3全國中學(xué)生物理競賽預(yù)復(fù)賽試題及答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2006年第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)復(fù)賽試題及答案目錄TOC\o”1—3”\h\z_Toc190628737"第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答及評分標準 5第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷 16HYPERLINK\l”_Toc190628739”第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題參考解答及評分標準 20第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題（2006年9月3日）本卷共九題，滿分200分一、(20分，每小題10分）1.如圖所示，彈簧S1的上端固定在天花板上，下端連一小球A，球A與球B之間用線相連.球B與球C之間用彈簧S2相連。A、B、C的質(zhì)量分別為mA、mB、mC，彈簧與線的質(zhì)量均可不計.開始時它們都處在靜止狀態(tài)。現(xiàn)將A、B間的線突然剪斷,求線剛剪斷時A、B、C的加速度.2。兩個相同的條形磁鐵，放在平板AB上,磁鐵的N、S極如圖所示，開始時平板及磁鐵皆處于水平位置,且靜止不動。（?。┈F(xiàn)將AB突然豎直向下平移（磁鐵與平板間始終相互接觸），并使之停在處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個條形磁鐵碰在一起.（ⅱ）如果將AB從原位置突然豎直向上平移，并使之停在位置，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩條形磁鐵也碰在一起.試定性地解釋上述現(xiàn)象。二、（20分,第1小題12分，第2小題8分)1.老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ邸?ⅰ)一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚。試在示意圖1中畫出此時P通過眼睛成像的光路示意圖。（ⅱ）帶了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P，試在示意圖2中畫出P通過老花鏡和眼睛成像的光路示意圖。圖1圖12。有兩個凸透鏡，它們的焦距分別為f1和f2，還有兩個凹透鏡,它們的焦距分別為f3和f4.已知，f1＞f2＞|f3|＞｜f4|.如果要從這四個透鏡中選取兩個透鏡,組成一架最簡單的單筒望遠鏡，要求能看到放大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應(yīng)選焦距為_________的透鏡作為物鏡，應(yīng)選焦距為________的透鏡作為目鏡。三、(20分，第一小題12分，第2小題8分）1.如圖所示,電荷量為q1的正點電荷固定在坐標原點O處，電荷量為q2的正點電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng)。已知q2＝2q1。（ⅰ）求在x軸上場強為零的P點的坐標.（ⅱ)若把一電荷量為q0的點電荷放在P點，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q0被限制在沿x軸運動和被限制在沿垂直于x軸方向運動這兩種情況)。圖1圖22.有一靜電場,其電勢U隨坐標x的改變而變化,變化的圖線如圖1所示，試在圖2中畫出該靜電場的場強E隨x變化的圖線（設(shè)場強沿x軸正方向時取正值，場強沿x軸負方向時取負值）。圖1圖2四、（20分）一根長為L（以厘米為單位）的粗細均勻的、可彎曲的細管，一端封閉，一端開口，處在大氣中。大氣的壓強與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強相等，已知管長L＞H.現(xiàn)把細管彎成L形,如圖所示。假定細管被彎曲時，管長和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化?？梢园阉y從管口徐徐注入細管而不讓細管中的氣體泄出。當細管彎成L形時，以l表示其豎直段的長度，問l取值滿足什么條件時,注入細管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值（用水銀柱的長度表示）.五、（20分）一對正、負電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子。電子偶素中的正電子與負電子都以速率v繞它們連線的中點做圓周運動。假定玻爾關(guān)于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質(zhì)量m、速率v和正、負電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件，即式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，……；h為普朗克常量.試求電子偶素處在各定態(tài)時的r和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差.六、（25分）如圖所示,兩個金屬輪A1、A2，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細軸O1和O2轉(zhuǎn)動，O1和O2相互平行，水平放置。每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A1輪的輻條長為a1、電阻為R1,A2輪的輻條長為a2、電阻為R2，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a0的絕緣圓盤D與A1同軸且固連在一起。一輕細繩的一端固定在D邊緣上的某點,繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P。