(適用輔導班)2023-2024年高二數學寒假講義（基礎班）2.7《函數與方程》 (原卷版)

頁第七節(jié)函數與方程核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.通過判斷具體函數零點的個數或零點所在區(qū)間，凸顯數學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．通過函數零點或方程根的存在情況求參數的取值范圍，凸顯直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數圖象與零點的關系Δ＝b2﹣4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無零點個數_2__1__0_[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．函數f(x)＝lnx﹣eq\f(2,x)的零點所在的大致范圍是()A．(1，2)B．(2，3)C.(eq\f(1,e)，1)和(3，4)D．(4，＋∞)2．函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是()A．0B．1C．2D．33．函數f(x)＝(x2﹣2)(x2﹣3x＋2)的零點為________．二、易錯點練清1．給出下列命題：①函數f(x)＝x2﹣1的零點是(﹣1，0)和(1，0)；②函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)·f(b)<0；③二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2﹣4ac<0時沒有零點；④若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)<0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．其中正確的是________(填序號)．2．函數f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零點，則k的取值范圍是________．考點一函數零點所在區(qū)間的判斷[典例]函數f(x)＝x＋lnx﹣3的零點所在的區(qū)間為()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[方法技巧]判斷函數零點(方程的根)所在區(qū)間的方法解方程法當對應方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上定理法利用零點存在性定理進行判斷數形結合法畫出相應的函數圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，或者轉化為兩個函數圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷[針對訓練]1．方程(eq\f(1,3))x＝x的解所在的區(qū)間是()A.(0，eq\f(1,3))B.(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))C.(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))D．(eq\f(2,3)，1)2．已知函數f(x)＝lnx＋2x﹣6的零點在(eq\f(1,2)k，eq\f(1,2)k+eq\f(1,2))(k∈Z)內，那么k＝________.考點二函數零點個數的判斷[典題例析](1)函數f(x)＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零點個數為()A．2B．3C．4D．5(2)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x>0，,2x＋1，x≤0))的零點個數為()A．0B．1C．2D．3(3)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝ex＋x﹣3，則f(x)的零點個數為()A．1B．2C．3D．4[方法技巧]判斷函數零點個數的方法直接法直接求零點，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點定理法利用零點存在性定理，不僅要求函數的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點圖象法利用圖象交點的個數，畫出函數f(x)的圖象，函數f(x)的圖象與x軸交點的個數就是函數f(x)的零點個數；或將函數f(x)拆成兩個函數h(x)和g(x)的差，根據f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數f(x)的零點個數就是函數y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點個數性質法利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是周期函數，則只需解決在一個周期內的零點的個數[針對訓練]1．函數f(x)＝2x|log0.5x|﹣1的零點個數為()A．1B．2C．3D．42．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x>0時，f(x)＝2x＋2x﹣4，則f(x)的零點個數是()A．2B．3C．4D．5考點三函數零點的應用問題考法(一)根據函數零點個數求參數[例1]已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0，,－x，x<0.))若函數g(x)＝f(x)﹣|kx2﹣2x|(k∈R)恰有4個零點，則k的取值范圍是()A.(﹣∞，﹣eq\f(1,2))∪(2eq\r(2)，＋∞)B.(﹣∞，﹣eq\f(1,2))∪(0，2eq\r(2))C．(﹣∞，0)∪(0，2eq\r(2))D．(﹣∞，0)∪(2eq\r(2)，＋∞)考法(二)根據函數零點存在情況求參數[例2]已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤0，,ex，x>0，))則使函數g(x)＝f(x)＋x﹣m有零點的實數m的取值范圍是______________．考法(三)根據零點的范圍求參數[例3]若函數f(x)＝(m﹣2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(﹣1，0)和區(qū)間(1，2)內，則m的取值范圍是________．[方法技巧]由函數零點求參數范圍的方法直接法直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍分離參數法先將參數分離，轉化成求函數值域的問題再求解即可數形結合法先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象，然后數形結合求解[針對訓練]1．函數f(x)＝2x﹣eq\f(2,x)﹣a的一個零點在區(qū)間(1，2)內，則實數a的取值范圍是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)2．(多選)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x∈－∞，0，,lnx，x∈0，1，,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞，))若函數g(x)＝f(x)﹣m恰有2個零點，則實數m可以是()A．﹣1B．0C．1D．23．方程log(a﹣2x)＝2＋x有解，則a的最小值為________．

