廣東省佛山市第四中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

廣東省佛山市第四中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)f(x)＝log3x－8＋2x的零點(diǎn)一定位于區(qū)間A. B.C. D.2．小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是A. B.C. D.3．點(diǎn)M(1,4)關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.(4,1) B.(3,2)C.(2,3) D.(-1,6)4．已知向量，且，則A. B.C. D.5．計(jì)算：（）A.0 B.1C.2 D.36．設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的值是（）A.2 B.C.4 D.7．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度8．命題“?x∈R，都有x2-x+3>0A.?x∈R，使得x2-x+3≤0 B.?x∈RC.?x∈R，都有x2-x+3≤0 D.?x?R9．若方程的兩實(shí)根中一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）A. B.C. D.11．設(shè)，，，則，，三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢 B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知為角終邊上一點(diǎn)，且，則______14．已知，是方程的兩根，則__________15．直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行，則a=__________16．設(shè)，則________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）若函數(shù)，且對(duì)任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；（3）若，，求的值19．已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f（x）=-（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）比較f（2）與f（-3）大??；（Ⅱ）設(shè)g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個(gè)矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在線段ON上，點(diǎn)C在弧MN上，點(diǎn)D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P，S分別在線段OM，ON上，頂點(diǎn)Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn).（1）按照方案1裁剪，設(shè)∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.21．有三個(gè)條件：①；②且；③最小值為2且.從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：已知二次函數(shù)滿足_________，.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求的值域.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．已知，（1）求和的值（2）求以及的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，因?yàn)?，所以函?shù)零點(diǎn)在區(qū)間（3，4）內(nèi)，故選擇B考點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理2、C【解析】開機(jī)密碼的可能有，，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是，故選C【考點(diǎn)】古典概型【解題反思】對(duì)古典概型必須明確兩點(diǎn)：①對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時(shí)滿足①、②的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式（其中n是基本事件的總數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)）得出的結(jié)果才是正確的3、B【解析】設(shè)出關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)和斜率的關(guān)系列方程組，解方程組求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線上，即①.由于直線的斜率為，所以線段的斜率為②.解由①②組成的方程組得，即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由已知得，因?yàn)?，所以，即，解?選B5、B【解析】根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：；故選：B6、D【解析】根據(jù)為奇函數(shù)，可求得，代入可得答案.【詳解】若是奇函數(shù)，則，所以，，.故選：D.7、A【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換即可得到答案.【詳解】選項(xiàng)A：把函數(shù)上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度可得的圖象，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：把函數(shù)上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得的圖象，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：把函數(shù)上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度可得的圖象，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：把函數(shù)上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得的圖象，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.8、A【解析】根據(jù)全稱命題的否定表示方法選出答案即可.【詳解】命題“?x∈R,都有x2“?x∈R,使得x2故選：A.9、A【解析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，令，由已知可得，解得，故選：A.10、D【解析】取，利用不等式性質(zhì)可判斷ABC選項(xiàng)；利用不等式的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則，所以，，，ABC均錯(cuò)；因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，則，即.