高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第02講 1.2集合間的基本關(guān)系（學(xué)生版）

第02講1.2集合間的基本關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集、真子集;②理解與掌握空集的含義，在解題中把握空集與非空集合、任意集合的關(guān)系。1．能利用集合間的包含關(guān)系解決兩個(gè)集合間的問(wèn)題。2．在解決集合問(wèn)題時(shí)，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集時(shí)參數(shù)所具備的意義。3.能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系。4.判斷集合之間的關(guān)系時(shí)，要從元素入手。知識(shí)點(diǎn)01：圖（韋恩圖）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱(chēng)為圖。圖和數(shù)軸一樣，都是用來(lái)解決集合問(wèn)題的直觀的工具。利用圖，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了地得到解決。對(duì)圖的理解(1)表示集合的圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.(2)用圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺(jué)形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.知識(shí)點(diǎn)02：子集1子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合，，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合是它本身的子集，即.②對(duì)于集合，，，若，且，則（3）圖表示：2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別符號(hào)“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號(hào)“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出集合的所有子集．【答案】【詳解】集合的所有子集有：知識(shí)點(diǎn)03：集合相等一般地,如果集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素,同時(shí)集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素,那么集合與集合相等,記作.也就是說(shuō),若,且,則.

（1）的圖表示（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無(wú)關(guān)【即學(xué)即練2】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）下面說(shuō)法中不正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，因，，即，A正確；對(duì)于B，因集合的元素為有序數(shù)對(duì)，而的元素為實(shí)數(shù)，兩個(gè)集合的對(duì)象不同，B不正確；對(duì)于C，因集合與都表示大于2的數(shù)形成的集合，即，C正確；對(duì)于D，由列舉法表示集合知正確，D正確.故選：B知識(shí)點(diǎn)04：真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱(chēng)集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合都不是是它本身的真子集.②對(duì)于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）滿(mǎn)足條件：的集合M的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.【答案】7【詳解】由可知，M中的元素個(gè)數(shù)多于中的元素個(gè)數(shù)，不多于中的元素個(gè)數(shù)因此M中的元素來(lái)自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素時(shí)，M有3個(gè)；取2個(gè)元素時(shí)，有3個(gè)；取3個(gè)元素時(shí)，有1個(gè)，故足條件：的集合M的個(gè)數(shù)有7個(gè)，故答案為：7.知識(shí)點(diǎn)05：空集的含義我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，即;性質(zhì)：①空集只有一個(gè)子集，即它的本身，(2)，則和和和相同點(diǎn)都表示無(wú)都是集合都是集合不同點(diǎn)表示集合；是實(shí)數(shù)不含任何元素含有一個(gè)元素不含任何元素含有一個(gè)元素，該元素為：關(guān)系或者【即學(xué)即練4】（2023·甘肅慶陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）有下列四個(gè)命題：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①錯(cuò)誤，②正確；，故③正確，④錯(cuò)誤，正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B題型01判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系【典例1】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知集合，，，則、、的關(guān)系滿(mǎn)足（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)集合，，則集合與的關(guān)系是______．【變式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，，則這三個(gè)集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．題型02判斷子集（真子集）的個(gè)數(shù)【典例1】（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【典例2】（2023·高一單元測(cè)試）已知集合，，則滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)____個(gè).【變式1】（2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，滿(mǎn)足這樣的集合的個(gè)數(shù)（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．15 D．16題型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若使成立的實(shí)數(shù)的取值集合為，則的一個(gè)真子集可以是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，若用列舉法表示，則集合是________.【變式1】（多選）（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學(xué)?？计谀┮阎?，集合是的真子集，則集合N可以是（

）A． B． C． D．題型04空集的概念集判斷【典例1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是(

)A． B．C． D．【典例2】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┫铝懈魇街校孩伲虎?；③；④；⑤；⑥.正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（2023·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．題型05空集的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式組的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【變式1】（2022秋·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）若集合為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.題型06判斷兩個(gè)集合是否相等【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列與集合表示同一個(gè)集合的有（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下面說(shuō)法中，正確的為（

）A． B．C． D．題型07根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則等于（

）A．1或2 B．或 C．2 D．1【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一秀全中學(xué)?？计谀┮阎?，.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；【變式1】（2023秋·廣東江門(mén)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，若P=Q，則_________..題型08根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)（

）A．或1 B．0或1 C．1 D．【典例2】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值是_________．【典例3】（2023秋·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式1】（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a，b的值．題型09新定義題【典例1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）給定集合，對(duì)于，如果，那么是的一個(gè)“好元素”，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個(gè)．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，若且，則是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________個(gè)．本節(jié)重點(diǎn)方法（數(shù)軸輔助法）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．本節(jié)數(shù)學(xué)思想方法（分類(lèi)討論法）【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合.(1)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.本節(jié)易錯(cuò)題（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為_(kāi)__________.1.2集合間的基本關(guān)系A(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知集合且，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．322．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北孝感·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）下面五個(gè)式子中：①；②；③；④；⑤，正確的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤4．（2023春·云南紅河·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·北京東城·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，集合.若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．6．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0二、多選題7．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（

）A．B．若，則C．集合是無(wú)限集D．集合的子集共有4個(gè)8．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高一惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎希?，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時(shí)，則或三、填空題9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合M滿(mǎn)足則集合M的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．10．（2023·高一單元測(cè)試）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則的取值集合為_(kāi)__________.四、解答題11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，且．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┤艏希?，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．14．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎狝＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合A={}，B={x}，且AB，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________(寫(xiě)成集合形式).C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，，，其中a，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意a，是的子集，對(duì)任意的b，不是的子集B．對(duì)任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，對(duì)任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，，若?，則對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)有A．對(duì) B．對(duì) C．對(duì) D．對(duì)3．（多選）（2023春·福建龍巖·