創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法應用“三招五法”，輕松破解含參零點問題根據函數的零點情況，討論參數的范圍是高考的重點和難點．對于此類題目，我們常利用零點定理、數形結合、函數單調性與分離參數等思想方法來求解．[典例]已知函數f(x)＝ax3﹣3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍為()A．(2，＋∞)B．(﹣∞，﹣2)C．(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)[方法演示]本題的實質是函數f(x)存在唯一的零點x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代數特征轉化為方程有唯一的正根來構思解析，也可以從零點本身的幾何特征入手，將其轉化為曲線的交點問題來突破，還可以利用選項的唯一性選取特例求解．法一單調性法：利用函數的單調性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2﹣6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(2,a).當a>0時，x∈(﹣∞，0)，f′(x)>0；x∈(0，eq\f(2,a))，f′(x)<0；x∈（eq\f(2,a)，＋∞），f′(x)>0.所以函數f(x)在(﹣∞，0)和（eq\f(2,a)，＋∞）上單調遞增，在（0，eq\f(2,a)）上單調遞減，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零點，不符合題意．當a<0時，x∈（﹣∞，eq\f(2,a)），f′(x)<0；x∈（eq\f(2,a)，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函數f(x)在（﹣∞，eq\f(2,a)）和(0，＋∞)上單調遞減，在（eq\f(2,a)，0）上單調遞增，所以要使f(x)有唯一的零點x0且x0>0，只需f（eq\f(2,a)）>0，即a2>4，解得a<﹣2.法二數形結合法：轉化為直線與曲線的位置關系求解由ax3﹣3x2＋1＝0可知x≠0，可得ax＝3﹣eq\f(1,x2)，作出y＝3﹣eq\f(1,x2)的圖象如圖所示，轉動直線y＝ax，顯然a>0時不成立；當a<0，直線y＝ax與左邊的曲線相切時，設切點為（t，3﹣eq\f(1,t2)），其中t<0，則切線方程為y﹣（3﹣eq\f(1,t2)）＝eq\f(2,t3)(x﹣t)．又切線過原點，則有0﹣（3﹣eq\f(1,t2)）＝eq\f(2,t3)(0﹣t)，解得t＝﹣1(t＝1舍去)，此時切線的斜率為﹣2，由圖象可知a<﹣2符合題意．法三數形結合法：轉化為兩曲線的交點問題求解令f(x)＝0，得ax3＝3x2﹣1.問題轉化為g(x)＝ax3的圖象與h(x)＝3x2﹣1的圖象存在唯一的交點，且交點橫坐標大于零．當a＝0時，函數g(x)的圖象與h(x)的圖象存在兩個交點；當a>0時，如圖(1)所示，不合題意；當a<0時，由圖(2)知，可先求出函數g(x)＝ax3與h(x)＝3x2﹣1的圖象有公切線時a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝﹣2.由圖形可知當a<﹣2時，滿足題意．法四分離參數法：參變分離，演繹高效易知x≠0，令f(x)＝0，則a＝eq\f(3,x)﹣eq\f(1,x3)，記g(x)＝eq\f(3,x)﹣eq\f(1,x3)，g′(x)＝﹣eq\f(3,x2)＋eq\f(3,x4)＝eq\f(－3x2－1,x4)，可知g(x)在(﹣∞，﹣1)和(1，＋∞)上單調遞減，在(﹣1，0)和(0，1)上單調遞增，且g(﹣1)＝﹣2，畫出函數大致圖象如圖所示，平移直線y＝a，結合圖象，可知a<﹣2.法五特例法：巧取特例求解取a＝3，則f(x)＝3x3﹣3x2＋1.由于f(0)＝1，f(﹣1)<0，從而f(x)在(﹣∞，0)上存在零點，排除A、C.取a＝﹣eq\f(4,3)，則f(x)＝﹣eq\f(4,3)x3﹣3x2＋1.由于f(0)＝1，f(﹣eq\f(3,2))<0，從而f(x)在(﹣∞，0)上存在零點，排除D，故選B.[答案]B[名師微點]函數的含參零點問題是高考熱門題型，既能很好地考查函數、導數、方程與不等式等基礎知識，又能考查分類討論、數形結合、轉化與化歸等思維能力，所以此類題往往能較好地體現試卷的區(qū)分度．由本題的五種方法，可知破解含參零點問題常有“三招”.第一招帶參討論當我們無法通過等價轉化的思想將原問題轉化為相對容易的問題時，我們要根據題設要求直接研究函數的性質．由于函數含有參數，通常需要合理地對參數的取值進行分類，并逐一求解．(如本例法一)第二招數形結合由兩個基本初等函數組合而得的超越函數f(x)＝g(x)﹣h(x)的零點個數，等價于方程g(x)﹣h(x)＝0的解的個數，亦即g(x)＝h(x)的解的個數，進而轉化為基本初等函數y＝g(x)與y＝h(x)的圖象的交點個數．(如本例法二和法三)第三招分離參數通過將原函數中的參數進行分離后變形成g(x)＝l(a)，則原函數的零點問題化歸為與x軸平行的直線y＝l(a)和函數g(x)的圖象的交點問題．(如本例法四)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、綜合練——練思維敏銳度1．求下列函數的零點，可以用二分法的是()A．f(x)＝x4B．f(x)＝tanx＋2(eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2))C．f(x)＝cosx﹣1D．f(x)＝|2x﹣3|2．函數f(x)＝x﹣(eq\f(1,2))x的零點個數為()A．0B．1C．2D．33．設函數y＝log2x﹣1與y＝22﹣x的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．已知函數f(x)＝x﹣eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零點分別為x1，x2，x3，則()A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x25．(多選)已知f(x)是定義域為R的偶函數，在(﹣∞，0)上單調遞減，且f(﹣3)·f(6)<0，那么下列結論中正確的是()A．f(x)可能有三個零點B．f(3)·f(﹣4)≥0C．f(﹣4)<f(6)D．f(0)<f(﹣6)6．(多選)定義域和值域均為[﹣a，a](常數a＞0)的函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的有()A．方程f(g(x))＝0有兩正數解和一負數解B．方程g(f(x))＝0最多只有三個解C．方程f(f(x))＝0可能存在五個解D．方程g(g(x))＝0有且僅有一個解7．對于實數a，b定義運算“D○×”：aD○×b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a，a<b，,b2－a2，a≥b.))設f(x)＝(2x﹣3)D○×(x﹣3)，且關于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三個互不相同的實根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍為()A．(0，3)B．(﹣1，0)C．(﹣∞，0)D．(﹣3，0)8．若函數f(x)＝ax＋1﹣2a在區(qū)間(﹣1，1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________．9．若函數f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是﹣2和3，則不等式af(﹣2x)>0的解集是__________．10．函數f(x)＝(eq\f(1,2))|x﹣1|＋2cosπx(﹣4≤x≤6)的零點個數為________；所有零