當P下落時，通過細繩帶動D和A1繞O1軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動過程中，A1、A2保持接觸,無相對滑動；兩輪與各自細軸之間保持良好的電接觸；兩細軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連。除R和A1、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計.整個裝置處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中,磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行。現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時的速度。七、（25分)圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處。圓筒內(nèi)有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行,磁感應(yīng)強度為B。筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒。設(shè):筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的。若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少,問:1.P的速率應(yīng)為多少？2。P從進入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時間為多少？八、（25分）圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的,截面的邊長都是l。一根長為2l的柔軟的輕細繩,一端固定在A點，另一端系一質(zhì)量為m的小球,初始時，手持小球，將繩拉直，繞過B點使小球處于C點?，F(xiàn)給小球一豎直向下的初速度v0，使小球與CB邊無接觸地向下運動,當分別取下列兩值時，小球?qū)⒋虻搅荷系暮翁帲?。2.設(shè)繩的伸長量可不計而且是非彈性的。九、（25分)從赤道上的C點發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地擊中北極點N，要求發(fā)射所用的能量最少。假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R＝6400km。已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量,G為引力常量。1.假定地球沒有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向（用速度方向與地心O到發(fā)射點C的連線之間的夾角表示）。2。若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？3。試導(dǎo)出。第23屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答及評分標準一、參考解答:1.線剪斷前,整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。此時彈簧S1的彈力(1)彈簧S2的彈力（2）在線剛被剪斷的時刻，各球尚未發(fā)生位移,彈簧的長度尚無變化,故F1、F2的大小尚未變化，但線的拉力消失。設(shè)此時球A、B、C的加速度的大小分別為aA、aB、aC，則有（3)（4）（5）解以上有關(guān)各式得方向豎直向上（6）方向豎直向下（7）(8）2.開始時，磁鐵靜止不動，表明每一條磁鐵受到另一條磁鐵的磁力與它受到板的靜摩擦力平衡.（ⅰ）從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運動經(jīng)歷了兩個階段。起初，板向下加速移動,板與磁鐵有脫離接觸的趨勢，磁鐵對板的正壓力減小，并跟隨板一起作加速度方向向下、速度向下的運動。在這過程中,由于磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小。向下的加速度愈大,磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小.當板的加速度大到某一數(shù)值時，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運動并吸在一起。接著,磁鐵和板一起作加速度方向向上、速度向下的運動，直到停在處。在這過程中，磁鐵對板的正壓力增大,最大靜摩擦力亦增大，因兩磁鐵已碰在一起,磁力、接觸處出現(xiàn)的彈力和可能存在的靜摩擦力總是平衡的,兩條磁鐵吸在一起的狀態(tài)不再改變.（ⅱ）從板突然豎直向上平移到停下，板和磁鐵的運動也經(jīng)歷兩個階段。起初，板和磁鐵一起作加速度方向向上、速度向上的運動，在這過程中，正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，作用于每個磁鐵的磁力與靜摩擦力始終保持平衡,磁鐵在水平方向不發(fā)生運動。接著，磁鐵和板一起作加速度方向向下、速度向上的運動，直到停在處.在這過程中，磁鐵對板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小，向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小.當板的加速度大到某一數(shù)值時，最大靜摩擦力減小到小于磁力,于是磁鐵沿著平板相向運動并吸在一起。評分標準:（本題20分）1。10分。(1）、（2）、（3)、（4）、（5）、(6)、（7)、（8)式各1分，aA、aB的方向各1分。2。10分.（?。?分，(ⅱ）5分（必須正確說出兩條形磁鐵能吸引在一起的理由，才給這5分，否則不給分）.二、參考答案1.圖1圖2圖1圖2（?。áⅲá?2。f1，f4。評分標準：（本題20分）1.12分。（ⅰ)4分，(ⅱ)4分，(ⅲ）4分。2。8分。兩個空格都填對，才給這8分，否則0分。三、參考解答:1。（ⅰ)通過對點電荷場強方向的分析，場強為零的P點只可能位于兩點電荷之間。設(shè)P點的坐標為x0，則有(1）已知（2）由(1）、（2)兩式解得（3)（ⅱ)先考察點電荷q0被限制在沿x軸運動的情況.q1、q2兩點電荷在P點處產(chǎn)生的場強的大小分別為且有E10＝E20二者方向相反。