故選：D.11、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算變形、，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：，，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，即，故選：D12、B【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，在上都是增函?shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、##【解析】利用三角函數(shù)定義可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定義計(jì)算得解【詳解】由三角函數(shù)定義可得：，解得：，則，所以，，.故答案為：.14、##【解析】將所求式利用兩角和的正弦與兩角差的余弦公式展開，然后根據(jù)商數(shù)關(guān)系弦化切，最后結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，是方程的兩根，所以，所以，故答案為?15、3【解析】a=0時(shí)不滿足條件，∵直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行a≠0，∴解得a=316、【解析】根據(jù)自變量取值判斷使用哪一段解析式求解，分別代入求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以故答案為?三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）.（2）（2，+∞）.【解析】（1）使對(duì)數(shù)式有意義，即得定義域；（2）命題等價(jià)于，如其中一個(gè)不易求得，如不易求，則轉(zhuǎn)化恒成立，再由其它方法如分離參數(shù)法求解或由二次不等式恒成立問題求解【詳解】（1）由題可知且，所以.所以的定義域?yàn)?（2）由題易知其定義域上單調(diào)遞增.所以在上的最大值為，對(duì)任意的恒成立等價(jià)于恒成立.由題得.令，則恒成立.當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)椋陨崛?當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，，所以；當(dāng)，即時(shí)，，無解，舍去；當(dāng)，即時(shí)，，所以，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）.【點(diǎn)睛】本題考查求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，不等式恒成立問題．解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用18、（1）；（2），；（3）【解析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換，對(duì)函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡，進(jìn)而可以求出周期；（2）利用正弦函數(shù)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的性質(zhì)，可以求出函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；（3）利用題中給的關(guān)系式可以求出和，然后將展開求值即可【詳解】（1）.所以函數(shù)的最小正周期.（2）由于，令，，得，故函數(shù)的對(duì)稱軸為.令，，得，故函數(shù)的對(duì)稱中心為.（3）因?yàn)?，所?即，因?yàn)?，所以，則，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，及利用函數(shù)的關(guān)系式求值，屬于中檔題19、（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）由偶函數(shù)在時(shí)遞減，時(shí)遞增，即可判斷（2）和的大小關(guān)系；（Ⅱ）由題意可得在時(shí)有且只有一個(gè)實(shí)根，可得在時(shí)有且只有一個(gè)實(shí)根，可令，則，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，計(jì)算可得所求范圍【詳解】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f（x）=-，可得f（x）在x＜0時(shí)遞減，x＞0時(shí)遞增，由f（-3）=f（3），可得f（2）＜f（3），即有f（2）＜f（-3）；（Ⅱ）設(shè)g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即為2（1-3a）ex+2a+=-在x＞0時(shí)有且只有一個(gè)實(shí)根，可得3a=在x＞0時(shí)有且只有一個(gè)實(shí)根，可令t=ex（t＞1），則h（t）=，h′（t）=，在t＞1時(shí)，h′（t）＜0，h（t）遞減，可得h（t）∈（0，），則3a∈（0，），即a∈（0，）另解：令t=ex（t＞1），則h（t）==1+，可令k=4t+7（k＞11），可得h（t）=1+，由3k+在k＞11遞增，可得h（t）在k＞11遞減，可得h（t）∈（0，），則3a∈（0，），即a∈（0，）【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數(shù)表示，寫出矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)對(duì)稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當(dāng)時(shí)，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設(shè)與邊，分別交于點(diǎn)，，由（1）的結(jié)論，可得矩形的最大面積為，根據(jù)對(duì)稱性知，矩形的最大面積為.因?yàn)闉殇J角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.21、（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，設(shè)代入，根據(jù)恒等式的思想可求得，得到的解析式；若選擇②，設(shè)由，得，由，得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸即，再代入，解之可得的解析式；若選擇③，設(shè)由，得，又恒成立，又，得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸解之即可；（2）由（1）知，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分析出上的單調(diào)性，可求得的值域.【詳解】解：（1）若選擇①，設(shè)則又因?yàn)榧唇獾茫?，所以解得，所以的解析式為；若選擇②，設(shè)由，得，又，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸即，又，所以解得所以的解析式為；若選擇③，設(shè)由，得，又恒成立，又，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸即，且解得所以的解析式為；（2）由（1）知，所以，因?yàn)閷?duì)稱軸所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)解析式的方法：一．換元法：已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式，把看成一個(gè)整體t，進(jìn)行換元，從而求出的方法，注意所換元的定義域的變化.二．配湊法：使用配湊法時(shí)，一定要注意函數(shù)的定義域的變化，否則容易出錯(cuò).三．待定系數(shù)法：己知函數(shù)解析式的類型，可設(shè)其解析式的形式，根據(jù)己知條件