解】

a=09b=1,幾=1,Z?=0+2=2,九<5,滿足條件，

2-0

a=------=1,〃=2,b=1+4=5,n<5,滿足條件，

2

?=-=2,〃=3,〃=2+10=12,〃<5,滿足條件，

2

17-2

a=--------=5,〃=4,b=5+24=29,n<5,滿足條件，

2

29-5

。=——-=12,〃=5,匕=12+58=70,〃=5,不滿足條件，

2

輸出匕=70.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡(jiǎn)單題.

2、B

【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段

后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離.

【詳解】

由題意，白螞蟻爬行路線為AAi-Aid—OiG-GC—C8—5A,

即過(guò)1段后又回到起點(diǎn)，

可以看作以1為周期，

由2020+6=3364,

白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；

同理，黑螞蟻爬行路線為ABTBBITBIG—CIOITDIOTZM,

黑螞蟻爬完2020段后回到Oi點(diǎn)，

Di

所以它們此時(shí)的距離為J5.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.

3、A

【解析】

由AuC=6可確定集合C中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.

【詳解】

由=B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合。有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4種情況，所以選

A項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

考查集合并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.

4、A

【解析】

22

根據(jù)直線/：y=2x+10過(guò)雙曲線，一斗=1（。＞0/＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，得c=5,又和其中一條漸近線平行，得到

a'b~

b=2a,再求雙曲線方程.

【詳解】

22

因?yàn)橹本€/：丁=2犬+10過(guò)雙曲線「一馬=1（。＞0,。＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，

a~h~

所以尸（一5,0）,所以c=5,

又和其中一條漸近線平行，

所以。=2。，

所以a?=5,=20?

22

所以雙曲線方程為二-匕=1.

520

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

由題意可得生=詈，從而得到。5=3,再由%=3就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出59的范圍.

【詳解】

解：4+%,或其積4勺，或其商&仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，

at

a2+佝或者“2%或者也是該數(shù)列中的項(xiàng)，

又?jǐn)?shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，

q<a2<a3<...<a^f

生+%>為，a2a9>a。,只有也是該數(shù)列中的項(xiàng)，

。2

同理可以得到我也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有4〈血〈血〈…<幺<%,

。3”4”84%〃2

：.%=；,%=3或%=-3（舍），,>3,

根據(jù)q=1,%=3,%=9,

Hzg113537

9

同理易得出=3"a3=ya4=y?%=3"%=3"抬=3"

9

1一3彳

二.Sg=4+出+...+%=-----<36,

1-3“

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

6、B

【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐A-C"E放入長(zhǎng)方體中，利用體積分割求解即可.

【詳解】

如圖，三棱錐的直觀圖為A-C0E,體積

匕—C*=%方體47]一匕型￡一照產(chǎn)~^E-ABC-%-CG4~^E-ADlF~^D1-ADC

19121

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了錐體的體積的求解，利用的體積分割的方法，考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.

7、C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

z=(3—i)(a+2i)=3a+2+(6—

???z=(3—i)(a+2i)(aeR)為純虛數(shù)，

???3。+2=0且6—。工0

得。=-2,此時(shí)2=衛(wèi)，

33

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出。￡。尸，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量

積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AC與BO交于點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，80的方向?yàn)閤軸，CA的方向?yàn)槎≥S，建立直角坐標(biāo)系,

則FM,-lj,0(1,0),=。F=卜|,一1)

95

所以。=—一1=-.

44

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問(wèn)題，難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問(wèn)題，如果直

接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.

9,A

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)?(-x)=/(x)，所以“X)是偶函數(shù)，排除C和D.

=x-竽，/'(x)=x3+21nx-l

當(dāng)x>0時(shí)，/(%)

令1(x)<0,得0<x<l,即/(x)在(0,1)上遞減；令/(力>0,得x>l,即“無(wú))在O+oo)上遞增.所以

在x=l處取得極小值，排除B.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.

10、B

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a$.

【詳解】

為等差數(shù)列,a2=2a3+l,a4=2a3+7,

a,+d=2(a,+2d)+l

，

[a1+3d=2(al+2d)+7

解得a〕=-10,d=3,

二a5=a1+4d=-10+11=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集AyN,再求出集合M與電N的交集，即為所求陰影部分表示的集合.

【詳解】

由。=8：,N={x||x|?1},可得dN={x[x<-l或x>1},

又M={x|-3<x<l}

所以McQ,,N={x]-3<x<-l}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

由題可得出P的坐標(biāo)為(2,1),再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出“和〃.

