河南省南陽市桐柏縣第一高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理試題（解析版）

高二學(xué)年數(shù)學(xué)（理科）試題時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題）一、單選題（共40分，每小題5分）1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡可得，在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，即得解【詳解】由題意，在復(fù)平面中對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限故選：A2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求．【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)為故選：A.3.，為不重合的直線，，，為互不相同的平面，下列說法錯誤的是（）A.若，則經(jīng)過，平面存在且唯一B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則【答案】D【解析】【分析】對于A，由平面的性質(zhì)判斷，對于B，由面面平行的性質(zhì)判斷，對于C，由線面垂直的判定定理判斷，對于D，由面面平行的判定定理判斷【詳解】對于A，因?yàn)?，所以由兩平行直線確定一個平面，可知經(jīng)過，的平面存在且唯一，所以A正確，對于B，因?yàn)?，，，所以，所以B正確，對于C，設(shè)，在內(nèi)作，在內(nèi)作，因?yàn)?，，所以，所以∥，所以∥，因?yàn)椋?，所以∥，因?yàn)?，所以，所以C正確，對于D，當(dāng)，，，時(shí)，與可能平行，可能相交，所以D錯誤，故選：D4.已知向量，的夾角為60°，，，則（）A.2 B.C. D.12【答案】C【解析】【分析】利用平方法，根據(jù)向量模的平方等于向量的平方直接即可求出.【詳解】，所以.故選：C.5.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系指數(shù)值空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如表：為監(jiān)測某化工廠排放廢氣對周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在校內(nèi)測得10月1日-20日指數(shù)的數(shù)據(jù)并繪稱折線圖如圖：下列敘述正確的是（）A.10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越好B.這天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占C.這天中指數(shù)值中位數(shù)小于D.總體來說，10月中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量好【答案】C【解析】【分析】通過分析表格數(shù)據(jù)，得出AQI指數(shù)值越大空氣質(zhì)量越差，再結(jié)合折線圖中點(diǎn)的分布情況逐項(xiàng)分析即可得出答案.【詳解】根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)可知：AQI指數(shù)值越大空氣質(zhì)量越差所以10月4日到10月11日空氣質(zhì)量越來越差，選項(xiàng)A錯誤；由折線圖知，空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為5，所以20天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占比為選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)折線圖，150以下的點(diǎn)有15個，150以上的點(diǎn)只有5個所以這20天中AQI指數(shù)值中位數(shù)小于150，選項(xiàng)C正確；從折線圖可看出，10月中旬的AQI指數(shù)值比10月上旬的AQI指數(shù)值大，故選項(xiàng)D錯誤；

故選：C.6.如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)相應(yīng)作出完整的截面，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面平行的判定即可得解.【詳解】對于A，由正方體的性質(zhì)可得，可得直線平面ABC，能滿足；對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得MNAD，可得直線MN平面ABC，能滿足；對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得MNBD，可得直線MN平面ABC，能滿足；對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.故選：D.7.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼期圓．已知，，圓上有且僅有一個點(diǎn)P滿足，則r的取值可以為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，化簡可得點(diǎn)P的軌跡方程，由點(diǎn)P是圓C：上有且僅有的一點(diǎn)，可得兩圓相切，進(jìn)而可求得r的值．【詳解】設(shè)動點(diǎn)，由，得，整理得，又點(diǎn)是圓：上有且僅有的一點(diǎn)，所以兩圓相切.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，，得．故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查阿波羅尼斯圓，考查兩圓相切的應(yīng)用，判斷圓與圓的位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系：（1）外離；（2）外切；（3）相交；（4）內(nèi)切；（5）內(nèi)含，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力，屬于中檔題．8.如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，當(dāng)水恰好流出時(shí)，即由水的等體積可求出正方體傾斜后，水面N到底面B的距離，再由邊長關(guān)系可得四邊形是平行四邊形，從而側(cè)面與桌面所轉(zhuǎn)化成側(cè)面與平面所成的角,進(jìn)而在直角三角形中求出其正切值.【詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，