點電荷q0在P點受到的合力為零，故P點是q0的平衡位置。在x軸上P點右側(cè)處，q1、q2產(chǎn)生的場強的大小分別為方向沿x軸正方向方向沿x軸負方向由于，處合場強沿x軸的負方向,即指向P點。在x軸上P點左側(cè)處q1、q2的場強的大小分別為方向沿x軸正方向方向沿x軸負方向由于，處合場強的方向沿x軸的正方向，即指向P點。由以上的討論可知，在x軸上，在P點的兩側(cè)，點電荷q1和q2產(chǎn)生的電場的合場強的方向都指向P點，帶正電的點電荷在P點附近受到的電場力都指向P點，所以當q0＞0時,P點是q0的穩(wěn)定平衡位置。帶負電的點電荷在P點附近受到的電場力都背離P點,所以當q0＜0時，P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置。再考慮q0被限制在沿垂直于x軸的方向運動的情況.沿垂直于x軸的方向,在P點兩側(cè)附近，點電荷q1和q2產(chǎn)生的電場的合場強沿垂直x軸分量的方向都背離P點，因而帶正電的點電荷在P點附近受到沿垂直x軸的的分量的電場力都背離P點,所以，當q0＞0時，P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置。帶負電的點電荷在P點附近受到的電場力都指向P點，所以當q0＜0時,P點是q0的穩(wěn)定平衡位置。2.評分標準：（本題20分）1。12分（ⅰ）2分（ⅱ）當q0被限制在沿x軸方向運動時，正確論證q0＞0，P點是q0的穩(wěn)定平衡位置,占3分；正確論證q0＜0,P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置，占3分（未列公式，定性分析正確的同樣給分）。當q0被限制在垂直于x軸的方向運動時，正確論證q0＞0，P點是q0的不穩(wěn)定平衡位置，占2分;正確論證q0＜0，P點是q0的穩(wěn)定平衡位置,占2分。2.8分?？v坐標標的數(shù)值或圖線有錯的都給0分.縱坐標標的數(shù)值、圖線與參考解答不同,正確的同樣給分.四、參考解答開始時豎直細管內(nèi)空氣柱長度為L，壓強為H(以cmHg為單位），注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短。當管中水銀柱長度為x時，管內(nèi)空氣壓強p＝（H＋x），根據(jù)波意耳定律，此時空氣柱長度（1)空氣柱上表面與管口的距離（2）開始時x很小，由于L＞H，故即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至d＝x（即水銀柱上表面與管口相平）時為止。何時水銀柱表明與管口相平，可分下面兩種情況討論。1。水銀柱表明與管口相平時，水銀柱未進入水平管此時水銀柱的長度，由波意耳定律有（3）由（3）式可得(4)由此可知,當時，注入的水銀柱的長度x的最大值（5）2。水銀柱表面與管口相平時，一部分水銀進入水平管此時注入水銀柱的長度x＞l，由波意耳定律有（6）(7）（8）由（8）式得，或（9）(10）即當時，注入水銀柱的最大長度.由上討論表明，當時，可注入的水銀量最大，這時水銀柱的長度為，即（5）式。評分標準：（本題20分）正確論證時可注入的水銀量最大，占13分。求出最大水銀量占7分。若論證的方法與參考解答不同,只要正確，同樣給分。五、參考解答：正、負電子繞它們連線的中點作半徑為的圓周運動，電子的電荷量為e，正、負電子間的庫侖力是電子作圓周運動所需的向心力，即(1）正電子、負電子的動能分別為和,有（2）正、負電子間相互作用的勢能（3）電子偶素的總能量（4)由（1)、（2)、（3）、(4）各式得(5)根據(jù)量子化條件n＝1,2，3，……(6）(6）式表明,r與量子數(shù)n有關(guān)。有（1）和（6）式得與量子數(shù)n對應(yīng)的定態(tài)r為n＝1,2，3，……（7）代入(5)式得與量子數(shù)n對應(yīng)的定態(tài)的E值為n＝1，2,3，……（8）n＝1時，電子偶素的能量最小，對應(yīng)于基態(tài)?；鶓B(tài)的能量為(9）n＝2是第一激發(fā)態(tài),與基態(tài)的能量差(10）評分標準：（本題20分）（2)式2分，（5）式4分，（7）式、(8）式各5分,（10）式4分.六、參考解答:P被釋放后，細繩的張力對D產(chǎn)生機械力矩，帶動D和A1作逆時針的加速轉(zhuǎn)動,通過兩個輪子之間無相對運動的接觸，A1帶動A2作順時針的加速轉(zhuǎn)動。由于兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在A1產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在A2產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路.A1、A2中各輻條上流有沿電動勢方向的電流,在磁場中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速轉(zhuǎn)動的勢頭減緩。A1、A2從起始的靜止狀態(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機械力矩相等，D、A1和A2停止作加速轉(zhuǎn)動，均作勻角速轉(zhuǎn)動,此時P勻速下落，設(shè)其速度為v，則A1的角速度（1）A1帶動A2轉(zhuǎn)動，A2的角速度與A1的角速度之間的關(guān)系為(2)A1中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢均為(3）軸與輪邊之間的電動勢就是A1中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值見(3)式.同理，A2中，軸與輪邊之間的電動勢就是A2中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為（4）A1中,每根輻條的電阻為R1,軸與輪邊之間的電阻是A1中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為（5）A2中，每根輻條的電阻為R2,軸與輪邊之間的電阻是A2中四條輻條電阻的并聯(lián),其數(shù)值為（6）A1輪、A2輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為（7）以（1)至(6）式代入（7）式,得（8）當P勻速下降時，對整個系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即(9）以（8）式代入（9）式得（10）評分標準:（本題25分）（1）、(2）式各2分，（3）、(4）式各3分,(5）、（6)、（7）式各2分,(9)式6分,（10)式3分。