數(shù)學(xué)模擬試題一及解答

數(shù)學(xué)模擬試題一及解答

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)的最小正周期是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．83．設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（）Ａ．是奇函數(shù) Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù) Ｄ．是偶函數(shù)4．的值為（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程的兩個(gè)根可分別作為（）Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率6．給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個(gè)數(shù)是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．47．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8．設(shè)是上的一個(gè)運(yùn)算，是的非空子集，若對任意，有，則稱對運(yùn)算封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）Ａ．自然數(shù)集 Ｂ．整數(shù)集 Ｃ．有理數(shù)集 Ｄ．無理數(shù)集9．的三內(nèi)角所對邊的長分別為．設(shè)向量，．若，則角的大小為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．11．與方程的曲線關(guān)于直線對稱的曲線的方程為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．12．曲線與曲線的（）Ａ．離心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦點(diǎn)相同 Ｄ．準(zhǔn)線相同第II卷（非選擇題，共90分）ABCPDEABCPDEF13．方程的解為．14．設(shè)則．15．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．16．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1，2，3號參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1，2號中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．（以數(shù)作答）三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分20分）已知函數(shù)，求（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．18．（本小題滿分10分）甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級數(shù)學(xué)競賽，參賽同學(xué)成績及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績相互之間沒有影響，求：（1）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率；（2）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率．19．（本小題滿分10分）已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．（1）證明平面；（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．ABABCDEF20．（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求的值；（2）若與的等差中項(xiàng)為，滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（本小題滿分20分）已知函數(shù)，，其中，設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的極值點(diǎn)，，并且，將點(diǎn)依次記為．（1）求的值；（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．答案與評分參考一．選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題分，滿分60分.（1）D（2）C（3）C（4）B（5）A（6）D（7）A（8）C（9）B（10）D（11）A（12）B二．填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.（13）（14）（15）（16）48三、解答題（17）本小題考查三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.（I）解法一：……當(dāng)，即時(shí)，取得最大值因此，取得最大值的自變量x的集合是.……解法二：……當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.因此，取得最大值的自變量x的集合是……（Ⅱ）解：由題意得，即.因此，的單調(diào)增區(qū)間是.………（18）本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，（Ⅰ）解：甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績及格的概率為乙班參賽同學(xué)中恰有一名同學(xué)成績及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績幾個(gè)的概率為………（Ⅱ）解法一：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績都不及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績都不及格的概率為………解法二：甲、乙兩班參賽同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有2名同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班4同學(xué)參賽同學(xué)成績都及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率為………………（19）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思維能力.（Ⅰ）證明：、分別是正方形的邊、的中點(diǎn).且四邊形是平行四邊形平面而平面平面（Ⅱ）解法一：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，過點(diǎn)用平面垂足為連接為正三角形在的垂直平分線上。又是的垂直平分線點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上過作，垂足為，連接則是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，為直角三角形，在中，解法二：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為為正三角形，為的中點(diǎn)，又平面平面又，且，平面，平面，平面，為在平面內(nèi)的射影。點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上過作，垂足為，連結(jié)，則，是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為。在折后圖的中，，為直角三角形，，，在中，，，解法三：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為為正三角形，為的中點(diǎn)又平面，平面，平面平面又平面平面，平面，即為在平面內(nèi)的射影，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上。過作，垂足為，連結(jié)，則是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為在折后圖的中，.為直角三角形，..在中，,,,.······(20)本小題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，對數(shù)與指數(shù)互相轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識。考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。(Ⅰ)解法一：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列,,····解法二：當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),..又,所以,得.·······(Ⅱ)解：,.又,,········又得.,,即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.·····(21)本小題考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎(chǔ)知識的的綜合運(yùn)用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力..(Ⅰ)解：,令，由得或..當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,所以處取極小值，即（=2\*ROMANII）解：處取得極小值，即由即由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得.即由四邊形ABCD的面積為1，得即得d＝1，從而得數(shù)學(xué)模擬試題2一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知兩條直線和互相垂直，則等于 （A）2（B）1（C）0（D）（2）在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t等于 （A）40（B）42（C）43（D）45（3）是的 （A）充分而不必要條件（B）必要不而充分條件 （C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（4）已知?jiǎng)t等于 （A）（B）（C）（D）（5）已知全集且則等于 （A）（B）（C）（D）（6）函數(shù)的反函數(shù)是 （A）方（B） （C）（D）（7）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于 （A）（B）（C）（D）（8）從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有 （A）108種（B）186種（C）216種（D）270種（9）已知向量與的夾角為，則等于 （A）5（B）4（C）3（D）1（10）對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是 （A）若則（B）若則 （C）若則（D）若、與所成的角相等，則（11）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （A）（B）（C）（D）（12）已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則 （A）（B）（C）（D）二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。（13）展開式中的系數(shù)是＿＿＿＿＿（用數(shù)字作答）。（14）已知直線與拋物線相切，則（15）已知實(shí)數(shù)、滿足則的最大值是＿＿＿＿。（16）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值是＿＿＿＿。三．解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分20分） 已知函數(shù) （I）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （II）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？（18）（本小題滿分15分） 每次拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字 （I）連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)不同的概率； （II）連續(xù)拋擲2次，求向上的數(shù)之和為6的概率； （III）連續(xù)拋擲5次，求向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3次的概率。（19）（本小題滿分15分） 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大??； （III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。（20）（本小題滿分10分） 已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 （I）求的解析式； （II）是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。（21）（本小題滿分10分） 已知數(shù)列滿足 （I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2006年高考(福建卷)數(shù)學(xué)文試題答案一．選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分60分。 （1）D（2）B（3）B（4）A（5）C（6）A （7）D（8）B（9）B（10）C（11）C（12）D二．填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算。每小題4分滿分20分。 （13）10（14）（15）4（16）三．解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識，以及推理和運(yùn)算能力。 解：（I） 的最小正周期 由題意得 即 的單調(diào)增區(qū)間為 （II）方法一： 先把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個(gè)單位長度，就得到的圖象。 方法二： 把圖象上所有的點(diǎn)按向量平移，就得到的圖象。（18）本小題主要考查概率的基本知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 解：（I）設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則 答：拋擲2次，向上的數(shù)不同的概率為 （II）設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”。 向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有、、、、5種， 答：拋擲2次，向上的數(shù)之和為6的概率為 （III）設(shè)C表示事件“拋擲5次，向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3次”，即在5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件“向上的數(shù)為奇數(shù)”恰好出現(xiàn)3次， 答：拋擲5次，向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3次的概率為（19）本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 方法一： （I）證明：連結(jié)OC 在中，由已知可得 而 即 平面 （II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角 在中， 是直角斜邊AC上的中線， 異面直線AB與CD所成角的大小為 （III）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為 在中， 而 點(diǎn)E到平面ACD的距離為 方法二： （I）同方法一。 （II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 異面直線AB與CD所成角 的大小為 （III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則 令得是平面ACD的一個(gè)法向量。 又 點(diǎn)E到平面ACD的距離 （20）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力。 （I）解：是二次函數(shù)，且的解集是 可設(shè) 在區(qū)間上的最大值是 由已知，得 （II）方程等價(jià)于方程 設(shè) 則 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。 方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根， 所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。（21）本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。 （I）證明： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 （II）解：由（I）得 數(shù)學(xué)模擬試題3一選擇題（每題5分，共40分）（1）設(shè)集合A=，B=，則AB等于(A) (B)(C) (D)(2)函數(shù)y=1+cosx的圖象（A）關(guān)于x軸對稱 （B）關(guān)于y軸對稱（C）關(guān)于原點(diǎn)對稱 （D）關(guān)于直線x=對稱（3）若a與b-c都是非零向量，則“a·b=a·c”是“a(b-c)”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件（4）在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有（A）36個(gè) （B）24個(gè)（C）18個(gè) （D）6個(gè)（5）已知是（-，+）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（A）(1，+) （B）(-,3)(C) (D)(1,3)(6)如果-1，a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9(C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9(7)設(shè)A、B、C、D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是（A）若AC與BD共面，則AD與BC共面（B）若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線(C)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC(D)若AB=AC，DB=DC，則ADBC(8)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A、B、C的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示，圖中x1`x2`x3，分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段,,的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（A）x1＞x2＞x3（B）x1＞x3＞x2（C）x2＞x3＞x1（D）x3＞x2＞x1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。（9）若三點(diǎn)A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共線，則a的值等于。（10）在的展開式中，x3的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）（11）已知函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），那么a的值等于.（12）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b與a-b的夾角的大小是.（13）在△ABC中，A，B，C所對的邊長分別為a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,則a∶b∶c=,B的大小是.(14)已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于____________,最大值等于______________.