【詳解】

根據(jù)題意，\,所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1),

9=1

「nvc+lm(x-\-n)+\-mn1-mn

又y=-----=---------------=m+------,

x+nx+nx+n

所以m=1,〃=一2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0

【解析】

直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.

【詳解】

向量-2-i與向量6=(2,1)垂直，則a-〃=(x-l,2>(2,l)=2x-2+2=0,故x=O.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

14、§

15

【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

433211

甲被錄取的概率0=1x；=：；乙被錄取的概率22=鼻'5=3；

Q2128

只有一人被錄取的概率〃=P1(1_P2)+P2(1-Pl)=1X^+^X-=—?

Q

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立事件概率的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

15、-3

【解析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.

【詳解】

畫(huà)出可行域易知2=》+卜在點(diǎn)A（-1,-2）處取最小值為-3.

故答案為：-3

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、y/3+l

【解析】

由點(diǎn)A（a,O）,8（0,。）關(guān)于直線/對(duì)稱，得到直線/的斜率，再根據(jù)直線/過(guò)點(diǎn)尸，可求出直線/方程，又A,B中點(diǎn)

在直線/上，代入直線/的方程，化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果.

【詳解】

22

因?yàn)镋為雙曲線C：?一4=1（。>01>0）的左焦點(diǎn)，所以尸（一c,0）,又點(diǎn)A（a,0）,B（0,8）關(guān)于直線/對(duì)稱，

ab-

心8=二=一2,所以可得直線/的方程為y=f（x+c）'又A'B中點(diǎn)在直線/上,所以?=+整理得

0-6?ab2b\2J

b2=a2+2ac?又〃^T（Uc2-2ac-2a2=0，

故儲(chǔ)一2e—2=0，解得e=l±6，因?yàn)閑>l,所以e=l+G.

故答案為e=1+A/3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，先由兩點(diǎn)對(duì)稱，求出直線斜率，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點(diǎn)在直線上,

即可求出結(jié)果，屬于常考題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

52

17、（1）0.024；（2）分布列見(jiàn)解析，EX=—；（3）m=8,〃=11

【解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過(guò)

濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器均需要更換4個(gè)濾芯，而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條

形圖可知，一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過(guò)濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個(gè)二級(jí)過(guò)濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑶由“+〃=19,且{8,9},可知若加=8,則〃=11,或若相=9,則〃=10,再分別計(jì)算兩種情況下的所

需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.

【詳解】

(1)由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過(guò)濾

器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過(guò)濾器均需要更換4個(gè)濾芯，設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)

恰好為16”為事件A,

因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過(guò)濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,所以

P(A)=0.6x0.2x0.2=0.024.

(2)由柱狀圖知，一個(gè)二級(jí)過(guò)濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意X的可能取

值為8,9,10,11,12,

從而p(X=8)=0.2x0.2=0.04,P(X=9)=2x0.2x0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

P(X=12)=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列為

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4(個(gè)).

或用分?jǐn)?shù)表示也可以為

X89101112

14884

P

2525252525

_1八4，八8,,8—452,人、

EX-Sx-----i-9x-----FlOx-----Fllx-----i-12x—=—(個(gè)).

25252525255

(3)解法一：記y表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用(單位：元)

因?yàn)榧?〃=19,且〃?e{8,9},

1°若"2=8,則〃=11,

EY{=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）；

2°若加=9,則〃=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因?yàn)椤曦?lt;七匕，故選擇方案：加=8,〃=11.

解法二：記〃石分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯所需費(fèi)用（單位：元）

1°若m=8?則〃=11,

小。的分布列為

%12801680

P0.60.4

08801080

P0.840.16

該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買的各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為

坳+珞=1280xO.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352（%）；

2。若m-9,則右=10,

統(tǒng)的分布列為

$80010001200

P0.520.320.16

ET72+=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368（元）.

因?yàn)橹?+<E%+E&2

所以選擇方案：m=8,n=ll.

【點(diǎn)睛】

此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18、（1）見(jiàn)解析（2）包=2",〃GN"（3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)令〃=1可得4=E=0,即。=0.得到S,,=望，再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解，

n

⑵由(1)知勺=2(〃-1),〃eN*.設(shè)等比數(shù)列圾｝的公比為《,所以2==2q-',再根據(jù)?4恰為S4與仇-1

的等比中項(xiàng)求解，

(3)由(2)得到“22時(shí)，q,=2」+]+，+2+…+/＞泉+/+…+熱

=2'一(2"--1)+1=建」求得(，再代入證明。

2"2"2

【詳解】

net

(1)解：令n=1可得q=&=0,即a=0.所以S.=G^.