七、參考答案：圖11.如圖1所示,設(shè)筒內(nèi)磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P帶正電，其速率為v.P從小孔射入圓筒中，因受到磁場的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的。但與筒壁碰撞兩次,它就有可能從小孔射出。造此情形中，P在筒內(nèi)的路徑由三段等長、等半徑的圓弧HM、MN、和NH組成.現(xiàn)考察其中一段圓弧MN，如圖2所示。由于P沿筒的半徑方向入射，OM和ON均與軌道相切，兩者的夾角圖1（1）設(shè)圓弧的圓半徑為r,則有圖2（2)圖2圓弧對軌道圓心所張的圓心角（3）由幾何關(guān)系得（4）解(2）、(3）、（4）式得(5）2.P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為（6）經(jīng)歷時間為(7)P從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時間為（8）由以上有關(guān)各式得（9)評分標準：（本題25分）1。17分。（1)、（2)、（3）、（4)式各3分，（5）式5分。2.8分。(6）、（7）、（8)、（9）式各2分。八、參考解答：小球獲得沿豎直向下的初速度v0后，由于細繩處于松弛狀態(tài),故從C點開始,小球沿豎直方向作初速度為v0、加速度為g的勻加速直線運動。當小球運動到圖1中的M點時，繩剛被拉直,勻加速直線運動終止,此時繩與豎直方向的夾角為＝30。在這過程中，小球下落的距離圖1（1）圖1細繩剛拉直時小球的速度v1滿足下式：(2)在細繩拉緊的瞬間,由于繩的伸長量可以不計,而且繩是非彈性的，故小球沿細繩方向的分速度變?yōu)榱?而與繩垂直的分速度保持不變，以后小球?qū)腗點開始以初速度（3）在豎直平面內(nèi)作圓周運動，圓周的半徑為2l，圓心位于A點,如圖1所示。由(1)、（2）、（3）式得（4）當小球沿圓周運動到圖中的N點時，其速度為v，細繩與水平方向的夾角為，由能量關(guān)系有（5）用FT表示繩對小球的拉力，有（6)1。設(shè)在時（見圖2)，繩開始松弛，F(xiàn)T＝0，小球的速度。以此代入（5）、（6）兩式得（7）（8）圖2由（4)、（7）、(8）式和題設(shè)v0的數(shù)值可求得圖2(9)（10）即在1＝45時，繩開始松弛.以N1表示此時小球在圓周上的位置，此后，小球?qū)⒚撾x圓軌道從N1處以大小為u1,方向與水平方向成45角的初速度作斜拋運動。以N1點為坐標原點,建立直角坐標系N1xy，x軸水平向右,y軸豎直向上。若以小球從N1處拋出的時刻作為計時起點，小球在時刻t的坐標分別為（11）（12)由（11）、（12）式,注意到（10）式，可得小球的軌道方程：（13）AD面的橫坐標為（14）由(13）、(14）式可得小球通過AD所在豎直平面的縱坐標y＝0（15)由此可見小球?qū)⒃贒點上方越過，然后打到DC邊上,DC邊的縱坐標為（16）把（16）式代入（13）式，解得小球與DC邊撞擊點的橫坐標x＝1.75l(17）撞擊點與D點的距離為（18）2.設(shè)在時,繩松弛，F(xiàn)T＝0，小球的速度，以此代替(5)、（6）式中的1、u1，得(19）(20)以代入（4）式，與（19）、（20）式聯(lián)立，可解得（21）（22)(22）式表示小球到達圓周的最高點處時,繩中張力為0,隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加,拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運動所需的向心力，小球?qū)⒗@以D點為圓心,l為半徑的圓周打到梁上的C點。評分標準：（本題25分）（3）式2分,（5）、（6)式各1分，（9）、（10)式各3分，得出小球不可能打在AD邊上，給3分，得出小球能打在DC邊上，給2分，正確求出小球打在DC邊上的位置,給2分。求出（21）、（22）式各占3分，得出小球能打在C點，再給2分。如果學(xué)生直接從拋物線方程和求出x＝1。75l，同樣給分。不必證明不能撞擊在AD邊上。九、參考解答:1。這是一個大尺度運動，導(dǎo)彈發(fā)射后,在地球引力作用下,將沿橢圓軌道運動，如果導(dǎo)彈能打到N點,則此橢圓一定位于過地心O、北極點N和赤道上的發(fā)射點C組成的平面(此平面是C點所在的子午面)內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度（初速度v）必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個焦點.根據(jù)對稱性，注意到橢圓上的C、N兩點到焦點O的距離相等，故所考察橢圓的長軸是過O點垂直CN的的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點必在AB上.已知質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運動時，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E（無窮遠作為引力勢能的零點)與橢圓半長軸a的關(guān)系為（1）要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長軸a最短。根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知,橢圓的兩焦點到橢圓上任一點的距離之和為2a，現(xiàn)C點到一個焦點O的距離是定值，等于地球的半徑是R,只要位于長軸上的另一焦點到C的距離最小，該橢圓的半長軸就最小.顯然，當另一焦點位于C到AB的垂線的垂足處時，C到該焦點的距離必最小。