三、解答題:本大題共5小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(15)（本小題共20分）已知函數(shù)f(x)=

(Ⅰ)求f(x)的定義域；

(Ⅱ)設(shè)α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.（16）（本小題共20分） 已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，如圖所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.（17）（本小題共20分）如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱.（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC1A1;（Ⅱ）]若二面角C1—BD—C的大小為60o,求異面直線BC1與AC所成角的大小.（18）（本小題共10分）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是0.5，0.6，0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.求：(Ⅰ)該應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率；(Ⅱ)該應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率.（19）（本小題共10分）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

答案:一、（1）—（8）ABCADBCC二、（9）4（10）84（11）2（12）（13）5：7：8（14）三、解答題(本大題共5小題，共80分)

(15)

解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),

故f(x)的定義域?yàn)椋鹼x|x≠kπ+,k∈Z｝.

(Ⅱ)因?yàn)閠anα=,且α是第四象限的角,所以sinα=,cosα=,故f(α)====.(16)解法一：(Ⅰ)由圖象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上(x)＜0.

在(2,+∝)上(x)＞0.故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上遞增，在(1,2)上遞減.

因此f(x)在x=1處取得極大值，所以x0=1.

(Ⅱ)(x)=3ax2+2bx+c,

由(1)=0,(2)=0,f(1)=5,

得解得a=2,b=－9,c=12.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)設(shè)(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,

又(x)=3ax2+2bx+c,所以a=,b=f(x)=由f(l)=5,即得m=6.

所以a=2,b=－9,c=12.（17）解法一：（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1∵ABCD是