設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義法求二面角，在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.二、多選題（共20分，每小題5分，錯選不得分，漏選得2分）9.若橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)的值可為（）A.1 B.4 C.6 D.7【答案】BC【解析】【分析】分別考慮焦點(diǎn)在軸、軸上的兩種情況，然后根據(jù)求解出的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則，故；若焦點(diǎn)在軸上，則，故．故選：BC．10.已知直線和圓，則（）A.直線l恒過定點(diǎn)B.存在k使得直線l與直線垂直C.直線l與圓O相交D.若，直線l被圓O截得的弦長為4【答案】BC【解析】【分析】利用直線系方程求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A、C；求出使得直線與直線垂直的值判斷B；根據(jù)弦長公式求出弦長可判斷D.【詳解】解：對于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對于B，直線的斜率為，則當(dāng)時(shí)，滿足直線與直線垂直，故B正確；對于D，時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長為，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P為線段B1C1上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)A到平面A1BC的距離為 B.平面A1PC與底面ABC的交線平行于A1PC.三棱錐P﹣A1BC的體積為定值 D.二面角A1-BC-A的大小為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)面距、面面平行、線面平行、二面角等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，四邊形是正方形，所以，所以，但與不垂直，所以與平面不垂直，所以到平面的距離不是，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，所以平面，設(shè)平面與平面的交線為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于平面,平面，所以平面.所以到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，由于，所以，所以二面角的平面角為，由于，所以，D選項(xiàng)錯誤.故選：BC12.如圖，點(diǎn)，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線，則（）A.曲線與軸圍成的圖形的面積等于 B.與的公切線的方程為C.所在圓與所在圓的公共弦所在直線的方程為 D.所在的圓截直線所得弦的長為【答案】BCD【解析】【分析】由題已知曲線與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個圓，故此可寫出各段圓弧所在的方程，然后根據(jù)圓的相關(guān)知識判斷各選項(xiàng).【詳解】解：由題意得：A選項(xiàng)：、、所在圓的方程分別為，，.曲線與軸圍成的圖形是一個半圓，一個矩形和兩個圓，其面積為，故A錯誤；B選項(xiàng)：設(shè)與公切線方程為，則，所以，，所以與的公切線方程為，即，故B正確；C選項(xiàng)：由和兩式相減得，即為公共弦所在的直線方程，故C正確；D選項(xiàng)：所在的圓的方程為，圓心，圓心到直線的距離，則所求的弦長為，故D正確.故選：BCD第II卷（非選擇題）三、填空題（共20分，每小題5分）13.已知直線過點(diǎn)，并且傾斜角是直線的傾斜角的倍，則直線的方程是_______.【答案】【解析】【分析】求出直線的傾斜角，即可求得直線的傾斜角，從而可得直線的斜率，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，即可求出直線的方程．【詳解】∵直線的斜率為∴直線的傾斜角為∵直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍∴直線的傾斜角為，即直線的斜率為∵直線過點(diǎn)∴直線的方程為，即.故答案為：.14.已知，，則曲線為橢圓的概率是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意知，，，可得共有8種不同情況，其中滿足“曲線為橢圓”的有，，，共3種情況，由古典概型的概率公式可得，所求概率.故答案為：.15.2021年10月1日，是中華人民共和國成立72周年，某校為了迎接“十一”國慶，特編排了“迎國慶·唱紅歌”活動，活動地點(diǎn)讓合唱團(tuán)依斜坡站立，斜坡的前方是升旗臺.如圖，若斜坡的坡角為，斜坡上某一位置A與旗桿在同一個垂直于地面的平面內(nèi)，如果在A處和坡腳處測得旗桿頂端的仰角分別為和，且米，則旗桿的高度為________米.【答案】【解析】【分析】設(shè)，在中，,在中，利用正弦定理即可得到關(guān)于x的方程，進(jìn)而求得x的值.【詳解】設(shè)，在中，；在中，，，，，由正弦定理得，即，所以.故旗桿的高度為米.故答案為：18.16.直線，動直線，動直線．設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動直線l1與l2交于點(diǎn)P，則的面積最大值為__________．【答案】【解析】【分析】先求出動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，然后求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，從而求出圓心到直線的距離，從而得到到直線最大距離，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意，動直線l1與l2交于點(diǎn)，則，∴消去參數(shù)a，整理可得：，即點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓上，而到直線的距離，故到直線最大距離為，由，則，∴此時(shí)有最大面積為.故答案為：四、解答題（共70分）17.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角的關(guān)系求得，從而可得答案；（2）直接利用余弦定理求得邊c，然后利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，解得或（舍），所?18.已知圓，直線．（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切；（2）當(dāng)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，即得解；（2）利用弦心距、弦長、半徑的勾股關(guān)系，求出弦心距為，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，即得解【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為若直線與圓相切，則有，解得（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則有即，即，由，解得或所以直線的方程為或19.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，平面平面，，，且，，，的中點(diǎn)分別是O，G.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，，可證明四邊形為正方形，即，即，由平面平面，可得平面，即，由線線垂直推線面垂直，即得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，所以為平面的一個法向量，再計(jì)算平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【詳解】（1）證明：連接，，由于，且故四邊形為正方形，所以.因?yàn)椋闹悬c(diǎn)分別是O，G，所以，所以，因?yàn)?，的中點(diǎn)是O，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又，平面，所以，，又因?yàn)?，所以平?（2）由（1）知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，所以，則點(diǎn)，，，，.所以，，.由（1）知，，，，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量；又設(shè)平面的法向量為，由得得取，得.所以.由圖得，平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.如圖所示，在樹人中學(xué)高一年級學(xué)生中抽出40名參加環(huán)保知識競賽，將其成績(均為整數(shù)整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，觀察圖形，回答下列問題：（1）求成績在80~90這一組的頻數(shù)；（2）估計(jì)這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、40百分位數(shù)；（3）從成績是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)這兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中選2人，求他們不在同一分?jǐn)?shù)段的概率.【答案】（1）4；（2）平均數(shù)為，40百分位數(shù)為；（3）.【解析】【分析】(1)由給定的頻率分布直方圖，求出成績在80~90這一組頻率即可得解；(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及百分位數(shù)的方法計(jì)算即得；(3)先求出給定兩段的學(xué)生總數(shù)，再用列舉法求概率的方法求解即得.【詳解】（1）依題意50~60這一組的頻率為，60~70這一組的頻率為，70~80這一組的頻率為，90~100這一組的頻率為，則80~90這一組的頻率，其頻數(shù)為4；（2）這次競賽成績的平均數(shù)為，40~50這一組的頻率為0.1，50~60這一組的頻率為0.15，40~60的頻率為0.25，60~70這一組的頻率為，因此40百分位數(shù)在60~70這一組內(nèi)，且在本組內(nèi)需要找到頻率為0.15的部分，所以40百分位數(shù)為；（3）記選出的2人不在同一分?jǐn)?shù)段為事件，40~50之間的人數(shù)為人，設(shè)為，，，，90~100之間有人，設(shè)為1，2，從這6人中選出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15個樣本點(diǎn)，其中事件包括，，，，，，，，共8個基本事件，于是得，所以不在同一分?jǐn)?shù)段的概率.21.如圖，是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線.（1）證明：平面；（2）直線是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析