由幾何關(guān)系可知（2）設(shè)發(fā)射時導(dǎo)彈的速度為v,則有（3）解（1）、（2)、（3)式得（4）因（5）比較(4）、（5)兩式得（6）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v＝7.2km/s（7)速度的方向在C點與橢圓軌道相切，根據(jù)解析幾何知識，從橢圓上一點的切線的垂直線，平分兩焦點到該點連線的夾角∠OCP，從圖中可看出,速度方向與OC的夾角（8）2。由于地球繞通過ON的軸自轉(zhuǎn),在赤道上C點相對地心的速度為（9）式中R是地球的半徑,T為地球自轉(zhuǎn)的周期,T＝24×3600s＝86400s,故（10）C點速度的方向垂直于子午面(圖中紙面）。位于赤道上C點的導(dǎo)彈發(fā)射前也有與子午面垂直的速度vC，為使導(dǎo)彈相對于地心速度位于子午面內(nèi)，且滿足（7）、(8）兩式的要求,導(dǎo)彈相當于地面（C點）的發(fā)射速度應(yīng)有一大小等于vC，方向與vC相反的分速度，以使導(dǎo)彈在此方向相當于地心的速度為零，導(dǎo)彈的速度的大小為（11）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v＝7.4km/s（12）它在赤道面內(nèi)的分速度與vC相反，它在子午面內(nèi)的分速度滿足(7）、（8）兩式。3.質(zhì)量為m的質(zhì)點在地球引力作用下的運動服從機械能守恒定律和開普勒定律,故對于近地點和遠地點有下列關(guān)系式（13）（14）式中v1、v2分別為物體在遠地點和近地點的速度，r1、r2為遠地點和近地點到地心的距離.將（14）式中的v1代入(13）式,經(jīng)整理得(15）注意到r1＋r2＝2a（16）得（17）因（18）有（16）、（17)、(18）式得（19）評分標準：（本題25分）1。14分。(2）式6分，（3)式2分，(6）、（7）式共4分，（8)式2分.2。6分。（11）式4分，（12）式2分。3。5分。（13）、（14）式各1分,（19）式3分。第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷一、（23分）有一豎直放置、兩端封閉的長玻璃管，管內(nèi)為真空，管內(nèi)有一小球自某處自由下落（初速度為零），落到玻璃管底部時與底部發(fā)生彈性碰撞．以后小球?qū)⒃诓ＡЧ軆?nèi)不停地上下跳動.現(xiàn)用支架固定一照相機，用以拍攝小球在空間的位置。每隔一相等的確定的時間間隔T拍攝一張照片,照相機的曝光時間極短，可忽略不計.從所拍到的照片發(fā)現(xiàn)，每張照片上小球都處于同一位置。求小球開始下落處離玻璃管底部距離（用H表示)的可能值以及與各H值相應(yīng)的照片中小球位置離玻璃管底部距離的可能值。二、（25分）如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細桿，長為2，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為的小球B、D和C，開始時靜止在光滑的水平桌面上.桌面上另有一質(zhì)量為的小球A，以一給定速度沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A,B,C，D的速度，并詳細討論以后可能發(fā)生的運動情況。三、（23分）有一帶活塞的氣缸，如圖1所示。缸內(nèi)盛有一定質(zhì)量的氣體。缸內(nèi)還有一可隨軸轉(zhuǎn)動的葉片，轉(zhuǎn)軸伸到氣缸外,外界可使軸和葉片一起轉(zhuǎn)動，葉片和軸以及氣缸壁和活塞都是絕熱的，它們的熱容量都不計。軸穿過氣缸處不漏氣。如果葉片和軸不轉(zhuǎn)動，而令活塞緩慢移動，則在這種過程中,由實驗測得，氣體的壓強和體積遵從以下的過程方程式圖1其中，均為常量,＞1（其值已知）?？梢杂缮鲜綄?dǎo)出，在此過程中外界對氣體做的功為式中和,分別表示末態(tài)和初態(tài)的體積。如果保持活塞固定不動，而使葉片以角速度做勻角速轉(zhuǎn)動，已知在這種過程中，氣體的壓強的改變量和經(jīng)過的時間遵從以圖2下的關(guān)系式式中為氣體的體積，表示氣體對葉片阻力的力矩的大小。上面并沒有說氣體是理想氣體，現(xiàn)要求你不用理想氣體的狀態(tài)方程和理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)的知識,求出圖2中氣體原來所處的狀態(tài)與另一已知狀態(tài)之間的內(nèi)能之差（結(jié)果要用狀態(tài)、的壓強、和體積、及常量表示）四、（25分）圖1所示的電路具有把輸人的交變電壓變成直流電壓并加以升壓、輸出的功能，稱為整流倍壓電路。圖中圖1和是理想的、點接觸型二極管（不考慮二極管的電容），和是理想電容器，它們的電容都為C，初始時都不帶電,G點接地?，F(xiàn)在A、G間接上一交變電源，其電壓，隨時間t變化的圖線如圖2所示．試分別在圖3和圖4中準確地畫出D點的電壓和B點的電壓在t＝0到t=2T時間間隔內(nèi)隨時間t變化的圖線，T為交變電壓的周期。圖2圖3圖4五、（25分)磁懸浮列車是一種高速運載工具。它具有兩個重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時間、空間作周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題.設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場，磁感應(yīng)強度B隨時間t和空間位置x變化規(guī)律為式中、、均為已知常量，坐標軸x與軌道平行。在任一時刻t，軌道平面上磁場沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“×”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“·”表示磁場的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外.規(guī)定指向紙外時B取正值。“×”和“·"的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R,不計金屬框的電感。1．試求在時刻t，當金屬框的MN邊位于x處時磁場作用于金屬框的安培力，設(shè)此時刻金屬框沿x軸正方向移動的速度為。2。試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。