2時(shí)%=S,,-S,i=詈一J%，可得(〃一2)?！?(〃一I)。,-,

a〃一1aa,a.?

當(dāng)〃23時(shí)工n=-所n以nx-x%=2(〃-1).

%〃-2%%a2

顯然當(dāng)〃=1,2時(shí)，滿足上式.所以4=2(〃-1),〃WN*.

???4加-勺=2,所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，

(2)由(1)知。“=2(〃-1),〃eN*.

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為夕，所以b.=b0i=2/

a4=6,S4=12,Z?2=2q,

；包恰為S,與々T的等比中項(xiàng)，

所以62=12x(2q—l),

解得4=2,所以包=2",〃eN*

(3)〃之2時(shí)，Tn—c｝+c2+...+cn,

=!?+｛H*+￡H*+4+六+提卜而〃22時(shí)，

1111

--i---1---：--+-...4------>-------1--------F...H------

2"-,+12,,-|+22"2"2"2"

2n-（2"-'-l）+ly-11

2"2"2

6x2+13

所以當(dāng)〃=2時(shí)，T,=1+—+—+—=—

-2341212

16/1+13

uzT=C.+C,++C>1H---1--1--1--1--1--I-=----------

當(dāng)〃23時(shí)，"12"23422212

“-2個(gè)

二對(duì)任意〃。2,都有127；26〃+13,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和的關(guān)系，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)以及數(shù)列放縮的方法，還考查了

轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題，

19、(1)f=4y(2)見(jiàn)解析，最小值為4

【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)尸到直線/的距離列方程，求得c的值，由此求得拋物線的方程.

(2)設(shè)出A,B,P的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線PA,PB的方程，由此判斷出直線A3恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)口.求得三角形PAB

面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.

【詳解】

(1)依題意4=2表2=乎，解得c=l(負(fù)根舍去)

二拋物線。的方程為f=4y

(2)設(shè)點(diǎn))(。，必),8(巧,力)，尸“，一1),由*2=4y,

即y=；》2,得y，=gx

...拋物線。在點(diǎn)A處的切線PA的方程為y-y=5(x—xj,

2

8Py=^-x+y,-ix1

???%=，...丁=y?;點(diǎn)PQ,-1)在切線pA上，

一乙

一1=:，—y①，同理，一1=j/一必②

綜合①、②得，點(diǎn)4（不兇）,6（孫必）的坐標(biāo)都滿足方程

即直線4B：y=；x+1恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)F（O,1）

當(dāng)r=0時(shí)，此時(shí)產(chǎn)（0,-1）,可知：PF工AB

、.2

當(dāng)r。0,此時(shí)直線PF直線的斜率為原尸=-：,得「尸_LA5

于是S&PAB=；I尸/I?IABI,而|PF|=?-0）2+（一1一1）2〃+4

把直線y=；x+l代入d=4y中消去X得y2—（2+/）y+l=0

AB=|）i+%+2|=4+/，即：S=F（4+產(chǎn)）14+/=；（4+產(chǎn)1

當(dāng)r=0時(shí)，So"最小，且最小值為4

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，

考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

20、（1）見(jiàn)解析；（2）顯

3

【解析】

（1）記Acrpo=。，連結(jié)PO,推導(dǎo)出BOLPO,30_L平面PAC,由此能證明平面Q4C_L平面ABC。；（2）

推導(dǎo)出P”LAC,P”_L平面ABC。，連結(jié)切5,由題意得，為AABD的重心，BC工BH,從而平面PHB,平

面PBC,進(jìn)而N//P8是0”與平面PBC所成角，由此能求出PH與平面PBC所成角的正弦值.

【詳解】

（1）證明：記AC「BD=O,

連結(jié)P。，"BD中,OB=OD,PB=PD，：.BDVPO,

BD1AC,ACj〕PO=。，平面9C,

QBOu平面ABC。，.?平面Q4C_L平面ABCD.

（2）APO6中，^POB=~,03=1,PB=6：PO=1，

2

AO->/3>OH->

3

PH2=（^y）2=I,:,PH2=PO2+OH2,

平面ABC。，3C,

連結(jié)HB，由題意得，為AA8D的重心，

-JT71

;.NHBO=-,NHBC=-,BC工平面PHB

62

??.平面PHB，平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH與平面PBC所成角，

.?.RtAPHB中，PH=—,PB=>H，:.BH=巫,

33

.「/n_BH2431_>/6

..sin/BPDHI7==-----x--==—?

BP3723

:.PH與平面PBC所成角的正弦值為旦.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直