六、（23分）有一種被稱為直視分光鏡的光譜學(xué)儀器。所有光學(xué)元件均放在一直長圓筒內(nèi)。筒內(nèi)有：三個焦距分別為、和的透鏡,,，；觀察屏P，它是一塊帶有刻度的玻璃片；由三塊形狀相同的等腰棱鏡構(gòu)成的圖1分光元件(如圖1所示），棱鏡分別用折射率不同的玻璃制成,兩側(cè)棱鏡的質(zhì)料相同，中間棱鏡則與它們不同，棱鏡底面與圓筒軸平行。圓筒的一端有一與圓筒軸垂直的狹縫，它與圓筒軸的交點為S，縫平行于棱鏡的底面．當有狹縫的一端對準筒外的光源時,位于圓筒另一端的人眼可觀察到屏上的光譜.已知：當光源是鈉光源時，它的黃色譜線（波長為589.3nm，稱為D線）位于圓筒軸與觀察屏相交處。制作棱鏡所用的玻璃，一種為冕牌玻璃，它對鈉D線的折射率＝1.5170;另一種為火石玻璃,它對鈉D線的折射率=1。7200。1.試在圖2中繪出圓筒內(nèi)諸光學(xué)元件相對位置的示意圖并說出各元件的作用。2。試論證三塊棱鏡各應(yīng)由何種玻璃制成并求出三棱鏡的頂角的數(shù)值。圖2七、（16分）串列靜電加速器是加速質(zhì)子、重離子進行核物理基礎(chǔ)研究以及核技術(shù)應(yīng)用研究的設(shè)備,右圖是其構(gòu)造示意圖。S是產(chǎn)生負離子的裝置，稱為離子源；中間部分N為充有氮氣的管道，通過高壓裝置H使其對地有V的高壓?，F(xiàn)將氫氣通人離子源S,S的作用是使氫分子變?yōu)闅湓樱⑹箽湓诱掣缴弦粋€電子,成為帶有一個電子電量的氫負離子。氫負離子(其初速度為0）在靜電場的作用下，形成高速運動的氫負離子束流，氫負離子束射入管道N后將與氮氣分子發(fā)生相互作用，這種作用可使大部分的氫負離子失去粘附在它們上面的多余的電子而成為氫原子，又可能進一步剝離掉氫原子的電子使它成為質(zhì)子。已知氮氣與帶電粒子的相互作用不會改變粒子的速度。質(zhì)子在電場的作用下由N飛向串列靜電加速器的終端靶子T。試在考慮相對論效應(yīng)的情況下，求質(zhì)子到達T時的速度。電子電荷量C,質(zhì)子的靜止質(zhì)量kg.第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題參考解答及評分標準一、參考解答：解法一tHOhAh小球沿豎直線上下運動時,其離開玻璃管底部的距離h隨時間t變化的關(guān)系如圖所示．設(shè)照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為hA，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H。小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點，也可在上升的過程中經(jīng)過A點.現(xiàn)以表示小球從最高點（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時間(也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點所需的時間),表示小球從最高點下落至A點所需的時間（也就是從A點上升至最高點所需的時間)，表示小球從A點下落至玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點所需的時間）。顯然,。根據(jù)題意，在時間間隔的起始時刻和終了時刻小球都在A點．用n表示時間間隔內(nèi)（包括起始時刻和終了時刻）小球位于A點的次數(shù)（n≥tHOhAh1．A點不正好在最高點或最低點．當n為奇數(shù)時有 （1）在(1）式中，根據(jù)題意可取中的任意值，而 （2）當n為偶數(shù)時有 (3）由（3）式得 （4）由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù),都有 （5）因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為 （6）若用表示與n對應(yīng)的H值，則與相應(yīng)的A點到玻璃管底部的距離 （7）當n為奇數(shù)時，可取中的任意值，故有 n=3，5,7，··· (8）可見與相應(yīng)的的可能值為0與之間的任意值．當n為偶數(shù)時，,由(6）式、(7)式求得的可能值 n=2,4，6,··· （9）2．若A點正好在最高點或最低點．無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有 n=2,3，4,··· (10） n=2，3,4，··· （11） n=2,3，4，··· （12）或 （13）解法二因為照相機每經(jīng)一時間間隔T拍攝一次時,小球都位于相片上同一位置,所以小球經(jīng)過該位置的時刻具有周期性，而且T和這個周期的比值應(yīng)該是一整數(shù)．下面我們就研究小球通過某個位置的周期性．設(shè)小球從最高點（開始下落處）落下至管底所需時間為，從最高點下落至相片上小球所在點（A點）所需時間為，從A點下落至管底所需時間為,則 (1）（小球上升時通過相應(yīng)路程段所需時間與下落時同一路程所需時間相同,也是、和）從小球在下落過程中經(jīng)過A點時刻開始，小球經(jīng)過的時間后上升至A點，再經(jīng)過時間后又落到A點，此過程所需總時間為．以后小球?qū)⒅貜?fù)這樣的運動．小球周期性重復(fù)出現(xiàn)在A點的周期是多少？分兩種情況討論：(1）．，和都不是小球在A點重復(fù)出現(xiàn)的周期，周期是．（2）．，小球經(jīng)過時間回到A點，再經(jīng)過時間又回到A點，所以小球重復(fù)出現(xiàn)在A點的周期為．下面就分別討論各種情況中的可能值和A點離管底的距離的可能值．(如果從小球在上升過程中經(jīng)過A點的時刻開始計時，結(jié)果一樣，只是和對調(diào)一下)1．H的可能值 (1）．較普遍的情況，．與的比值應(yīng)為一整數(shù)，的可能值應(yīng)符合下式 , （2)由自由落體公式可知，與此相應(yīng)的的數(shù)值為 （3）（2）．．的可能值應(yīng)符合下式 （4）故的可能值為 （5）當為偶數(shù)時,即時,(5）式與(3)式完全相同．可見由（3)式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當為奇數(shù)時,即時，由（5）式得出的的可能值為 (6）它們不在（3）式之內(nèi),故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值．2．與各H值相應(yīng)的的可能值a。與相應(yīng)的的可能值由于在求得（3）式時未限定A點的位置,故的數(shù)值可取0和之間的任意值，即 （7)b。與（為奇數(shù)）相應(yīng)的的可能值這些數(shù)值與A位于特定的位置，,相對應(yīng)，所以對于每一個對應(yīng)的是一個特定值,它們是 （8）評分標準：本題23分二、參考解答:求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度設(shè)剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、、、，并設(shè)它們的方向都與的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)的質(zhì)心的速度．因碰撞前后四小球組成的質(zhì)點組的動量守恒，故有 （1）碰撞前后質(zhì)點組的角動量守恒，有 （2）這里角動量的參考點設(shè)在與B球重合的空間固定點，且規(guī)定順時針方向的角動量為正．因為是彈性碰撞，碰撞前后質(zhì)點組的動能相等，有 （3）因為桿是剛性桿,小球B和D相對于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反,所以有 （4)解（1）、（2）、（3)、(4）式，可得兩個解 =0 （5)和 （6)因為也是剛碰撞后由B、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運動定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動，故（5）式不合理，應(yīng)舍去．?。?）式時可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度 (7） (8) （9)2．討論碰撞后各小球的運動碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質(zhì)心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運動．由（4）、（8）、（9)式可知，碰撞后,B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動，角速度的大小為 （10）方向為逆時針方向．由(7）式可知,碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān),下面就M、m取值不同而導(dǎo)致運動情形的不同進行討論：（i)，即碰撞后小球A停住，由（7)式可知發(fā)生這種運動的條件是 即 （11）（ii),即碰撞后小球A反方向運動,根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運動的條件是 （12）（iii）但，即碰撞后小球A沿方向作勻速直線運動，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知發(fā)生這種運動的條件是 和 即 （13）（iv)，即碰撞后小球A仍沿方向運動，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運動的條件是 （14）（v），即碰撞后小球A和小球C以相同的速度一起沿方向運動，發(fā)生這種運動的條件是 (15）在這種情形下,由于小球B、D繞小球C作圓周運動，當細桿轉(zhuǎn)過時，小球D將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運動．根據(jù)質(zhì)心運動定理,C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞．這兩次碰撞的時間間隔是 （16)從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過的路程 (17）3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度剛要發(fā)生第二次碰撞時，細桿已轉(zhuǎn)過，這時，小球B的速度為，小球D的速度為．在第二次碰撞過程中，質(zhì)點組的動量守恒，角動量守恒和能量守恒．設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、、和，并假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3)式可得 （18) (19） (20）由桿的剛性條件有 （21）(19）式的角動量參考點設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時與D球重合的空間點．把(18）、（19)、（20)、（21）式與（1）、（2）、（3)、(4)式對比，可以看到它們除了小球B和D互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個解 （22）和 (23）對于由B、C、D三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后,其質(zhì)心的速度不可能保持不變，而(23）式是第二次碰撞未發(fā)生時質(zhì)心的速度,不合理，應(yīng)該舍去．取（22）式時，可解得 （24） （25） （26)（22）、(24）、（25）、(26)式表明第二次碰撞后,小球A以速度作勻速直線運動，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運動，但已位于桿的前方，細桿和小球B、C、D則處于靜止狀態(tài)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運動狀態(tài)，但都向前移動了一段距離,而且小球D和B換了位置．評分標準：本題25分．三、參考解答：pVpVABC0，(1)可知，當V增大時，p將隨之減小（當V減小時，p將隨之增大)，在圖上所對應(yīng)的曲線（過狀態(tài)A）大致如圖所示．在曲線上取體積與狀態(tài)B的體積相同的狀態(tài)C．現(xiàn)在設(shè)想氣體從狀態(tài)A出發(fā)，保持葉片不動，而令活塞緩慢地向右移動,使氣體膨脹,由狀態(tài)A到達狀態(tài)C,在此過程中，外界對氣體做功 （2）用UA、UC分別表示氣體處于狀態(tài)A、C時的內(nèi)能，因為是絕熱過程，所以內(nèi)能的增量等于外界對氣體做的功，即 (3）再設(shè)想氣體處于狀態(tài)C時，保持其體積不變,即保持活塞不動，令葉片以角速度做勻速轉(zhuǎn)動，這樣葉片就要克服氣體阻力而做功，因為缸壁及活塞都是絕熱的，題設(shè)缸內(nèi)其它物體熱容量不計，活塞又不動（即活塞不做功），所以此功完全用來增加氣體的內(nèi)能．因為氣體體積不變，所以它的溫度和壓強都會升高，最后令它到達狀態(tài)B．在這過程中葉片轉(zhuǎn)動的時間用t表示，則在氣體的狀態(tài)從C到B的過程中，葉片克服氣體阻力做功 （4）令UB表示氣體處于狀態(tài)B時的內(nèi)能，由熱力學(xué)第一定律得 （5）由題知 (6）由（4)、（5）、（6)式得 （7）（7）式加（3）式，得 （8）利用和得 （9）評分標準:本題23分．四、參考解答：T2T0uDT2T0uDBDDA圖1U－U0T0TuA002TT圖2．附參考解法:二極管可以處在導(dǎo)通和截止兩種不同的狀態(tài)。不管D1和D2處在什么狀態(tài)，若在時刻t，A點的電壓為uA，D點的電壓為uD，B點的電壓為uB，電容器C1兩極板間的電壓為uC1，電容器C2兩極板間的電壓為uC2，則有 （1) （2） （3) (4）式中q1為C1與A點連接的極板上的電荷量，q2為C2與B點連接的極板上的電荷量。若二極管D1截止，D2導(dǎo)通,則稱電路處在狀態(tài)I.當電路處在狀態(tài)I時有 （5）若二極管D1和D2都截止,則稱電路處在狀態(tài)II。當電路處在狀態(tài)II時有 (6）若二極管D1導(dǎo)通，D2截止，則稱電路處在狀態(tài)III。當電路處在狀態(tài)III時有 （7）電路處在不同狀態(tài)時的等效電路如圖3所示.C1D1C2DuAGAC1D1C2DuAGABD2C1D1C2DuAGABD2C1D1C2DuAGABD2狀態(tài)I狀態(tài)II狀態(tài)III圖3在到時間間隔內(nèi)，uD、uB隨時間t的變化情況分析如下：1.從起，uA從0開始增大，電路處在狀態(tài),C1、C2與電源組成閉合回路。因C1、C2的電容相等，初始時兩電容器都不帶電,故有 在uA達到最大值即uA=U時,對應(yīng)的時刻為，這時，也達到最大值.uA達到最大值后將要減小，由于D2的單向?qū)щ娦?，電容器C、C都不會放電，和保持不變，uD將要小于,即將要小于uB，D2將由導(dǎo)通變成截止，電路不再處于狀態(tài)I。所以從t=0到時間間隔內(nèi)，uD、uB隨時間t變化的圖線如圖4、圖5中區(qū)域I內(nèi)的的直線所示．2。從起，因uD小于uB,D2處在截止狀態(tài),電路從狀態(tài)變?yōu)闋顟B(tài).因為二極管的反向電阻為無限大，電容器C、C都不會放電，兩極板間的電壓都保持不變。當電路處在狀態(tài)時，D點的電壓 B點的電壓 隨著uA從最大值U逐漸變小，uD亦變??；當時，對應(yīng)的時刻為，。如果uA小于，則uD將小于0，D1要從截止變成導(dǎo)通，電路不再處在狀態(tài)II.所以在到時間間隔內(nèi),uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域內(nèi)的直線所示。3。從起,uA從開始減小，D1導(dǎo)通，但，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)II變?yōu)闋顟B(tài)III。當電路處在狀態(tài)時有 在uA減小的過程中，C1兩極板間的電壓uC1（=uA）也隨之改變，從而維持uD為0.當uA達到反向最大值即時，對應(yīng)的時刻為，.若uA從開始增大（減小)，因D1的單向?qū)щ娦?，電容器C1不會放電,保持不變，,D1要從導(dǎo)通變成截止，電路不再處于狀態(tài)III。所以在到時間間隔內(nèi),uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域內(nèi)的直線所示.4。從起，uA從開始增大,D1變?yōu)榻刂範顟B(tài)，從零開始增大,只要uD仍小于uB，D2仍是截止的,電路從狀態(tài)III變?yōu)闋顟B(tài)II.當電路處在狀態(tài)時,C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變.故有 當uA增大至?xí)r，對應(yīng)的時刻為,.若uA再增大，uD將要大于uB,D2將要從截止變?yōu)閷?dǎo)通，,電路不再處于狀態(tài)II.所以在到時間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域中的直線所示.5.從起，uA要從增大，D2變?yōu)閷?dǎo)通狀態(tài)，這時D1仍是截止的,電路又進入狀態(tài)I.當電路處在狀態(tài)I時,電源與C1、C2構(gòu)成閉合回路，而當uA變化時，將隨之變化,但由導(dǎo)通的二極管D2連接的C1、C2的兩塊極板所帶的總電荷量是恒定不變的。由于在時刻,,,此時，，故有 由以上有關(guān)各式得uD、uB隨著uA的增大而增大。當uA達到最大值即時,對應(yīng)的時刻為，．由于D2單向?qū)щ?，只增不減,uA從最大值減小時，不變,uD將要小于，而保持為，因而，D2從導(dǎo)通變成截止，電路不再是狀態(tài)I.所以在到時間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中I2中的直線所示。6.從起，uA從U開始減小，D2變?yōu)榻刂範顟B(tài)，這時D1仍是截止的,電路又進入狀態(tài)II。當電路處在狀態(tài)時，C1和C2不會放電，電容器兩極板間的電壓保持不變。由時刻的uD和uA的值可知此時。故有 當uA減少至?xí)r，對應(yīng)的時刻為，，以后D1將由截止變?yōu)閷?dǎo)通，電路不再處在狀態(tài)II.所以在到時間內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中II3中的直線所示。